就像拋硬幣：概率如何誤導我們認識宇宙？

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圖源：unsplash

想要了解宇宙，理論物理學或許是進行預測時最強大的工具。一方面，運用理論物理學可以在宇宙層面上了解宇宙的運作，知曉宇宙構成和運行所遵循的規律；還可以回歸規律本身，加入一些初始條件，將時鐘撥回任何想要的時間，並模擬我們將生成什麼樣的宇宙。

（圖片顯示了宇宙微波輻射背景下，兩個半球的熱點和冷點。這張圖片蘊含了大量關於早期宇宙的信息。在期望中，兩個半球具有相同的平均溫度和其他類似的屬性，但是自然現象或是偶發事件可能會造成期望與現實的差異。）

當然，可以根據需要進行多次模擬，並確定生成一個具有特定內部結構和現象的宇宙的概率是多少。但是在測量時，只有一個宇宙可供觀測。大多數情況下，觀測結果與模擬預測十分吻合。

但有時候，極小概率事件也會發生。那些批判現代宇宙學的人往往會以這些小概率事件為例，來證明現代宇宙學家從根本上就是錯誤的。概率能且經常會引導人們誤解宇宙，以下是一些例子：

（宇宙中的大規模觀測，無論是宇宙微波背景、星系團或是單獨的星系，都需要用暗物質來解釋觀測的結果。大規模的結構離不開暗物質，這些結構的起源，宇宙微波背景也離不開暗物質。這些波動本質上應該是隨機且具有高斯性的。）

舉一個純數學的簡單例子：拋硬幣。假設硬幣質地十分均勻，拋出的結果只有兩種，正面和反面，每面出現的概率為50%。為模擬每一種可能，在腦海中儘可能多地拋出硬幣——假設拋了10億次——記錄下每種會出現的可能。

你可以選擇如何劃分這10億次試驗：連續10億次為一組、1000次為一組試驗，做100萬次或者10次為一組，做1億次實驗。

當然，因為這是一個非常簡單直白的數學問題，所以可以準確計算出概率。然而，一般情況下，大多數模擬的物理過程都太過複雜，以至於要經常要通過做出更為精準或更全面的模擬才能減少錯誤。

一切準備就緒，接下來就要真的拋硬幣了，並且將真正試驗的結果與模擬結果相對比，得到的結果可能非比尋常。

（擲硬幣出現正面朝上或反面朝上的次數是50/50。如果結果不是50/50，也並不意味著硬幣不出現了問題。而且在統計上，正面或反面朝上的次數多於預期是有極有可能的，而僅僅幾次的拋擲也不能證明硬幣有問題。）

如果選擇一次拋出10枚硬幣呢，結果會是如何？大多數人本能地會認為結果是5正5反。確實，這是拋10枚硬幣最常見的結果，但是出現該結果的概率並不是非常大。實際上，5正5反的機率只有24.6％，大約1/4。

假如拋10枚硬幣並連續10次獲得了相同的結果，你會認為結果是受到操縱了嗎？沒誰會為了這樣不合常理的結果而困擾，十次全部為正面或反面的機率也非常低，僅為0.2％：1/512。

那麼如果一次拋出10枚硬幣，結果有5枚是正面，是否會有點驚訝呢？這應該驚訝嗎？事實證明，每次擲出10個硬幣時，連續出現5個正面的機會為10.9％：概率大約為1/11。

（隨機拋出10枚拋硬幣共有1024種可能的結果，並且每種可能出現的概率均等。儘管出現「正正反反反正正正正正」（HHTTTHHHHH）的概率與其他結果出現的概率相同，但該結果中連續出現5個正面的概率卻很低。不能通過這一次試驗就確定硬幣質地是否均勻。）

期望不同，對試驗結果的懷疑程度也會不同，可能增加（或者減少）。如果連續拋1枚硬幣10次，並且結果是5正5反，你可能會說：「這和設想完全一致。」然後忘卻此事。

如果連續5次都拋出了正面，你可能會想：「這有點出乎意料，但是也不值一提。」並將此事拋諸腦後然後繼續試驗。

然而如果結果是10正或10反，你或許就會有點擔心了。因為所有都是正面或反面的概率太低了，可能疑惑：「有些不對勁。或許在假設裡這是一個均質硬幣，正面或反面的概率為50/50，它實際質地不均勻？」也許是，也許不是。但毫無疑問，解答這個問題最好的方式就是做更好的試驗，而這需要進一步的調查。

（如果一次拋20枚硬幣，偶爾也會連續5次甚至6次正面朝上。但這並不意味著這個結果與先前的結果無關，或者硬幣是否均質。）

例如，比起僅拋出10枚硬幣，如果一次拋出100枚或者1000枚硬幣，得到的結果將更容易判斷。即使前10次的結果都是正面朝上，在硬幣確實是均質的情況下，甚至還會期望之後出現更多次正面。

連續出現100次正或100次反的機率微乎其微：大概是1：10³⁰；如果這種情況發生，則清楚地表明存在問題。但是，出現至少60個正面或60個反面的機率並不是很低：大約5.7％。

這種情況就屬於「不值一提」的那一類了。但是有時候，即使最終結果不與預期相悖，進一步的調查也至關重要。10次中至少有6次正面朝上的概率是38%：沒什麼大不了。但是100次中至少60次正面的概率僅為2.8%，而1000次中至少600次正面朝上概率就小於十億分之一了。

通常，更大的樣本容量也會帶來更多的數據，有助於區分試驗中哪些是隨機波動而哪些意味著模型存在漏洞。

（模擬結果（紅色）和星系調查（藍色/紫色）顯示的大規模聚類模式彼此相同，即使是在數學細節方面也是如此。如果不存在暗物質，那麼這些結構不僅會在細節上有所不同，而且甚至不存在。星系將十分罕見，並且其中幾乎只包含輕元素。）

