Fourier變換和Dirac δ函數——物理學中的數學工具

2021-02-24 研數學 習物理

前言:Fourier變換和Dirac  函數是從波函數中獲取粒子體系中的速度,動量,角動量,能量等力學量的數學工具。

1、Fourier變換

周期為  的函數  且在閉區間  中逐段連續且存在逐段連續導數,則可展開為如下在連續點上一致收斂的Fourier級數

其中三角函數滿足如下的正交歸一關係如下:

利用三角函數的Eular公式改寫(1)式,可得到:

其中復指數函數系  是區間  上的正交歸一函數系,滿足:

因此,Fourier級數是函數按連續不可數的正交函數系展開。

令  ,則  。當  時,  。對(2)式以積分的形式進行改寫,即在  展開式後面乘以一個  再在前面  中除以一個  ,  足夠小時可視為積分中的  ,可得到對於一個定義在無窮大空間中的非周期函數的Fourier變換。

(1)一維空間的中的Fourier變換:

(2)三維空間的中的Fourier變換:

若把  視為定義在位置空間中的函數,  視為定義在k空間中的函數。則可以得到如下結論:Fourier變換是給出兩個無窮大空間中兩個函數的一種對應關係。

(3)Fourier變換滿足如下兩個特點:

第一, 

第二,若變換核  變為  ,則前面的係數  變為 

2、廣義Fourier級數

若一函數系  是實空間中的一個正交歸一函數系,即

且是完備的,則滿足一定條件的函數  可有如下展開式

3、Dirac  函數

Dirac  函數  的定義有以下兩點組成:

(1) 

(2) 

Dirac  函數的重要性質:

(1) 

(2)

(3) 

(4) 

一維空間的Dirac  函數的Fourier變換:

三維空間的Dirac  函數及Fourier變換:

積分變量只是一個符號,因此具有一般性,自變量也不一定為空間位置,例如:

式(7)中令  ,可得

Dirac  函數的廣義Fourier級數表示:

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