進入中考總複習後，一直都在思考一個問題，如何高效的複習？如何針對中考的特點選題複習？確保大眾學生熟練基本知識，基本技能，又讓優生能力有所提升，培優磨尖。如何把握這個度？
本文著重講解幾何解題中的隱圓問題。特別是動態背景下，如果能考慮或者發散到添加輔助圓，那麼題目的思路就寬了，解題明朗，所謂的捷徑就來了。實際考題，題目是一個無圓的背景狀態，也即學生常常疑惑的，圓都去哪兒了，所以必須先確定或者說具備的思維是如何找到隱圓。其實隱圓思維的真正聯想還是來自於圓的性質或定義。常見的有如下幾種情況：
類型1 利用旋轉的觀點，以旋轉中心為圓心，旋轉的線段長度為半徑構造出圓
例1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB邊的中點，F是線段BC邊上的動點，將△EBF沿EF所在直線摺疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值是______．
【分析】不管點F如何運動，點E是定點，B'繞點E旋轉，故可以畫出以E為圓心，EB'為半徑的隱圓，如圖所示點B′在以E為圓心EA為半徑的圓上運動，當D、B′、E共線時時，此時B′D的值最小，根據勾股定理求出DE，根據摺疊的性質可知B′E＝BE＝2，即可求出B′D．
【解答】如圖所示點B′在以E為圓心EA為半徑的圓上運動，當D、B′、E共線時時，此時B′D的值最小，
根據摺疊的性質，△EBF≌△EB′F，
∴EB′⊥B′F，∴EB′＝EB，
∵E是AB邊的中點，AB＝4，∴AE＝EB′＝2，
類型2 利用圓的定義，出現或具備定點和定長構造出圓
例2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝6．
（I）如圖①，將線段CA繞點C順時針旋轉30°，所得到與AB交於點M，則CM的長＝______；
（II）如圖②，點D是邊AC上一點D且AD＝2√3，將線段AD繞點A旋轉，得線段AD′，點F始終為BD′的中點，則將線段AD繞點A逆時針旋轉______ 度時，線段CF的長最大，最大值為_____．
【分析】（1）根據旋轉的性質及等腰三角形、等邊三角形的性質求解．
（2）取AB的中點E，連接EF、EC，EF是中位線，所以EF＝1/2AD，因為EC+EF≥CF，所以CF最大值＝EC+EF＝6+√3，此題由中點及AB定長聯想到中位線，而中位線是定長，一定點，一動點，因此根據圓的定義構造隱圓，從而充分解題。當然也可以考慮三邊關係來求最值。
【解答】（Ⅰ）如下圖①所示：∵將線段CA繞點C順時針旋轉30°，
∴△AMC 為等腰三角形，AM＝MC
∵∠BAC＝30°，∴△MBC為等邊三角形，∴AM＝MB＝CM
又∵BC＝6，∴AB＝2BC＝12，∴CM＝6故答案為：6
（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝6，∴AB＝12，
類型3聯想直徑所對的圓周角是90°，以斜邊為直徑，中點為圓心構造圓例3．
例3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5，P是矩形內部一動點，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP的最小值是_______．
【分析】可證明出∠APB為直角，聯想直徑所對的圓周角為90°，構造以AB為直徑的隱圓，將問題轉化成圓外一點到圓上動點的最值問題。或聯想弦切角等於所夾弧所對的圓周角模型，存在一隱藏的圓。
首先證明點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC與⊙O交於點P，此時PC最小，利用勾股定理求出OC即可解決問題．
【解答】∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，
∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜邊中線等於斜邊一半），
∴點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O於點P，此時PC最小，
∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5，
在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝5，OB＝4，
類型4 四點共圓，構造圓。
例4．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝kx（k≠0）經過點（a，√3a）（a＞0），線段BC的兩個端點分別在x軸與直線y＝kx上（點B、C均與原點O不重合）滑動，且BC＝2，分別作BP⊥x軸，CP⊥直線y＝kx，交點為P．經探究，在整個滑動過程中，P、O兩點間的距離為定值______．
【分析】可先求得k的值，可得∠BOC＝60°，再由條件可知O、B、P、C四點共圓，OP為直徑，設圓心為D，分別連接CD和BD，過D作DE⊥BC於點E，由垂徑定理可求得BE，用可知∠BDE＝60°，在Rt△BDE中可求得BD的長，從而可求得直徑．
這是一個典型的兩90°對角組成的四邊形，易證點O、C、P、D四點共圓，所以構造過四點的隱圓（以OP為直徑），通過分析隱圓上的相關數量關係，結合正比例函數經過點的特殊性，與x軸夾角為60°，將PO的距離轉化為隱圓的直徑來求解。
