正比例函數中的一線三直角應用(八年級數學)

正比例函數中的一線三直角應用（八年級數學）

在八年級數學正比例函數的學習中，關於它的應用，最基礎的就是求解析式，根據它的特點，我們只需要知道直線上的一個點坐標，即可求得比例係數k，而在坐標系中求點坐標，我們在七年級已經建立了坐標與幾何線段之間的關聯，這對於初次經歷數形結合的八年級學生來講，需要一個熟練的過程，也就是說，一般會通過向坐標軸作垂線完成坐標與線段長之間的轉化，同時需要注意的是，坐標是有符號區別的，而線段長卻是正數，要看清點在第幾象限。

題目

如圖，正比例函數y=kx經過點A，點A在第四象限，過點A作AH⊥x軸，垂足為點H，點A的橫坐標為3，且△AOH的面積為3.

(1)求正比例函數的解析式；

(2)若直線y=mx(m<k)上有一點B滿足∠AOB=45°，且OB=AB，求m的值.

解析：

(1)這個正比例函數經過點A，因此我們需要求出點A坐標，而它的橫坐標已經給出，是3，縱坐標則隱藏在條件△AOH的面積為3中，△AOH是直角三角形，面積為OH與AH乘積的一半，其中OH=3，因此可求出AH=2，於是點A坐標為(3,-2)，再代入y=kx，求出k=-2/3，所以正比例函數解析式為y=-2/3x；

(2)當看到∠AOB=45°時，在八年級的解題經驗中，最容易聯想到的是等腰直角三角形，恰好有這麼一個特殊銳角，那麼，圖中的△AOB是否這樣的三角形呢？

結合題目中的條件OB=AB，答案是肯定的，△AOB是一個等腰直角三角形，這就形成的一線三直角最基本的條件，構造的方法是過點B向y軸作垂線，如下圖：

圖中△OBE與△BAF的全等條件非常容易找齊，∠BEO=∠F=90°，利用同角的餘角相等證明∠ABE=∠BAF，再加上OB=AB，得到△OBE≌△BAF，所以BE=AF，OE=BF，請注意我們需要知道BE和OE的長度，分別對應求B點的橫縱坐標，因此需要尋找它們之間的等量關係，圖中四邊形OEFH可證明是一個矩形，於是EF=OH=3，而OE=HF，下面進行替換，OE=AH+AF=2+AF=2+BE，另一方面，BF=EF-BE=OH-BE=3-BE，所以我們可得方程2+BE=3-BE，可求出BE=1/2，因此OE=5/2，至此得到點B坐標為(1/2,-5/2)，將其代入y=mx，求出m=-5.

解題反思

這道題作為一道正比例函數習題課的思考題布置下去，交上來的同學很少，這對於剛剛學完正比例函數的八年級學生來講，綜合力度較大，完成不易，但藉助這道題，至少讓學生明白正比例函數的直線特徵與幾何裡是完全一樣的，只是在坐標系中，幾何中的直線可以用解析式表示，即幾何代數化，為後面一次函數的應用發一個「預告片」，能從這道題反思自己思路缺陷的學生，無疑將在後續學習中如魚得水。