法國著名數學家龐加萊曾說：「能夠作出數學發現的人，是具有感受數學中的秩序、和諧、對稱、整齊和神秘美等能力的人。」
美的最大特徵是具有感性形象。自然界總是以其悅耳的聲音、絢爛的色彩、突兀的形式呈現它的多姿，藝術是通過典型的形象來博得人們的讚美，數學的美則表現在嚴謹的理論結構、簡潔明快的數學語言、應用廣泛的思想方法，基本特徵是簡潔性、對稱性、統一性、奇異性、思辨性。古代埃及人就認為：圓，是神賜給人的神聖圖形。
其實18000年前的山頂洞人用一種尖狀的石器來鑽孔，一面鑽不透，再從另一面鑽。石器的尖是圓心，它的寬度的一半就是半徑，這樣以同一個半徑和圓心一圈圈地轉就可以鑽出一個圓的孔。
到了陶器時代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個轉盤上製成的。
6000年前，半坡人就已經會造圓形的房頂了。古代人還發現圓的木頭滾著走比較省勁。後來他們在搬運重物時，就把幾段圓木墊在重物的下面滾著走，這樣就比扛著走省勁得多。
大約在6000年前，美索不達米亞人，做出了世界上第一個輪子——圓的木輪。
約在4000年前，人們將圓的木輪固定在木架上，這就成了最初的車子。但會作圓並且真正了解圓的性質，卻是在2000多年前，是由我國的墨子給出圓的概念的：「一中同長也。」意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長度都相等。這個定義比希臘數學家歐幾裡得提出的時間早100年。
圓，是人類最鍾愛的幾何造型之一圓可以象徵圓滿，完美，也有圓潤和諧的寓意。圓是一種「完美」的圖形，與圓相關的定理簡潔、別致，給人美感，令人陶醉，使人讚嘆。如圖，圓的面積公式、扇形面積公式、扇環面積公式如此相似，展現了數學公式的統一之美。
統一性既是數學家追求的目標之一，又是數學美的特徵之一統一性能幫助人們既關注細節，又把握整體，並產生偉大的發現．
當一個輪子在一條直線上平穩地滾動，輪子上的一個固定點所留下來的軌跡曲線叫擺線）１7世紀，總更據發現了擺線的學時性，設計出有鐘擺的時鐘，擺線因此而得名。伽利略發現了與擺線相關的重要結論：擺線弧長是輪子直徑的4倍，擺線拱形面積是輪子面積的3倍。
託勒密定理：
圓內接四邊形兩條對角線的乘積等於兩對對邊乘積之和。
託勒密定理的證明：
已知：四邊形ABCD內接於圓，如圖，求證：AB·CD+BC·AD=AC·BD.
證明：在∠BAD內作∠BAE=∠CAD，交BD於E。因∠ABE=∠ACD，所以△ABE∽△ACD，從而AB·CD =AC·BE ①；
易證△ADE∽△ACB，所以BC·AD=AC·DE ②；
①+②得AB·CD+BC·AD=AC·BD。
例2.蝴蝶定理
已知：過圓O的弦PQ的中點M任作兩條相交弦AB、CD，聯結AC、BD分別與PQ交於E和F。
求證：ME＝MF.
