點擊標題下面一行中「北京 邵勇」後面的藍字「數學教學研究」, 關注本微信公眾號(sx100sy)。本公眾號內容均由邵勇本人獨創，轉載需與邵勇聯繫獲得授權。每周推送兩到三篇內容上有分量的數學文章，但在行文上力爭做到深入淺出。幾分鐘便可讀完，輕鬆學數學。
若讓您挑選三位有史以來最偉大的數學家，您會挑選誰？我不知您會選誰，反正我一定會選阿基米德。阿基米德也研究力學，像牛頓一樣。比如浮力原理。我今天要介紹的是偉大的阿基米德用力學方法求得球體積的計算公式。
我的目的是把他的思路大致傳達給您，所以不一定是完全按照他當時的思路，但差得不多。
首先，我們先在直角坐標系中作一個圓心位於（r, 0）半徑為r的圓，如下圖所示。
根據相似三角形對應邊成比例這個理由，我們可以寫出關係式：
阿基米德給公式(1)兩邊同時乘以π，得到：
左邊兩頂看上去都是圓面積公式的形式。對。如果我們讓上圖中那個以（r, 0）為圓心、以r為半徑的圓繞x軸旋轉，那麼圓周的軌跡將形成一個球面。那麼，上式中左邊兩項都各代表哪個圓的面積呢？這個很容易看出來。圖中點B的軌跡是一個圓，它位於過點C且垂直於x軸的平面內，圓心為點C，半徑就是y。於是，（2）式中左邊第二頂有了幾何上的解釋。現在來看第一頂的幾何意義。
我們作第一象限的角平分線，則它與BC所在直線的交點D的縱坐標也為x。讓這條角平分線也繞x軸旋轉，將得到一個圓錐面。
點D的軌跡也是一個圓，半徑為x，它的面積就是上式左邊第一項。這個圓與剛才那個半徑為y的圓是位於同一平面上的同心圓。於是上式左側兩項都有了幾何意義。
我們知道，如果一個圓盤的質量是均勻的，則我們完全可以用這個圓盤的面積代表這個圓盤的質量。阿基米德不魁是力學家，能想出用力學的方法解決數學上的問題。它用的是槓桿原理，即力矩平衡的方法。他巧妙地求出了球體積公式。我們繼續看一看他是怎麼做的。
他把上式即(2)式的兩邊都乘以2r。我不知他是怎麼想到的，但確實這一乘非常棒。於是(2)式成為下面的(3)式：
(3)式中右邊有一部分也顯現出了圓面積公式的樣子。是一個半徑為2r的圓的面積：π(2r)^2。這個圓在上圖中就是投影線段RR'。(3)式中右邊的x標明了這個垂直於x軸的圓到原點的距離。
我們說過，圓及其內部（即圓盤）的質量用它的面積表示，於是，(3)式右邊也是力矩。這裡的力為圓面積，力臂為它到原點的距離x。那麼，(3)式左邊的兩頂是不是也可以認為是力矩之和呢？很明顯，力臂都為2r。於是，我想，可能阿基米德想到了把上圖中的球和圓錐移動到適當的位置，以使得上面這個力矩平衡公式具有力學意義。
他把上圖中的球和圓錐轉移到了下圖所示的位置，即把它們垂直過來並「吊」起來。吊點為原點左側距離原點2r處的點F。如下圖所示。
上面講了很多，其實，到了這裡，可對上圖做一個明確的說明：
x軸為槓桿，點O為支點。以PP'表示的半徑為y的圓的面積（力）乘以力的作用線到平衡點的距離（力臂），所得為力矩一。以QQ'表示的半徑為x的圓的面積（力）乘以力的作用線到平衡點的距離（力臂），所得為力矩二。把這兩個力矩相加。以上圖中右邊RR'表示的半徑為2r的圓盤的面積（力）乘以力的作用線到平衡點的距離（力臂），所得為力矩三。力矩一加上力矩二等於力矩三。這也就是公式(3)。
讓x從0變化到2r，則PP'所表示的圓的面積就「掃」出了球的體積；QQ'所表示的圓的面積則「掃」出了圓錐FGG的體積；而RR『所表示的圓的面積則「掃」出了一個橫放著的圓柱體的體積（上圖中的綠色為它的過軸心的截面）。所以，球對原點的力矩加上圓錐對原點的力矩就等於圓柱對原點的力矩（圓柱的重心在點O'處，即力臂為r）。用公式表示就是：
上面從圓的面積到球的體積的演化過程，已顯示出了微積分的思想。阿基米德預見到了他的這一做法具有偉大的開創性質，意義重大。他曾說：「我深信這種方法對於數學是有很大用處的。為此我預言，這種方法一旦被理解，將會被現在或未來的數學家，用以發現我還未曾想到過的其他一些定理。」
好的，繼續。阿基米德時代人們是知道圓柱和圓錐的體積公式的。於是，就可以從上式求出球的體積。計算過程如下：
上面最後一式就是球體積公式。我以前介紹過阿基米德求球體積的另一種方法，很多書上都有所介紹。就是讓半球與一個圓柱放在一起，然後用卡瓦列裡原理求解。參見我2016年2月8日的文章《卡瓦列裡原理 | 阿基米德對球體積的計算》（點標題可以連結到那文章）。
阿基米德的成就非常多，我曾介紹過阿基米德的浮力原理、阿基米德螺線、阿基米德求球表面積方法及13種以阿基米德命名的立體，還有槓桿原理。這裡所介紹的方法就是用了槓桿原理。
公認的有史以來最偉大的三位數學家是：阿基米德，高斯，牛頓。