祖𣈶原理和球的體積公式

2021-01-20 告眾數學

 

HPM視角下的高中數學系列微課（第328期)


祖𣈶原理和球的體積公式

牟合方蓋最初是由魏晉時期著名的數學家劉徽提出，他在為《九章算術》做批註的時候發現計算球體體積方法有誤，繼而發明了牟合方蓋的方法。一個獨特的立體幾何圖形，當一正立方體用圓柱從縱橫兩側面作內切圓柱體時，兩圓柱體的公共部分，希望用這個圖形以求出球體體積公式，稱之為「牟合方蓋」。

劉徽知道「牟合方蓋」的體積跟內接球體體積的比為4：π，只要有方法找出「牟合方蓋」的體積便可，可惜，劉徽始終不能解決。

祖𣈶沿用了劉徽的思想，利用劉徽「牟合方蓋」的理論去進行體積計算，他的方法是將原來的「牟合方蓋」平均分為八份，取它的八分之一來研究。等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等。祖𣈶應用這個原理，解決了劉徽尚未解決的球的體積公式。

現在一般認為是由義大利數學家卡瓦列利首先引用，稱為卡瓦列利原理，但事實上祖氏父子比他早一千年就發現並使用了這個原理，故又稱為祖𣈶原理。


主講老師 餘晨光，寧波市四明中學

相關焦點

  • 祖𣈶原理解釋球的體積公式
    本文收錄於微信公眾號「代數數學」底部菜單模型方法-高中模型方法-基礎模型        什麼是祖𣈶原理意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等。更詳細點說就是，界於兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平行於這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等。上述原理在中國被稱為祖𣈶原理，國外則一般稱之為卡瓦列利原理。（來自百度）    用這個原理可以解釋很多立體圖形的體積公式。
  • 不用微積分算個球?祖𣈶原理PK卡瓦列裡原理,原理在左方法在右
    祖𣈶（ɡènɡ），亦名祖𣈶之，是我國著名數學家祖衝之（公元429—500）的兒子，他的活動時期大約在公元504—526年。是南朝齊梁間數學家，曾任太府卿。祖氏父子在數學和天文學上都有傑出貢獻。祖𣈶在修補編輯祖衝之的《綴術》時，提出了著名的祖𣈶原理，並巧妙地推導出球體積公式。
  • 數學家祖衝之之子祖𣈶
    01祖衝之父子總結了魏晉時期著名數學家劉徽的有關工作，提出&34;，即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，這就是著名的祖𣈶公理(或劉祖原理)。祖𣈶應用這個原理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。
  • 秒懂球體體積公式是怎麼來的
    還記得課本上是怎樣推導球的體積公式的嗎？這樣一來，用圓柱和圓錐的體積公式就可以推出球體積公式了：在17世紀上半葉，義大利數學家卡瓦列裡提出了這條原理，並用它計算了一系列幾何體的體積，而在17世紀下半葉，牛頓和萊布尼茲發明了微積分。祖𣈶提出同樣的原理是在公元5世紀，比卡瓦列裡早了一千多年。TIPS：祖𣈶是個名符其實的「官二代」。他出身書香門第兼官宦世家。
  • 球的體積教學設計
    這裡將把你帶入一個奇妙而精彩的數學世界，她將使你的數學能力和數學思想方法錦上添花！（在數學學習的同時也會偶爾可閱讀到筆者的「小散文」、小小說或詩歌）怎樣求球的體積?球的體積公式的另外推導方法（不同於新課標課本的推導方法）            下面我們利用「祖𣈶原理」來進行球的體積推導，由此作為主線而進行一個新的教學設計。筆者認為：這個教學設計對於培養學生的數學思維能力是很有幫助的！
  • 卡瓦列裡原理 阿基米德對球體積的計算
    推廣到立體，則是：空間內有兩個立體圖形被夾在兩上互相平行的平面之間，若任意一個與這兩個平面平行的平面在兩個立體圖形內部截得的平面圖形的面積相等，那麼這兩個立體的體積相等。從西方這條數學發現主線來看，卡瓦列裡是發明微積分的牛頓和萊布尼茨的先驅。而在中國，則在早於卡瓦列裡1100年前，祖𣈶就提出了這一原理：「冪勢既同，則積不容異」。
  • 【學科故事】球體積的前世今生
    球體積計算在數學史上是一個很重要的問題，尤其在古代，這個問題解決得如何，從某種意義上講，標誌著某個國家、某個民族的數學水平的高低。我們中華民族在這個方面的傑出成就，是足可引以為豪的。    早在公元前1世紀，我國對球體積計算是通過實測來完成的，其結果引出球體積計算公式，非常簡單。
  • 基於圓錐體的球表面積與球體積公式互推
    球表面積公式S=4𝜋R2和球體積公式V=4/3 𝜋R3（式中R為球體半徑）是中等數學的傳統教學內容之一，教科書的編者採用將球體分割為無數類圓錐體的方法對其進行推導
