古往今來，在所有的數學創新中，出現了太多令人驚喜的發明。有的數學概念的發展和潛力遠遠超出發明者的初衷和預期，它們在人類文明的進程中扮演著重要角色，幫助人類擺脫種種愚昧和困境。今天我們要細數的就是這樣十個值得稱頌的數學創新。
阿拉伯數字
1、2、3、4、5……這套簡單的數字被稱為阿拉伯數字。雖然名為「阿拉伯」，但其實它們最早起源於6或7世紀的印度，是阿拉伯人從印度人那裡習得的這些數字，然後在12世紀左右，中東數學家將這套數字的書寫方法帶到了歐洲。
可能很少有人會去深思這些最簡單的數字的意義，而它們卻是人類文明得以向前推進的關鍵要素。
13世紀初，義大利數學家斐波那契開始在他的工作中使用阿拉伯數字。隨後，西歐的定量科學取得了巨大的進步。為何在此之前羅馬人沒能做出富有創造性的定量科學？一種說法認為，這是因為用羅馬數字進行複雜計算並不是一項方便簡潔的任務，因此阿拉伯數字的出現代表了計數方法上的重大突破，為代數的發展鋪平了道路。如果沒有這些數字，數學或許會一直困在黑暗時代。
零的概念
在人類歷史上，人們從很久很久以前就理解了「無」的概念，有記錄以來的第一次使用代表了零的符號可以追溯到公元前3世紀的古巴比倫；到了在公元350年左右，瑪雅人的日曆上也出現了與之類似的符號。但零的概念實際上是在公元5世紀左右才在印度充分建立起來的。在此之前，數學家會儘量進行最簡單的算術計算。
這些早期的計數系統只把零看作一個佔位符，而不是一個有自己獨特值或屬性的數字。直到公元7世紀，人們才充分認識到零的重要性。終於在9世紀時，零才以一種與我們今天所使用的橢圓形類似的形式，進入了阿拉伯數字系統。
在繼續遷移了幾個世紀後，「0」隨著阿拉伯數字系統，在12世紀左右傳到了歐洲。從那時起，像斐波那契這樣的數學家便將0的概念引入了主流思想中，這在後來的笛卡爾、牛頓和萊布尼茨的微積分發明中均有突出的體現。現如今，0既是一個符號，也是一個概念，在從物理學和經濟學，從工程學到計算機的發展中，都發揮著重要作用。
負數
負數概念的第一次出現可追溯到公元前200年的中國。在《九章算術》的一章中，負數被用於求解一組聯立方程組。書中用紅色的杆表示正數，黑色的杆表示負數。
7世紀的印度天文學家婆羅摩笈多是第一個賦予負數意義的人。他用「財富」和「債務」的概念來表示正數和負數。這時的印度已經擁有了一個含有0的數字系統。婆羅摩笈多用一種特殊的符號表示負號，並寫下了一些關於正、負的運算規則。
直到15世紀，負數才開始出現在歐洲，這開啟了一個建立在前人思想基礎上的研究過程，並掀起了求解二次方程和三次方程的數學熱潮。
小數
分數的英文fraction一詞來源於拉丁語「fractio」，意思是「斷裂」。在1585年出版的一本小冊子中，荷蘭數學家斯蒂文向歐洲的讀者介紹了十進位小數的概念，表示他要教授「在商業中遇到的所有計算都可以不用分數，只用整數來完成。」他認為他的小數方法不僅對商人有價值，而且對從佔星家到測量師都有價值。
但在斯蒂文之前，小數的基本概念就已經在一定程度上得到了應用。10世紀中期，大馬士革的阿爾·烏格利迪西寫了一篇關於阿拉伯數字的論文，在論文中他涉及到了小數，不過歷史學家對他是否完全理解這些數字存在分歧。我們今天所使用的分數是直到17世紀才在歐洲出現的。
矩陣
矩陣的起源最早可以追溯到公元前200年到公元前100年之間，在書寫於中國漢代的《九章算術》中，「方程」一章裡就出現了這種以方形的形式寫下的方程組問題。這是一種通過係數分離來表示線性方程的方法，是已知最早的矩陣。17世紀，德國數學家戈特弗裡德·萊布尼茨和日本數學家關孝和各自獨立地寫下了行列式。
矩陣的現代形式是在19世紀中葉由英國數學家阿瑟·凱萊（Arthur Cayley）建立的。他從1858年開始，發表了一系列關於矩陣的論文，討論了矩陣的運算法則、矩陣的逆、矩陣的轉置等等。自矩陣的概念被普及之後，它被應用於科學和工程領域的方方面面。比如在計算機圖形學中，矩陣可以被用來表示圖像的旋轉和其他轉換。
複數
複數的發展有著非常複雜的歷史。與多數人以為的不一樣的是，複數的出現並非源自於求解二次方程的需求，而是源自於求解三次方程的需求。
第一次涉及到虛數的記錄出現在1世紀，當時，古羅馬數學家希羅在研究金字塔的一個很奇怪的部分，他需要求解√(81-114)。然而，由於他覺得這根本不可能辦到的，因此很快就放棄了。在接下來的很長一段時間裡，沒有人去過多地觸及這個概念。
