球體的體積與表面積

2021-02-23 全不知老師

[引言]很多同學在學習高中數學立體幾何時,都會對球的體積和表面積公式感到好奇。現利用微積分的有關知識進行推導。

[球的體積公式]設球體的半徑為r,則整個球的體積等於上半球體積的兩倍。

按照緯線圈可以將半球體從赤道到極點分為無數多個體積元,則半球的體積等於該體積元從0到r的積分。其中體積元為底面半徑為rh,高度為dh的圓柱體。

 

設體積元的高度為h,則其底面半徑為:

於是體積元為:

則,球的體積為:

 

[球的表面積公式]設球體的半徑為r,則整個球的表面積等於上半球表面積的兩倍。

 

[方法一]還是按照緯線圈分割球體,則球體的表面積可以看成是前述圓柱的側面積。面積元為底面周長乘以弧微分:

則,球的表面積為:

[方法二]按照經緯圈可以把球體分為無數個體積元。體積元可以看成是稜台,其中底面為球面面積s(r),它是半徑r的函數,高為dr。對體積元從0到r的積分即可得到球體的體積。

由前述的體積公式,以及導數的意義可知:球面面積可以看成是體積V對於半徑r的變化率,即V對r的導數。從而有:

 

[後記]在利用積分推導球的表面積公式時,面積元應等於底面周長乘以弧微分,而不是直接乘以dh。否則就會推導出球體的表面積為π2r2這種錯誤的形式。

 

另外,還可以利用曲線積分計算球的表面積,以及利用坐標變換求取球的體積。限於篇幅,這裡不做展開。

 

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