時間常數(time constant)—τ及其應用

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時間常數（ τ）：表示某物態過渡反應時間過程的常數。具體來說，我們將某按指數規律衰變的量，將其幅值衰變為 1/e 倍時所對應的時間，定義為該過程時間常數的基本值。

 

我們來看第一個例子：

 

例如我這會兒使用的筆記本，它已經工作了數個小時了。現在我把筆記本關機，我們會發現筆記本的表面溫度不斷地下降，剛開始較快，後來逐漸變慢，最後筆記本的表面溫度與環境溫度等同。

 

在這裡，就有降溫過程的時間常數存在。至於升溫，也有時間常數，並且與降溫過程的時間常數相同。

 

為了討論方便，我們用一段導線的通電過程來具體描述。

 

根據能量平衡原則，我們知道當一段導線流過電流後，電流對導線產生的熱量Q 分成 Q1 和 Q2 兩個部分，Q1 用於提高導線自身的溫度，Q2 則用於散熱。

 

我們設發熱功率是 P，於是導線在 dt 時間內產生損耗熱量 Q 當然就是 Pdt。

 

我們設導線的質量為m，它的比熱容是 c，導線的溫升（即現時溫度與前段溫度之差）為 dT，則在 dt 時間內導體升溫所消耗的熱量 Q1 是 mcdT。

 

我們知道，導體的散熱途徑有熱輻射、熱對流和熱傳導，我們用導體的綜合散熱係數Kt 來等效這三種散熱途徑，我們再設導體的散熱面積是 A，溫升（即環境溫度與導體表面溫度之差）是 T，於是在dt 時間內，導體散熱消耗的熱量Q2 是 KtATdt。

 

於是在導體非穩定發熱狀態（指升溫過程和散熱過程）下，我們就得到如下熱平衡方程式：

𝑃𝑑𝑡= 𝑚𝑐𝑑𝑇 + 𝐾tA𝑇𝑑𝑡，我們把這個式子叫做式 1現在，我們把式 1 的兩邊均除以 mcdt，然後略加整理，得到： 式2中，τ就是時間常數，它的表達式為：。我們來看看τ的單位是什麼：我們把式 2 中的時間 t取零值，由此求得。將它代入到式 2 中，得到最終式，如下：，我們把它叫做式 3

在這裡，我們把Tw 叫做穩定溫升。同時，我們看到，當時間到達 4τ時，升溫過程基本結束。那麼降溫過程又如何？正好與曲線1 相反。當時間t趨於無窮大時，溫升到達穩定值P/AKt，也即：。

式 4 有一個偉大的名字，叫做牛頓散熱公式，它是牛頓首先推導出來的！

圖 2：牛頓散熱公式

 

對於導線，我們知道 𝑃 = 𝐼2𝑅，我們把它代入到牛頓散熱公式中，可以推得許多有趣的結論。限於篇幅，這裡不做詳解。

 

那麼從導線的溫升出發，我們能得到什麼有用的知識？當然有。

 

電器，包括開關電器和家用電器，還有各種用電設備，例如內含電動機的機械裝置等等，甚至連  我們的手機都可以算上，這些電器和用電設備的升溫和降溫過程與導線是類似的，也存在時間常數。

 

我們已經知道，當導線的通電時間長於 4  倍時間常數（4T）後，導線的溫升就穩定了。這個結論對於用電設備來說，也是一樣的。不同的是，用電設備對應的是工作制。

 

工作制有四種，包括 8 小時工作制、長期工作制、短時工作制和反覆短時周期工作制。8 小時工作制與長期工作制差不多，我們把它們合併為長期工作制。

 

長期工作制：用電設備的升溫過程時間長度超過 4 倍時間常數τ，它的工作溫度穩定；用電設備的降溫過程時間長度超過  4T，它停電後的溫度能夠回歸到環境溫度。因此，長期工作制下的用電設備可以用額定功率和額定電流來運行。

 

短時工作制：用電設備的升溫過程時間短於 4τ，但降溫過程時間長於4τ。短時工作制下的用電設備功率溫度不會很高，而散熱又十分徹底。因此，短時工作制下的用電設備可以適當地放大功率。

 

反覆短時周期工作制：用電設備的升溫過程時間短於 4τ，但散熱時間也短於 4τ。同時，運行和停運反覆周期性地交替執行，用電設備的溫度越來越高，因而在反覆短時周期工作制下，用電設備必須  降低容量（降容）。

對於家用電器來說，最典型的長期工作制電器有：電冰箱、空調、熱水器等等。最典型的短時工作制電器有：女孩子吹頭髮的烘乾機，還有廚房粉碎機等等。

圖 3：這些家用電器的工作制是什麼？

 

以吹頭髮機為例，它是短時工作制的電器。如果不信，我們把它連續運行1 個小時看看，非燒掉不可。可見，吹頭髮機其實是放大容量的。

至於廚房粉碎機，它也是短時工作制的，它的運行時間一般不得超過2分鐘。我們把2分鐘除以4， 得到時間常數τ為半分鐘。可見，廚房粉碎機的最合適工作時間在 1τ到 3τ之間，也即1分半鐘以內。