【解答】∵直線y＝kx（k≠0）經過點（a， a）（a＞0），
∴√3a＝ka，∴k＝√3，∴∠BOC＝60°，
又由題意可知∠PCO＝∠PBO＝90°，∴∠PCO+∠PBO＝180°，
∴O、B、P、C四點共圓，OP為直徑，
如圖，設圓心為D，分別連接CD和BD，過D作DE⊥BC於點E，
則BE＝1/2BC＝1，∵∠BDC＝2∠BOC＝120°，∴∠BDE＝60°，∴DE＝1/2BD，
反思：四點共圓是隱圓問題的中常見類型,除了對角互補四點共圓模型外，還有如下的四點共圓模型。
類型5 藉助兩圓一線模型，構造圓計中垂線，判定等腰三角形存在性
例5．如圖1．已知正方形ABCD的邊長為1，點P是AD邊上的一個動點，點A關於直線BP的對稱點是點Q，連結PQ、DQ、CQ、BQ，設AP＝x．
（1）BQ+DQ的最小值是______．此時x的值是______．
（2）如圖2，若PQ的延長線交CD邊於點E，並且∠CQD＝90°．
①求證：點E是CD的中點；②求x的值．
（3）若點P是射線AD上的一個動點，請直接寫出當△CDQ為等腰三角形時x的值．
【解析】（1）BQ+DQ為點B到D兩段折線的和．由兩點間線段最短可知，連接DB，若Q點落在BD上，此時和最短，且為√2．考慮動點運動，這種情形是存在的，由AP＝x，則PD＝1﹣x，PQ＝x．又PDQ＝45°，所以PD=√2PQ，即1﹣x＝√2 x．求解可得x＝√2-1．
（2）由已知條件對稱分析，AB＝BQ＝BC，則∠BCQ＝∠BQC，由∠BQE＝∠BCE＝90°，可得∠EQC＝∠ECQ．那麼若有QE＝ED，則結論可證．再分析新條件∠CQD＝90°，易得①結論．求x，通常都是考慮勾股定理，選擇直角三角形PDE，發現PE，DE，PD都可用x來表示，進而易得方程，∴DE＝QE＝CE＝1/2，∴PE＝PQ+QE＝x+1/2，∴(x+1/2) =(1-x) +(1/2) ，解得 x＝1/3．
（3）聯想「兩圓一線「模型，若△CDQ為等腰三角形，則邊CD比為改等腰三角形的一腰或者底邊．又Q點為A點關於PB的對稱點，則AB＝QB，以點B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，則Q點只能在弧AB上．若CD為腰，以點C為圓心，以CD的長為半徑畫弧，兩弧交點即為使得△CDQ為等腰三角形（CD為腰）的Q點．若CD為底邊，則作CD的垂直平分線，其與弧AC的交點即為使得△CDQ為等腰三角形（CD為底）的Q點．則如圖所示共有三個Q點，那麼也共有3個P點．作輔助線，利用直角三角形性質求之即可．
（3）答：△CDQ為等腰三角形時x的值為2﹣√3，√3/3，2+√3．
【點評】本題第一問非常基礎，難度較低．第二問因為動點的原因，思路不易找到，這裡就需要做題時充分分析已知條件，尤其是新給出的條件．其中求邊長是勾股定理的重要應用，是很重要的考點．第三問是一個難度非常高的題目，可以利用尺規作圖的思想將滿足要求的點Q找全．另外求解各個P點也是考察三角函數及勾股定理的綜合應用，有著極高的難度．
牛刀小試
1．如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝8，BC＝12，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PCA＝∠PBC，則線段AP長的最小值為_____．
【解析】利用∠PCA＝∠PBC得∠PBC+∠PCB＝90°，則∠BPC＝90°，根據圓周角定理的推論可判定點P在以BC為直角的⊙O上，連接OA交⊙O於P，此時PA的長最小，然後利用勾股定理計算出OA即可得到PA長的最小值．
故答案為4．
2．正方形ABCD的邊長為3，點E，F分別在射線DC，DA上運動，且DE＝DF．連接BF，作EH⊥BF所在直線於點H，連接CH．
（1）如圖1，若點E是DC的中點，CH與AB之間的數量關係是_______；
（2）如圖2，當點E在DC邊上且不是DC的中點時，（1）中的結論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說明理由；
（3）如圖3，當點E，F分別在射線DC，DA上運動時，連接DH，過點D作直線DH的垂線，交直線BF於點K，連接CK，請直接寫出線段CK長的最大值．
【解析】（1）首先根據全等三角形判定的方法，判斷出△ABF≌△CBE，即可判斷出∠1＝∠2；然後根據EH⊥BF，∠BCE＝90°，可得C、H兩點都在以BE為直徑的圓上，判斷出∠4＝∠HBC，即可判斷出CH＝BC，最後根據AB＝BC，判斷出CH＝AB即可．
（2）首先根據全等三角形判定的方法，判斷出△ABF≌△CBE，即可判斷出∠1＝∠2；然後根據EH⊥BF，∠BCE＝90°，可得C、H兩點都在以BE為直徑的圓上，判斷出∠4＝∠HBC，即可判斷出CH＝BC，最後根據AB＝BC，判斷出CH＝AB即可．
（3）首先根據三角形三邊的關係，可得CK＜AC+AK，據此判斷出當C、A、K三點共線時，CK的長最大；
然後根據全等三角形判定的方法，判斷出△DFK≌△DEH，即可判斷出DK＝DH，再根據全等三角形判定的方法，判斷出△DAK≌△DCH，即可判斷出AK＝CH＝AB；最後根據CK＝AC+AK＝AC+AB，求出線段CK長的最大值是多少即可．線段CK長的最大值是3√2+3．