到了16世紀，一些關於負數平方根的研究又開始慢慢出現。人們發現了求解三次和四次多項式方程的公式，並意識到有時這需要用到負數的平方根。最後，在1545年，關於虛數的首個正式研究出現了。那一年，義大利數學家吉羅拉莫·卡爾達諾（Girolamo Cardano）出版了《大術》一書，在書中他求解了方程x(10-x)=40，得到了x=5±√-15，將複數形式a+√-b引入了代數之中。
雖然自此之後數學家開始紛紛在計算中使用虛數，但直到近一個世紀之後，約翰·沃利斯才提出了第一個例子，表明負數的平方根實際上是有物理意義的。而我們現在用符號i來表示虛數，是從歐拉開始的。他將複數可視化為具有坐標系中的點，定義了復指數，並發展出了著名的歐拉恆等式。
對數
什麼是對數？一個現代數學家會給出的答案可能與幾個世紀前的數學家會給出的很不一樣。事實上，對數的起源問題並沒有一個簡單的答案，但與之相關的至少有兩位學者，一位是蘇格蘭男爵約翰·奈皮爾，另一位是瑞士工匠約斯特·比爾吉。在16世紀末，他們各自獨立發展了體現對數關係的系統，並各自花費數年時間製作計算對數的表格。
對數關係用現代符號可表示為：
這個等式將乘法和除法簡化為簡單的加法和減法運算，在17世紀初，這樣一種概念帶來的衝擊是巨大且直接的。因為在16世紀末，觀測天文學、遠程導航、測繪等許多科學領域得到了前所未有的發展。這些學科對數學有著很高的需求，它們在很大程度上的基礎是三角學，需要三角函數表等工具進行計算。因此，為了發展出能夠避開冗長而複雜的計算技術，人們非常期待能出現可以用加法和減法過程取代的方法。
奈皮爾在這種背景下，選擇將三角函數作為發展對數關係的基礎。1614年，他首次發表了關於對數的著作。他將古希臘語中的兩個詞語logos（意為比例）和arithmos（意為數字）組合起來，創造了「logarithm」，即對數一詞。大約在同一時間，瑞士鐘錶匠比爾吉也遇到了同樣的計算問題。為了簡化計算，比爾吉想要生成一個可以應用於所有運算過程的表格。1620年，他出版了著作《等差與等比級數表》，他的目標是創造一個將乘法、除法、平方根和立方根都可以同時使用的表。
現在，對數在許多方面都與最初的設想有很大的不同，它已經遠遠超越了作為一種有用的計算龐大數字的方法，而是成為了一種數學關係和函數。對數從一個省力的裝置演變成為數學的核心工具之一，在現代數學的許多分支中都至關重要。它是群論、微積分的關鍵，它出現在各種積分的解中。對數也構成了芮氏規模和酸鹼度測量的基礎，描述了八度音節的特徵……
微積分
說起微積分，可能多數人通常會默認將功勞都歸於牛頓。但事實上，微積分的發現應該歸功於兩個人——牛頓和萊布尼茨。17世紀末，這兩位傑出的數學家幾乎在同一時間各自獨立發明了微積分，但他們對基本概念的思考方式卻截然不同。
牛頓考慮的是隨時間變化的變量，而萊布尼茨考慮的是變量x和y的範圍無限接近數值的數列。萊布尼茨引入了dx和dy作為這些數列的連續值之間的差異，並且他知道通過dy/dx能得到正切。牛頓使用的是x'和y'來計算正切。他們二人都沒有從函數的角度來思考微積分，而總是從圖形的角度出發。對牛頓來說，微積分是幾何的，而萊布尼茨則更傾向於將它用於分析。
萊布尼茨非常清楚好的符號的重要性，他所使用的符號更適合於將微積分推廣到多個變量，而且這些符號還讓求導和幾分運算更加直觀。因此，今天微積分中所使用的很多符號都是由萊布尼茨提出的。
微積分使各種各樣的科學成為可能，如果沒有它的計算能力，許多科學都不可能發生。從建築到天文學，從神經科學到熱力學，一切都依賴於微積分。
非歐幾何
大約在公元前300年，歐幾裡得在《幾何原本》一書中提出了5個幾何公設：
任意兩點可以通過一直線連接；任意線段都能延伸成一直線；任意線段可以一個端點為圓心該線段為半徑作圓；所有直角都全等；若一條直線與兩條直線相交，使同側的兩角之和小於兩個直角，那麼這兩條直線無限延伸必定相交。
其中第5個公設有別於其他四個，歐幾裡得隱隱覺得它好像不似其他4條那麼完美。此後的2000多年時間裡，先後有多名數學家嘗試提出這一公設的替代版本，或者試圖從其他四個公設來證明第5個公設，其中包括普羅克魯斯齊諾弗尼斯、約翰·沃利斯、喬瓦尼·薩凱裡、約翰·海因裡希·朗伯、約翰·普萊費爾、阿德裡安-馬裡·勒讓德等人。
