不管是茶杯、水杯還是保溫杯，它們都是有容積的，總有滿的時候。但有這麼一種杯子，別說裝水，就算把就算把四大洋裝進去都裝不滿，這是怎麼做到的？
這個就是只存在於四維空間的「克萊因瓶」，最初由德國數學家菲利克斯·克萊因於公元1882年提出。克萊因瓶看起來是個瓶子，但實際上，數學中的克萊因瓶（Klein bottle）是一種不可定向的二維緊緻流形，沒有內部和外部之分。
克萊因瓶被視為莫比烏斯環的延伸，瓶子底部有一個洞，延長瓶子的頸部，並扭曲地進入瓶子內部，最終和底部的洞相連接。與我們日常使用的杯子不同，這個物體沒有「邊」，它的表面不會終結，因此無論你從哪兒往裡邊灌水，水都會從這個瓶子裡流出來，沒有人能夠將它灌滿。
科學家通過電腦模擬，將一隻螞蟻「丟進」克萊茵瓶裡，結果螞蟻最終走出了克萊茵瓶，它甚至不需要穿過杯子的表面那一層，科學家觀察後發克萊茵瓶是一個不可定向的拓撲空間。
而我們市面上常見的克萊因瓶只是三維空間中做出來的模型，真正的克萊因瓶是一個在四維空間中才可能表現出來的曲面。在三維空間中，我們只是犧牲了部分特徵，把它表現得似乎是自己和自己相交一樣。事實上，它的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，並不穿過瓶壁，因此，直到現在，克萊因瓶仍是克萊因頭腦中的「虛構之物」。