 

至於空調和電冰箱，它們是長期工作制下的電器。

現在，我們來看第二個例子，還是與電學有關：

我們手邊有一根鉛絲，打算用它來作保險絲。這根鉛絲的直徑是2毫米，長度是50毫米，20度時的電阻率是0.2×10-6Ω·m，綜合散熱係數𝐾t =15𝑊（𝑚2  ∙𝐾），鉛絲的熔點是327度，又知道它的電阻溫度係數是0.00336/度。問：若室溫為 40度時，這根鉛絲能長期通過的最大電是多少？若鉛絲的密度γ=11.3×103kg/m3，比熱容 c = 128W·S（kg·K），那麼它的時間常數是多少？

 

我們來看看結果是什麼：

 

我們由 𝐼2𝑅 = 𝐾t𝐴𝑇來計算電流，即：

我們把具體數值代入，得到 40 度時的最大電流值是：

 

那麼這個鉛絲的熔斷電流是多少？我們把熔化溫度 327 度代入電流計算式，解得I 約等於 15.2A。

我們再來看它的時間常數：

時間常數是 48.2 秒。所以，當這個鉛絲用作保險絲時，在 4τ=198.2 秒（三分鐘多一些）後，鉛絲的溫度就趨於穩定。

 

我們發現，時間常數與鉛絲的長度 L 無關！不管是載流量也好，是時間長度也好，都不受鉛絲長度的影響。

 

下圖是閘刀開關中的鉛絲（保險絲）：

這說明什麼？

 

第一：時間常數與升溫和散熱過程有關，是一個系統參量

 

第二：時間常數決定了升溫和散熱的速率，例如保險絲從 20 度升溫到 40 度的平均升溫速率是 20/1928.2=0.1 度/秒，散熱平均速率也與此相同。

 時間常數，在這裡起到很重要的作用。

我們看第三個例子，一個有趣的問題：

 

忘了看哪本書，書中說某地的蜂農們注意到一件事：當地的草本植物花朵繁茂程度存在5 年的循環周期。為何如此？一位生物學家做了仔細研究。他發現的問題歸結如下：

 

1）當草本植物開始繁茂時，蜜蜂因為蜜源多了，蜂蜜產量大增，繼而蜂農也發了財。

 

2）植物茂盛，老鼠也多起來。老鼠以草本植物的根莖為食。由於食物量充足，老鼠的族群得到發展，鼠國人口劇增。

 

3）由於老鼠的數量多了，草本植物的數量增長受到抑制，接著就大量減少。蜜蜂因為沒有了蜜源，  蜂蜜產量大減，蜂農開始虧本。

 

4）老鼠的食物少了，老鼠也大量死亡，於是鼠國人口劇減。草本植物由此得到休養生息，接著又開始繁茂起來。進入新的循環。

這本書接著對植物繁茂和衰亡的時間常數做了分析，也對鼠國人口增減的時間常數也做了分析，並把這兩個時間常數之間的關係做了定量解析，並給出了結論。

 

限於篇幅和專業，我就不細說這兩個時間常數之間的關係了吧。

 

為何時間常數總與自然對數的底 e 扯上關係？

 

關於時間常數的例子多到無法統計。例如人口增長、經濟危機、電氣參量增減、機械設備的老化，  甚至我們在銀行的存款增長，等等，其中都有時間常數的影子。

 

我們在討論時間常數時，總是和自然對數的底——e   扯上關係。這是為何？在百度百科中，舉了一個很有意思的例子，摘錄剪輯如下：

 

設想我們有 1 元錢，某家銀行給我們的利率為 100%，我們把這一元錢存到銀行去，一年後就有 2元錢。

如果我們把複利計算在內，並且是半年計息，於是一年後，我們就。如果按4 個月計息，就會有元

由此可見，如果在一段時間內增長率為100%，且在這段時間內增長了 x 次，每次增長的幅值均為1/x，則這段時間內總的增長

現在，我們考慮增長發生的頻率是無窮大，則這段時間內的總的增長為：

e所代表的是名義基礎增長率為 1時連續增長的實際增長率，是所有增長中最快的。也因此，我們把e叫做極限增長速度。由此可見，在增長模型中出現e，是一點也不奇怪的。

 

我們再看本文開頭給出的有關時間常數的定義，其中的一句話是：「我們將某按指數規律衰變的 量，將其幅值衰變為 1/e  倍時所對應的時間，定義為該過程時間常數的基本值」，現在，我們很容易理解這句話的意義了。

 

最後，我還是用電學的例子來作為結尾吧。我們看R-C 電路中電容電壓的變化情況。

 

我們知道，電容 C是電量與電壓之比，也即：C=Q/U。我們還知道，電量 Q等於電流與時間的乘積，即Q=it。我們把它代入到電容表達式中，並且時間用 dt來表示，而電壓則用dUc來表示，我們就可以推得流過電容的電流 i的表達式為

進一步我們就可以得到，電阻-電容電路中的電容放電錶達式，如下：

而電容的充電錶達式為：

這裡的U0 是電源電壓，且電阻 R 與電容串聯。電容的放電和充電波形如下：

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