中考數學:以圓為背景的幾何綜合題的解題策略

2021-01-08 胡不歸數學課堂

各地中考試卷經常出現以圓為背景，添加三角形、四邊形的幾何綜合題，這類題型難度不大，但是得分一般不是很好. 我們以兩道中考題為例進行分析：

【典例1】（2018河南中考19題）如下圖，AB是圓O的直徑，DO⊥AB於點O，連接DA交圓O於點C，過點C作圓O的切線交DO於點E，連接BC交DO於點F．

（1）求證：CE=EF；

（2）連接AF並延長，交圓O於點G．填空：

①當∠D的度數為_________時，四邊形ECFG為菱形；

②當∠D的度數為_________時，四邊形ECOG為正方形．

解析：（1）如下圖，連接OC，∵CE是圓的切線，∴∠OCE=90°，∴∠1+∠2=90°，∠1==90°﹣∠2，∵OB=OC ∴∠2=∠3 ∵DO⊥AB ∴∠3+∠4=90°，又∵∠4=∠5 ∴∠3+∠5=90°∴∠5=90°﹣∠3=90°﹣∠2 ∴∠5=∠1 ∴CE=EF.

（2）①由於AB是圓O的直徑 因此∠ACB=90°則∠DCF=90°，要使四邊形ECFG為菱形，需要CE=CF ∵CE=EF ∴CEF是等邊三角形 ∴∠DFC=60°∴∠D=30°；

②要使四邊形ECOG為正方形，需要CE=CO， ∴∠CEF=45° ∵在RtDCF中，EC=EF ∴ED=EC=EF ∴∠D=22.5°.

點評：此類幾何綜合題一般會涉及到圓、三角形、四邊形，條件比較繁雜且互相干擾，所以平時的學習要養成好的分析習慣，學生可以在審題時，拿著鉛筆邊讀題邊把關鍵信息標註到圖形上，比如讀到「AB是圓O的直徑」則馬上知道∠ACB=90°，就可以把相關角標註成直角符號.

【典例2】如下圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,點M是AC的中點，以AB為直徑作圓O分別交AC、BM於點D、E

（1）求證：MD=ME；

（2）填空：①若AB=6，當AD=2DM時，DE=________；

②連接OD，OE，當∠A的度數為________________時，四邊形ODME是菱形.

【分析】（1）先證明∠A=∠ABM，再證明∠MDE=∠MBA，∠MED=∠A即可解決問題．

（2）①由DE∥AB，得DE：AB=MD：MA即可解決問題．

②當∠A=60°時，四邊形ODME是菱形，只要證明△ODE，△DEM都是等邊三角形即可．

【解答】（1）證明：∵∠ABC=90°，AM=MC，∴BM=AM=MC，∴∠A=∠ABM，

∵四邊形ABED是圓內接四邊形，∴∠ADE+∠ABE=180°，又∠ADE+∠MDE=180°，

∴∠MDE=∠MBA，同理證明：∠MED=∠A，∴∠MDE=∠MED，∴MD=ME．

（2）① 由（1）可知，∠A=∠MDE，∴DE∥AB，∴DE：AB=MD：MA，∵AD=2DM，

∴DM：MA=1：3，∴DE=1/3·AB=1/3×6=2．故答案為2．

②當∠A=60°時，四邊形ODME是菱形．

理由：如下圖，連接OD、OE，∵OA=OD，∠A=60°，∴△AOD是等邊三角形，∴ ∠AOD=60°，

∵DE∥AB，∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，

∴△ODE，△DEM都是等邊三角形，∴OD=OE=EM=DM，∴四邊形OEMD是菱形．

故答案為60°．

【點評】本題考查圓內接四邊形性質、直角三角形斜邊中線性質、菱形的判定等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題，記住菱形的三種判定方法，本題屬於中考常考題型．

【歸納反思】

1、圓背景的綜合題，側重圓相關特徵的辨識，性質的應用，側重三角形、四邊形知識的考查，以證明、計算、開放性問題居多；

2、圓中處理問題的原則：①連半徑——得等腰； ②由角看弧、由弧找角； ③有直徑找直角，有直角找直徑； ④有切線連半徑；

3、如果要分析特殊的四邊形是否存在，就應該分析不變特徵及形成因素，題中已經具備什麼條件，依據定義、定理、判定方法，還需要什麼條件，這是解決此種問題的核心思路；

4、一定要注意規範書寫與模塊化書寫.

【配套練習】

1、 如下圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓O交AC邊於點D，過點C作CF∥AB，與過點B的切線交於點F，連接BD．

（1）求證：BD=BF；

（2）若AB=10，CD=4，求BC的長．

2、如下圖，CD是圓O的直徑，且CD=2cm，點P為CD的延長線上一點，過點P作圓O的切線PA，PB，切點分別為點A，B．

（1）連接AC，若∠APO=30°，試證明△ACP是等腰三角形．

（2）填空：

①當DP=__________cm時，四邊形AOBD是菱形；

②當DP=__________cm時，四邊形AOBP是菱形．

【答案】

1、（1）可通過證明BCD≌BCF得到結論；

（2）BC=4√5.

2、（1）連接OA，∵PA為⊙O的切線，∴OA⊥PA.

在Rt△AOP中，∠AOP=900－∠APO=900-300=600.

∴∠ACP=1/2∠AOP=1/2×600=300. ∴∠ACP=∠APO, ∴AC=AP.

∴△ACP是等腰三角形.

（2）①1； ②√2-1.

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