定積分求解曲邊圖形面積的過程分析

2021-01-15 小朱與數學

我們知道三角形、多邊形等直邊圖形的面積的求法，但假如圖形中有一邊為曲線，我們該如何求其面積呢？在求圓和扇形面積的時候，我們用到了「以直代曲」的思想，將扇形的面積分割成無數多個小「三角形」來求解，這其中用到了「化整為零」和極限的思想。

假設以函數圖像曲線為其中一邊，求其與橫坐標軸圍成的曲邊梯形的面積，是否可以借鑑這種化整為零的思想呢？答案是肯定的。曲邊梯形的面積的求取過程，就是函數求定積分的過程，其思想分為四個步驟：分割、近似、求和、取極限。

我們知道直邊圖形面積的求法，假如可以將曲邊近似成直邊，那麼就可以求出圖形的近似面積，但是我們需要的是面積的精確值，因此還需要一種方法可以用直邊圖形的面積來逐漸接近曲邊圖形的面積，其實就是要讓誤差能夠逐漸趨近於0。

下面是定積分求曲邊圖形面積的分割近似過程，分割圖形越來越小，近似程度越來越高。

定積分的求解過程中，要求用分割的矩形面積之和來近似曲邊圖形的面積，但寬度需要逐漸趨近於0，只有這樣用矩形代替曲邊梯形的誤差才能越來越接近0。這是數學中一個非常經典的思想，並且掌握這種思想在微積分中的學習中非常重要。

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