  • 六年級:美妙數學之「球的體積計算」(0430六)
    今天向你介紹球的體積計算。    同學們，我們學過求一個物體的體積的一般方法是排水法。同學們肯定很好奇，球體能不能和圓柱圓錐一樣根據半徑直接計算體積呢？     其實計算球體的體積一個常見的方法是祖𣈶原理，下面的動圖解釋的就是它：    上圖左邊是一個半徑為r的球體，右邊是一個和球體一樣高（H=2r），底面半徑和球體半徑相同的圓柱，圓柱當中被挖去了兩個圓錐。用同一個平面去截這兩個幾何體，注意變化過程中，左右兩邊藍色部分表示截面。
  • 球的體積公式是怎麼推導出來的?
    」，原文是「冪勢既同，則積不容異」，在西方被稱為卡瓦列利原理。就好比圖中的這三個幾何體，與底面等距離處的截面積都相等，這三個幾何體體積是相等的。祖𣈶也叫做祖𣈶之，是祖衝之的兒子。祖衝之父子在數學上均有很大的成就。我國古代數學家劉徽、祖衝之父子通過牟合方蓋這種工具對球的體積進行推導。
  • 如何求球的體積與表面積?
    我們都知道圓的面積和周長，那麼你會求球的體積和表面積麼？今天小編和大家分享一種巧妙求解球的體積和表面積的方法！什麼是祖𣈶原理？ 祖𣈶原理也稱祖氏原理，一個涉及幾何求積的著名命題。 祖𣈶在求球體積時，使用一個原理：「冪勢既同，則積不容異」。
  • 如何求解《球體積&表面積》巧妙方法
    我們都知道圓的面積和周長，那麼你會求球的體積和表面積麼？今天小編和大家分享一種巧妙求解球的體積和表面積的方法！什麼是祖𣈶原理？ 祖𣈶原理也稱祖氏原理，一個涉及幾何求積的著名命題。 祖𣈶在求球體積時，使用一個原理：「冪勢既同，則積不容異」。
  • 阿基米德用力學方法 求得 球體積公式
    比如浮力原理。我今天要介紹的是偉大的阿基米德用力學方法求得球體積的計算公式。我的目的是把他的思路大致傳達給您，所以不一定是完全按照他當時的思路，但差得不多。首先，我們先在直角坐標系中作一個圓心位於（r, 0）半徑為r的圓，如下圖所示。
  • 球的體積公式
    數學上把物體所佔空間的大小稱為物體的體積，那麼我們如何來確定一個西瓜的體積呢？西瓜往往不同於立方體，長方體，偏偏長成個球形，要知道西瓜體積還得先知道球的體積計算公式，今天我們就來推導一下球的體積公式V=4/3πR³預備知識先證明下面等式
  • 圓錐體積計算公式的直觀解釋
    其實，學習數學公式背後的思想起源和思維方式，遠遠比背一個公式精彩百倍。這裡，我以「如何理解圓錐體積是等底等高圓柱體積的三分之一」為切入點，和讀者朋友們交流一下為什麼學習數學思維比背公式更加重要這個問題。在數學問題中，最精彩的證明莫過於不需要證明，把複雜的問題轉變不斷簡化和一般化，我們就能看到數學之美。
  • 2018初中數學公式之球的體積公式
    新一輪中考複習備考周期正式開始，中考網為各位初三考生整理了中考五大必考學科的知識點，主要是對初中三年各學科知識點的梳理和細化，幫助各位考生理清知識脈絡，熟悉答題思路，希望各位考生可以在考試中取得優異成績！下面是《2018初中數學公式之球的體積公式》，僅供參考！
  • 一種簡單推導球體積公式的方法
    現在推導球體積公式，幾乎都是利用重積分。把球中心點作為坐標原點o，周圍一個動點p，由o點指向p點的矢徑R的長度不變，方向變化，繞一周所形成的圓周平面後，又在圓周平面垂直方向旋轉一周，這樣形成了球體。在推導球體積公式中，選定一個體積元素，經過累次積分，可以推導出球體積公式。我們這裡提出一個簡單方法推導球體積公式。
  • 牟合方蓋的體積計算
    可惜，劉徽始終不能解決，      　　而賢能之士在劉徽後二百多年才出現，便是中國偉大數學家袓衝之及他的兒子祖𣈶，他們承襲了劉徽的想法，利用「牟合方蓋」徹底地解決了球體體積公式的問題。   所以，有理由相信，雖然方錐跟小正立方體去掉小「牟合方蓋」後的形狀不同，但因它們的體積都可以用截面面積和高度來計算，而在等高處的截面面積總是相等的，所以它們的體積也就不能不是相等的了。   於是他提出了：
  • 球的體積和表面積
    【學習目標】1.理解與掌握球的表面積和體積公式.       2.可以巧妙解決與球有關的組合體的計算問題．
  • 在球的體積公式中,為什麼會出現三分之四這個奇怪的係數?
    球體積公式裡面的4/3，就是一個係數而已，沒有特別的地方，就像三角形面積公式「S=1/2*底*高」中的1/2一樣。我們來看半徑為r，關於圓的幾個公式：圓的周長L=2πr；圓的面積S=πr^2;球的表面積S=4πr^2；球的體積V=(4/3)πr^3;學過微積分的話很容易看出，圓的周長對r積分就是圓的面積，球的表面積對r積分就是球的體積，公式為（C為常數）：∫2πrdr=πr^2+C；∫4πr^2=(4