反常積分的審斂法和τ函數

大家好，我是專升本數學學霸，今天討論的內容是反常積分的審斂法和τ函數以及定積分的應用，那你知道反常積分的審斂法和τ函數以及定積分的應用呢？我們接下來探討一下。

一、無窮限反常積分的審斂法

定理1

設函數f(x)在區間[a,+∞）上連續，且f(x)≥0,。若函數

公式1

在[a,+∞]上有上界，則反常積分

公式2

收斂。

定理2

（比較審斂原理） 設函數f(x),g(x)在區間[b,+∞)上連續，如果 0≤f(x)≤g(x)(b≤x ≤+∞)，並且

公式3

收斂，那麼 反常積分

公式4

也收斂；

如果 0≤g(x)≤f(x)(a≤x ≤+∞)，並且反常積分（公式3）發散，那麼反常積分（公式4）也發散。

定理3

（比較審斂法1）設函數f(x)在區間[c,+∞)（c>0）上連續，且f(x)≥0.如果存在常數M>0及p>1,使得f(x)≤ M/（x^p）(a≤x≤+∞)，那麼反常積分

公式5

收斂；如果存在常數N>0使得f(x)≥ N/x (a≤x≤+∞),那麼反常積分（公式5）發散。

定理4

（極限收斂法2）設函數f(x)在區間[d,+∞)上連續，且f(x)≥0.如果存在常數p>1,使得

公式6

，那麼,反常積分

收斂；

如果

公式8

（或

公式9

）

那麼反常積分（公式7）發散

定理5 設函數f(x)在區間[e,+∞)上連續，如果反常積分

公式10

公式11

也收斂

二、無界函數的反常積分的審斂法

定理6

（比較審斂法2） 設函數f(x)在區間（a,b]上連續，且f(x)≥0, x=a為f(x)的瑕點、如果存在常數M>0及q>1,使得

f(x)≤ M/((x-a)^q) (a<x≤b)，

那麼反常積分

公式12

收斂；如果存在常數N>0,使得

f(x)≥ N/(x-a) (a＜x≤b)

定理7

(極限收斂法2)設函數f(x)在（a,b]上連續，且f(x)≥0，x=a為f(x)的瑕點。如果存在常數 0<q<1使得

公式13

存在，那麼反常積分（公式12）收斂；如果

公式14

公式15

那麼反常積分（公式12）發散。

三、τ函數

1.(遞推公式)τ(s+1)=sτ(s)（s>0）。

2. 當 a → 0+時，τ（s）→ +∞。

3.τ(s)τ(1-s)=π/ (sin πx) （0<s<1）

最後，在總結幾句話，特別地，周長的積分是面積，面積的積分是體積。

以上內容是個人總結的觀點，不代表官方的觀點。專升本的一元函數微積分討論為止，今天的這塊內容很少考察，可以了解一下。以後在討論其他的，總結考點。歡迎大家來觀看學霸發布的文章，如果覺得不錯，請點讚！如果下次還想看，請收藏本！請關注我，我會隨時發布專升本數學視頻和文章。有什麼意見，請在評論區討論。學霸會幫你解決一些問題。謝謝大家的支持與鼓勵和諒解。最後，祝專升本學子考上自己心意的本科，希望專升本學子金榜題名。