如何利用電路的「時間常數」預判響應?

2021-01-13 泡瓦伊萊克超尼克斯

「時間常數」哪學來的？

「電路」/「信號與系統」/「自動控制原理」，多次揭示一階系統的運行規律，其中τ(tao)就是時間常數time constant。電路中，RC串聯的零狀態響應是典型的一階電路，τ=RC。

若u(t)為單位階躍輸入，輸出y(t)經過3-5個τ的滯後才可近似認為進入了穩態，達到靜態增益k。

簡言之，「時間常數」只針對一階系統，廣義上的時間常數或可針對主導極點為一階形式的，類一階的高階系統。直觀地說，它代表了系統對抗外界變化，保持原狀的抵抗能力（慣性）。

那麼，從穩態來看，只要我身為舔狗等女神足夠久，一階環節的時間常數並不會對直流輸入產生影響。

直流書上都有，交流呢？


實際工程的採樣環節中，除了直流信號，我們常遇到交流信號（或含交流信號）的調理與高頻噪聲濾除，最簡單且典型的，即採用一階濾波電路實現。

濾掉高頻噪聲很簡單，但我們也應該關心，經過時間常數τ的一階濾波，正弦輸入基波的穩態響應，有沒有可能被濾過頭？



從用戶友好+小白實用的角度出發，必然是直接從時域得到結論。

不必每次都理論計算/仿真，而能秒答這兩個問題，加速調試和設計過程，是本文撰寫的初衷。

怎麼分析？

為了儘可能量化，聯繫理論工具：正弦穩態響應→波特圖。

一階系統波特圖和漸近線如下，轉折頻率為藍色線fc，輸入的ac信號基波頻率為綠色線fac。

由圖可知，為了幾乎不產生衰減和相移的失真，放在轉折頻率1/10以下，fac<fc/10。

我們就把fac放在fc/10的地方，為了找出時間常數和交流信號，在時域的直接關係，列表如下：



那麼，為了研究時域延遲，如果讓輸入信號頻率fac在fc之下自由移動，（上圖中橙色區域），即周期低於20pi*τ，相移會有負的0°-45°之多，對應的時域呢？

一階系統相位表達式如下，橙色區域恰對應自變量2pi*f*τ的範圍在[0，1]。

百度一下，白嫖個函數圖像：


為了避免用大一高等數學的泰勒展開和各階近似把人繞暈，直接由圖可知：

x→0（無窮小），有y=-x成立；x=1時，y=-x*pi/4。

如果你願意，可以把這段區域用y=-x和y=-x*pi/4包起來。

因此，知道了相角，由高中數學三角函數知識，顯然可以得到對應的時間：

總結下

這就是大家的直覺印象，交流信號通過時間常數τ的濾波器，會產生大約τ的時域延遲的由來。

但要注意，該結論的近似條件，只到轉折頻率fc，也就是低頻才可等效。

某種程度上，這也直接從時域等效的角度，解釋了耳熟能詳的：

如果從頻域的角度，畫出延遲環節（含e的超越函數）的波特圖曲線，可以發現在低頻段，其相角和一階系統差異很小。

究其數學根本，就是高數的泰勒展開近似。感興趣的同學可以自行查閱陳伯時老師的「電力拖動自動控制系統」課本，附錄中針對該近似的推導。


寫在開篇的最後：

也許和很多在看本文的讀者一樣，筆者也是從EE電子電氣類的相關專業科班畢業。但在實際工程和項目實踐中，發現很多基礎不紮實的工程師/在校同學，對本科課本上諸多知識點，僅停留在「好像學過」的模糊狀態，不能應用於實際問題。

如果你和我一樣，曾經或者現在是公式「小白」，崇尚實用論，但同時，希望本科課本上的知識沒有白學，不認可經驗是硬體工程師的唯一財富，不再願意點開網絡上充斥的大量複製粘貼的技術文章，被各大營銷號的廣告噱頭消耗耐心，或者，牴觸長篇大論的數學理論推導，那麼希望這個公眾號能有幸成為你的夥伴。筆者並非技術大牛，且數學功底薄弱，後續的文章一律會專注探討老生常談，「看似」非常簡單的實踐問題。

有，且僅有必要時，才引入部分基礎公式和理論，但絕不是簡單搬運。希望能用最淺顯的理論和最短的篇幅，圖文並茂，建立理論和實用技術的紐帶，填補空白。


規劃中的內容agenda如下（順序不定, 且更新周期可能會較長）

如有其他建議，歡迎聯繫作者添加話題：

如何利用電路的「時間常數」預判響應？（已完結）

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......

（未完待續）

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