球的體積公式是怎麼推導出來的?

2021-01-20 數學職業家

要想解決這個問題，需要以下幾個步驟

「兩個同高的幾何體，如果與底等距離的截面積總相等，那麼這兩個幾何體的體積相等」，原文是「冪勢既同，則積不容異」，在西方被稱為卡瓦列利原理。



就好比圖中的這三個幾何體，與底面等距離處的截面積都相等，這三個幾何體體積是相等的。祖𣈶也叫做祖𣈶之，是祖衝之的兒子。祖衝之父子在數學上均有很大的成就。

我國古代數學家劉徽、祖衝之父子通過牟合方蓋這種工具對球的體積進行推導。所謂的牟合方蓋其實就是立方體被兩個直徑是立方體邊長的圓柱體所截所得的一個圖形。


正如下方的動圖一樣。從上方看的視圖是正方形，沿著兩個圓柱體的方向看視圖是圓形。


學過解析幾何的同學都知道，平面直角坐標系分四個象限，立體坐標系分為八個卦限。象限和卦限是按照我國傳統文化來翻譯的，也就是易經中說的四象、八卦的意思。


牟合方蓋被坐標軸分為8個對稱的部分，取第一卦限的部分進行研究。

結合勾股定理以及祖𣈶原理，可以知道左邊的牟合方蓋（八分之一）的體積等於右邊的立方體挖去一個與其等底等高錐體之後剩餘部分的體積，於是牟合方蓋（八分之一）的體體積等於2/3r^3，整個牟合方蓋的體積為16/3r^3

取球體的第一卦限的部分（1/8球）研究。可以發現在任意高度的位置上，球體截面積與牟合方蓋截面積與的比是π /4。所以球的體積是4/3π r^3

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