而第一個真正意義上確認第5公設獨立於其他4條公設的，是19世紀初的高斯。1817年，高斯開始研究這樣一種幾何，在這種幾何中，穿過一個點可以畫出多於一條與某條線平行的點的線。而在1829年，俄國數學家尼古拉·羅巴切夫斯基發表了他的非歐幾何的工作，
而黎曼則在高斯的指導下完成了博士論文。1854年，在黎曼的就職演講中，他重新定義了幾何學的概念，簡要探討了球面幾何。雖然這一演講直到1868年才得以發表，也就是黎曼去世兩年之後，而它的影響是巨大的，例如在愛因斯坦闡明廣義相對論的過程中，黎曼的非歐幾何起到了重要作用。
二元邏輯
數百年前，人類發明了十進位數字系統。直到一個世紀以前，我們用於計算的主要系統仍是十進位數字系統。但是，隨著計算機和其他技術的發展，我們有了對更複雜的數字系統的需求，這也促使了二進位數字系統的誕生。
二進位系統的起源可以追溯到19世紀中期。1847年，英國數學家、邏輯學家喬治·布爾在《邏輯的數學分析》一文中寫下了他的關於用推理演算和代數運用來解決邏輯問題的思考。
布爾邏輯的有三個主要邏輯，即AND、OR和NOT邏輯。AND邏輯闡述的是，如果兩個比較值都為真，那麼結果值為真；OR邏輯說的是如果兩個比較值中的一個為真值，那麼結果為真值；NOT邏輯會反轉給定的值，例如如果給定的值是真值，那麼NOT會將它反轉為假，如果它是假值，那麼NOT會將把它反轉為真值。這裡，真和假這兩個狀態可以用兩個數字表示：1和0，也就是二進位系統。
在20世紀30年代，一些研究人員注意到，布爾的二元邏輯可以用來描述電子電路開關，從而開始被用於設計電子計算機。現如今，每個數字計算機使用的都是這種二進位數字系統，它被用於多種應用程式，這包括圖像處理、高端音頻和高清視頻的錄製、存儲數以百萬計的數據輸入等等。
參考來源：
《不可思議的數》
https://www.britannica.com/topic/Hindu-Arabic-numerals
https://www.livescience.com/27853-who-invented-zero.html
https://www.history.com/news/who-invented-the-zero
https://web.ma.utexas.edu/users/mks/326K/Negnos.html
https://nrich.maths.org/5961
https://nrich.maths.org/2515
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Stevin/https://www.britannica.com/science/matrix-mathematicshttp://people.math.harvard.edu/~knill/history/matrix/bell/index.html
http://www.math.uri.edu/%7Emerino/spring06/mth562/ShortHistoryComplexNumbers2006.pdf
https://www.math.toronto.edu/mathnet/questionCorner/complexorigin.html
https://www.britannica.com/science/logarithm
https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/logarithms-the-early-history-of-a-familiar-function-introduction
https://www.math.uh.edu/~tomforde/calchistory.html
https://targetstudy.com/knowledge/invention/116/calculus.html
https://history-computer.com/ModernComputer/thinkers/Boole.html
https://www.binarytranslator.com/the-binary-number-system-its-history-applications-and-advantages
原標題：十大數學創新
來源：原理
編輯：GUOmazing