前言:Fourier變換和Dirac 函數是從波函數中獲取粒子體系中的速度,動量,角動量,能量等力學量的數學工具。
1、Fourier變換
周期為 的函數 且在閉區間 中逐段連續且存在逐段連續導數,則可展開為如下在連續點上一致收斂的Fourier級數
其中三角函數滿足如下的正交歸一關係如下:
利用三角函數的Eular公式改寫(1)式,可得到:
其中復指數函數系 是區間 上的正交歸一函數系,滿足:
因此,Fourier級數是函數按連續不可數的正交函數系展開。
令 ,則 。當 時, 。對(2)式以積分的形式進行改寫,即在 展開式後面乘以一個 再在前面 中除以一個 , 足夠小時可視為積分中的 ,可得到對於一個定義在無窮大空間中的非周期函數的Fourier變換。
(1)一維空間的中的Fourier變換:
(2)三維空間的中的Fourier變換:
若把 視為定義在位置空間中的函數, 視為定義在k空間中的函數。則可以得到如下結論:Fourier變換是給出兩個無窮大空間中兩個函數的一種對應關係。
(3)Fourier變換滿足如下兩個特點:
第一,
第二,若變換核 變為 ,則前面的係數 變為
2、廣義Fourier級數若一函數系 是實空間中的一個正交歸一函數系,即
且是完備的,則滿足一定條件的函數 可有如下展開式
3、Dirac 函數Dirac 函數 的定義有以下兩點組成:
(1)
(2)
Dirac 函數的重要性質:
(1)
(2)
(3)
(4)
一維空間的Dirac 函數的Fourier變換:
三維空間的Dirac 函數及Fourier變換:
積分變量只是一個符號,因此具有一般性,自變量也不一定為空間位置,例如:
式(7)中令 ,可得
Dirac 函數的廣義Fourier級數表示:
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