球的體積公式

2021-02-13 三行科創

夏天到了，南匯的8424西瓜也紛紛來到了我們身邊，西瓜固然好吃，可當我們每吃一個西瓜到底吃了多少西瓜呢？

是1個立方分米，2個立方分米還是3個立方分米呢？數學上把物體所佔空間的大小稱為物體的體積，那麼我們如何來確定一個西瓜的體積呢？西瓜往往不同於立方體，長方體，偏偏長成個球形，要知道西瓜體積還得先知道球的體積計算公式，今天我們就來推導一下球的體積公式

V=4/3πR³

預備知識

先證明下面等式

                          

證明：簡單的利用數學歸納法證明，假設對一切小於等於整數k都有

現在來看，對k+1是否也成立

而k+1帶入原式有

有了前面預備知識，現在來正式證明球的體積公式

圖1 球體

如圖1所示，假設球的半徑為R，現在把上半球均勻切割成n等厚度的薄片，每一個薄片近似於一個薄薄的圓柱體，而上半球的體積等於所有這些薄片體積之和。

現在來看第i個(從下往上數)薄片的體積，如圖1右邊所示，該薄片的體積也應該近似一個圓柱體的體積，設為Vi，此圓柱體的厚度應該是R/n，圓柱體底面圓的半徑由勾股定理算得

從而

而上半球的體積

對於上式，當切割的足夠細，n就會足夠大，1/n→0，中括號裡面的1/n(1/2-1/n)→0，從而

而這只是半球的體積，那麼全球的體積就是她的兩倍

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