拋硬幣背後的簡單數學模型一樣可以應用於科學領域：無論是生物學，粒子物理學還是宇宙學。因為已經了解宇宙如何運行——它遵循的規律、組成成分以及產生的初始條件——所以可以模擬宇宙的內在結構是如何隨時間形成、演化和增長的。

基於相同的規律和組成內容，隨機選擇初始條件並反覆模擬宇宙進而觀察結果。觀察這些模擬生成的宇宙並提出以下問題：

· 模擬的宇宙在何時開始形成恆星？

· 第一個星系團何時出現，它有多大？

· 模擬宇宙中何時出現兩個以一定速度碰撞的星系團？

· 模擬宇宙時，一邊比另一邊熱的情況出現的頻率是多少？

畢竟，如果想要想將模擬生成的宇宙與所期望的模型進行比較，就需要先知道實際得到結果的可能性（或不可能性）是多大。

（圖片是宇宙歷史示意圖，重點要關注宇宙的電離。在恆星或星系形成之前，宇宙充滿了擋光的中性原子。雖然大部分宇宙直到5.5億年後才被電離，但一些部分有幸在早前就已經被電離了。）

事實上，大多數模擬實驗得到的結果往往與預期一致。在模擬宇宙早期結構產生時發現，第一顆恆星形成於大爆炸之後約5千萬-1億年，第一批恆星形成於大爆炸之後約2億年，並且足以在3-4億年後使宇宙再電離。在目前的技術極限下，所觀測到的遙遠星系和類星體都表明這張圖片是正確的。

但是，在將發現的星系團和期望的星系團進行對比時，結果並不是那麼清晰。例如「El Gordo」星系團，它是一個超大質量的年輕星系團，能造成極強的引力透鏡效應，並且其由於相對近期發生的融合或碰撞而釋放X射線。

在典型的模擬中，宇宙中應該只有少數幾個像「El Gordo」的星團，並且由於探索的宇宙數量有限，幾乎不太可能找到一個這樣的超大星團。

（「ElGordo」星系團是宇宙中最大的星系團之一，並且有可能是已知的宇宙歷史上早期最大的星系團。根據假設的結構形成模型，在宇宙的早期，不太可能發現如此巨大的物體，但只有一個宇宙可供驗證這一結論。）

但有些事發生的概率可能更低。子彈星系團（其中有兩個星系團正發生高速碰撞）清晰地證明了普通物質（釋放X射線）和總物質（其質量引起引力透鏡效應）之間的分離。這也是暗物質存在的最清晰證據。

但是，當按照所了解的暗物質模擬宇宙時，得到一對高速碰撞的星系團的機率很小：概率一般低於千分之一，而在一些模擬中低至十億分之一。而且，宇宙大爆炸（宇宙微波背景）遺留下的熱輻射在最大範圍內表現出的溫度波動要比理論上預測的要小得多。在模擬宇宙時，模擬產生的溫度波動與觀察到的一致的概率為1/770。

如果對當前的宇宙學模型不滿，你或許會指出以上問題中的一個，然後宣布：「看到了嗎？當前的模型完全是錯誤的！」但這是一條危險的道路，因為它證明了概率如何導致自欺欺人。

（大爆炸遺留下的熱輻射波動、宇宙微波背景，按照預測應該遵循一定幅度分布，分布與規模相關。前兩個多極矩在幅度上低於預測值很多，但人們對於這一現象的解釋各執一詞。）

觀察模擬的宇宙時，會仔細檢查它是否與預期有偏差。而預期基於當前對宇宙運行的理解：已知的規律是什麼，已知的組成和初始條件是什麼。如果結果偏離預期，必須考慮以下可能：

· 規律是錯誤的。

· 組成成分錯誤。

· 並且/或者初始條件錯誤。

但是，即使假設沒有錯誤，也存在完全不同的可能性。儘管得到的結果匪夷所思，但這可能就是我們模擬得到的宇宙。如果查看模擬的宇宙並以一百萬種不同的方式對其進行異常測試，就會發現其中45500次的顯著性為2σ，2700次顯著性為3σ，63次顯著性為4σ，甚至還會有1次顯著性達到5σ，而在物理學中，5σ通常被認為是「黃金標準」。

這種情況只會偶然發生，而這就是我們模擬得到的宇宙的反映。

（引力透鏡圖（藍色）覆蓋在子彈星團的光學和X射線（粉紅色）數據上。不可否認，X射線的位置和推斷質量是不匹配的，這也支持了暗物質存在的推斷。但該星系團的速度足夠快，以至於在模擬宇宙中這在統計上不可能實現。）

如果有數十億的宇宙可供觀測，我們就能知道得到的結果是否具有典型性。還可以知道為何數據出現了異常，並重新建構一個「典型」宇宙所需要的定律、組成部分和初始條件。然而，就像是人群中的個體一樣，觀察到的宇宙在某些方面是典型的，而在另一些方面是非典型的，並且還會擁有一些極為罕見的特性。

當不太可能的結果出現時，可能意味著對宇宙特性的一種假設存在缺陷，但也不一定是事實。甚至有些時候，出現不太可能的結果時，除了模擬結果外沒有更多宇宙可供觀測，我們就無法知道哪些是針對理論中實際問題的宇宙奇異性特點，而哪些則僅僅是由於試驗自身的獨特性而產生的，專業人士稱之為宇宙方差。

面對模擬宇宙中的小概率事件有權保持懷疑。但是如果將中獎概率為十億分之一的彩票重複10億次，那麼其中的幾次中獎就不足為奇了。

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