在分析信號解決問題時，模態域、時域和頻域是可以互換的，可以將信號進行域之間的轉化，這其中的好處是：在時域視角難以解決的問題，轉換成頻域或模態域後通常可以變得非常清晰。之前我們了解了模態域（信號分析基礎 | 信號表達方式——模態域），今天來聊一聊時域和頻域。
在時域中觀察信號是一種最傳統的方法。時域是指對系統中某個參數隨時間變化的記錄。如下圖中的一個簡單的彈簧質量系統，在該系統中，我們將筆連接到質量塊上，使得彈簧在振動時，筆可以在紙上畫出痕跡，同時以恆定的速度拉動紙片，最終得到的結果是質量塊相對於時間的位移的記錄。
一般很少會使用這種直接記錄時域信息的方法，使用傳感器將目標參數轉換為電信號更為常用，如麥克風、加速度計、壓力探頭等。
系統中的電信號可以記錄在專用的記錄儀中，如下圖所示。這時我們可以調整系統的增益，從而對測量進行校準。同時，也可以精確再現上圖中的簡單直接的記錄結果。
那我們就會想，為什麼要使用這種間接方法？原因有二：
這裡，我們看到用筆把時域信號記錄下來，是一種比較古老的方式，應用有限。當物理量變化很快時，驅動筆的系統就很難將每一幀的數據記錄下來了，這時候就要用到示波器，一個可以直接將物理量的電壓顯示出來的設備，如下圖所示。
黃色和藍色曲線分別代表兩個信號隨時間變化的曲線，這就是信號的時域表現形式。橫軸為時間，縱軸為幅值，這裡的幅值單位是電壓。
一百年前的傅立葉男爵 (Baron Jean Baptiste Fourier) 證明，現實世界中的任何波形都可以通過多個正弦波的疊加來產生。就下圖中的案例來說，這是由兩個正弦波組成的簡單波形。通過正確選擇正弦波的幅度、頻率和相位，就可以生成任何信號。
但是在現實世界中卻恰恰相反，我們可以將真實的信號分解為多個正弦波的組合。同時，正弦波的這種組合是獨特的，任何真實的信號都只能由一種正弦波的組合表示。
下圖a是上述正弦波疊加的三維圖。同時域中一樣，時間和幅度是我們熟悉的，第三個軸是頻率，這讓我們能夠在視覺上分離正弦波。如果我們以時間為x 軸，幅度為y 軸查看此三維圖，則可以看到圖b中的結果，這就是我們之前提到的正弦波的時域圖，其中，把每個時間點的值加在一起便得到原始波形。
但是，如果在圖a中以頻率為x 軸查看圖形，則會得到完全不同的結果，如圖c。此處的信號幅度隨頻率變化的關係，通常稱為頻域。輸入信號中的每個組成的正弦波在頻域中都顯示為一條垂直線。它的高度代表振幅，位置代表頻率。這裡稱信號的這種頻域表示為信號頻譜，頻譜中的每個正弦波線都稱為總信號的一部分。
那麼，頻域這個分析方法到底好在哪裡呢？很多時候在時域中觀察一個信號，無法分辨其中較小的頻率成分。假設需要觀察一個信號失真的狀態，就必須在頻域內觀察，如下圖所示，圖中為一個時域信號，看起來像是一個正弦波。
但是將信號轉到頻域中，如下圖所示，這顯然是三個正弦波的疊加，其中有一個幅值較大，也就是我們能明顯觀察到的；另外兩個幅值較小，在時域中無法直接觀察得到結果。這就是在頻域中分析信號的優勢。
當然，在剛剛接觸時，你會覺得頻域非常陌生，但這其實是日常生活的重要組成部分。您的耳朵-腦的組合就是一個出色的頻域分析儀，它將聽到的聲音分成許多窄帶，並且能確定每個頻帶中的能量，這個功能可以使人輕鬆地從嘈雜的背景噪音中聽到很小的聲音。醫生聽病人心臟和呼吸的聲音，機械師聽機器的聲音，就能一定程度上判別問題的所在。
現在讓我們來看看時域和頻域中的一些常見信號。在下圖a中，我們看到正弦波的頻譜是一條直線，我們從構建頻域的方式中期望這一點。圖b中的方波由無窮多個正弦波組成，稱之為諧波，其中最小頻率是方波周期的倒數。上兩個例子說明了頻率變換的性質：一個周期性並且一直存在的信號具有離散的頻譜。但這與圖c中具有連續頻譜的瞬態信號相反。也就是說，組成這個信號的正弦波在頻譜上兩兩之間是無限接近的。
最後一個常見信號是圖d所示的脈衝。脈衝的頻譜是一條平坦的橫線，即在所有頻率上都有能量。因此，將需要無窮大的能量來產生真正的脈衝。所以，實際情況下，產生的脈衝只要滿足需求即可，就是在所需頻率段內的頻譜是一條橫線。
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