根據維基百科，此結論1803年被提出，1944年被命名為蝴蝶定理，確實本圖形形狀酷似一隻翩翩起舞的蝴蝶。此題圖形簡潔、結論優美，證明卻殊為不易。所以此題一經披露，就引起了眾多關注，也出現了多種證明，常見的有10多種。最早見於1815年《男士日記》,近年來，此定理又載沉載浮，出現了一些新的證明，分櫱出新的變種，並在競賽及練習中時隱時現。本系列文章準備系統梳理此定理的經典證明，挖掘其本質，詳細介紹各種變式，並結合最新題目展示其應用。第一篇文章準備先介紹本定理的五種典型證法。
本定理證明的思路主要是兩類:一類是純幾何方法，另一類是計算。計算方法又大概分為兩類：三角計算（面積法、Menelaus定理、交比等）、解析法。
純幾何方法一
思路分析1：看到圓及中點M想到垂徑定理，兩邊元素相對分散，考慮到將C關於OM對稱到C』，倒角發現MBC』F共圓，然後利用全等即可。
證明1：作弦CC'∥PQ，聯結C'M、C'F。
則C、C』關於OM對稱，故∠FMC』=∠MC』C=∠MCC』=∠DBC』,故M、B、C'、F四點共圓，故∠F C』M=∠ABD=∠ECM,
又CM=C』M, ∠FMC』=∠EMC,則△CME≌△C'MF(ASA),故ME=MF。
純幾何方法二
思路分析2：顯然OM⊥PQ，欲證ME=MF,即證△OME≌△OMF。顯然△AMC∽△DMB，由對稱性想到垂徑定理，取AC、BD中點，從而得到共圓及等角，即得證。
證明2：聯OM，由垂徑定理，OM⊥PQ。再作OS⊥AC於S，OT⊥BD於T，
聯結OE、OF、MS、MT。由垂直得MESO及MFTO四點共圓，
則∠MOE＝∠MSE，∠MOF＝∠MTF，
而由△AMC∽△DMB及S、T為中點，
得∠MSA＝∠MTD(相似三角形對應角相等)
∴ ∠MOE＝∠MOF，
由此Rt△OME≌Rt△OMF（ASA），故ME＝MF。
例3.西姆松線
過三角形外接圓上異於三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線上的垂線，則三垂足共線。這條線稱為西姆松線。
如圖，P在△ABC的外接圓上，PD、PE、PF分別垂直於AB、BC、CA，垂足為D、E、F，則D、E、F共線。
證明：∵∠PFA=∠PDA=90°，
∴A、D、F、P四點共圓，∴∠PFD+∠BAP=180°，∴∠PFC=∠PEC=90°，
∴C、E、P、F四點共圓。∴∠PFE=∠BAP，
∴∠PFE=∠BAP，∴∠PFD+∠PFE=180°。
∵A、B、C、P四點共圓，∴D、E、F三點共線。
與圓相關的優美定理精彩紛呈，如：
蒙日三圓定理：
如圖，三個大小不等的圓中，任意兩個圓的兩條外公切線都相交於一點，這三個交點共線。這是法國數學家蒙日證明的定理。
眼球定理：如圖，過兩個圓的圓心分別作另一個圓的切線，則切線與兩圓相交的交點之間的線段相等。
九點共圓：如圖，三角形各邊中點、三條高的垂足、各頂點與垂心之間的中點，這九點共圓。
自古希臘數學家畢達哥拉斯提出「整個世界就是數的和諧」命題後，數學美就成為許多數學家、科學家的孜孜追求。
張奠審教授曾提出欣賞數學美的四個層次：美觀、美好、美妙、完美。任意三角形的三條高（三條中線、三條角平分線）交於一點，拋物線可用方程y=
ax2+bx+c刻畫，面對一個挑戰性的數學問題，在我們冥思苦想，「山重水複疑無路」之時，忽然茅塞頓開，「柳暗花明又一村」，經歷怦然心動、豁然開朗、悠然心會的心路歷程，必然感受到的是成功的喜悅和心靈的愉悅，這就是數學美的第三個層次—美妙。
一個學生，如果在揮汗耕耘後，滿腦子仍然是抽象的理論、乾巴的公式、乏味的定理，而不能透過公式、定理、符號去體驗和捕捉數學的神奇與優美，那將是一種遺憾。
一個學生，如果能從數學學習中體驗到自然的哲理與詩意，領悟到自然的和諧與秩序，那麼必然情靈搖蕩，胸襟開闊。
德國著名物理學家海森堡曾說：「在精密科學中，絲毫不亞於在藝術中，美是啟發和明晰的最重要的源泉。我感到，透過原子現象的外表，我看到了一個美麗的內部結構。當想到大自然如此慷慨地將珍貴的數學結構展現在我眼前時，我幾乎陶醉了」。