數學史重大發現：費馬數的驚天秘密
彭翕成 pxc417@126.com
武漢 華中師範大學國家數位化學習工程技術研究中心 430079
本文是《推翻費馬大定理》的續篇。
我和我的師兄研究費馬大定理幾十年，結果發現始終推翻不了，所找的反例也被人當笑話看。於是我和師兄痛定思痛之後，越發對費馬產生敬意，真不愧是業餘數學家之王。
研究過程中，我們發現費馬一生給出過很多猜想，有的自己證出來了，有的被後人證出了。事實證明，費馬的猜想幾乎都是對的，唯獨在費馬數問題上馬失前蹄。
很多人都為之惋惜，連費馬大定理都能給出十分優美證明的數學家，豈會在連F5=4294967297=641×6700417這樣的式子都看不出來呢？
在一本書的頁邊，費馬寫到：我有一個對這個命題的十分優美的證明，這裡空白太小，寫不下。
既然頁邊太窄寫不下，那麼費馬有沒有可能寫在寬一點的地方呢？
大多數數學家都不相信。他們認為很可能是費馬哪個地方搞錯了，誤以為自己能證出來，費馬也許沒有真正認識到費馬大定理的難度，他那個時代的數學水平，根本不可能解決費馬大定理。
但也有人認為，既然費馬已經想好了證明，相信他會在有空的時候寫下來，而且以費馬這麼著名的人物，也用不著無中生有，自吹自擂。
我和師兄也是這麼認為，於是連同數學史家一起，研究費馬遺物，希望能有所發現。
皇天不負有心人。在費馬留下的一堆草稿紙當中，我們發現了幾行字，數學史家將之翻譯如下：
2+1=3,素數；2^2+1=5,素數；2^2^2+1=17,素數；2^2^2^2+1=65537,素數；那麼這樣寫下去2^2^2^2^2+1,2^2^2^2^2^2+1……,也應該是素數；
這和流傳於世的費馬數有點像，又不完全像。
現在流傳資料對費馬數的猜想記錄如下：
2^2^0+1=3,素數；2^2^1+1=5,素數；2^2^2+1=17,素數；2^2^3+1=257,素數；2^2^4+1=65537,素數；那麼這樣寫下去2^2^5+1,2^2^6+1,……也應該是素數；
那到底哪一個是費馬素數猜想呢？我和師兄研究後，覺得以費馬之天才，他的素數猜想不應該就被2^2^5+1=4294967297=641×6700417這麼短短一行所破，雖然破解者是頂級數學家歐拉。
我和師兄總認為這才是正宗的素數猜想。
2+1=3,素數；2^2+1=5,素數；2^2^2+1=17,素數；2^2^2^2+1=65537,素數；那麼這樣寫下去2^2^2^2^2+1,2^2^2^2^2^2+1……,也應該是素數；
親愛的讀者朋友，你能證明或證否嗎？
第一個解出來的朋友，送一本我的籤名書吧！
推翻費馬大定理（本故事純屬虛構）
自從初中時，學習了勾股定理，我就立志推翻費馬大定理。
費馬認為：當n>2時，x^n+y^n=z^n無正整數解。
我才不信呢！既然n=2時，x^n+y^n=z^n有無數解，我就不相信n>2時，一組解都找不到。
有人勸我先去看懂懷爾斯的論文再說。我才不去看呢，100多頁，又臭又長!
我有一位師兄，他的觀點和我一樣。
他研究了幾十年，終於有一天口噴鮮血，破門出關。
他登壇講法那一天，我去看了。
他本來想將第一站選在科學院，但科學院的老頭子們說，論文還在審稿中，暫不宜公開宣講。
於是他選在一個中學，一個出了十多位院士的名校。
他很和藹地開始了他的報告，說，我現在找到了3個數，使得56^n+91^n=121^n，大家知道n等於多少嗎？你們肯定不知道啦，應該是……
這時一個中學生站起來說，n等於多少都不對。7能整除56和91，但不能整除121。
師兄一聽，兩眼發呆，又是一口鮮血噴出。
我在一旁，也發現師兄的反例有問題，56^n+91^n的個位數肯定是6+1=7，121^n的個位數肯定是1，怎麼可能相等呢！
師兄的失敗給我很大的教訓，大數據時代，一定要使用計算機。經過反覆實驗，我終於找到了。
在哪跌倒，就要在哪爬起。我還是選擇了師兄講座的那一個中學。
我不像師兄那樣賣關子，直接給出了答案：1782^12+1841^12=1922^12。
好幾個同學看到這麼大的數字，馬上拿出計算器，其中有一個同學動作最快，他很興奮地站了起來，左邊除以右邊，真的等於1.000。
對於他這種興奮，早已是我預料之中的事情，但作為有遠大抱負的我，豈能在這些中學生面前表露。
這時，一個中學生站起來。
我感到一絲的恐懼。就是上次指出師兄錯誤的中學生。雖然我的答案經過多臺計算機的檢驗，但還是有一點擔心。
這個中學生說，上次有個人也來講座，也是想推翻費馬大定理，那人是你師兄吧？
天哪，這你也知道。
中學生說，其實是你們自己暴露了，你們犯了同樣的錯誤。2 能整除1782^12，1922^12，卻不能整除1841^12。
他講得好有道理，我竟無言以對。
自從初中時，學習了勾股定理，我就立志推翻費馬大定理。
費馬認為：當n>2時，x^n+y^n=z^n無正整數解。
我才不信呢！既然n=2時，x^n+y^n=z^n有無數解，我就不相信n>2時，一組解都找不到。
有人勸我先去看懂懷爾斯的論文再說。我才不去看呢，100多頁，又臭又長!
我有一位師兄，他的觀點和我一樣。
他研究了幾十年，終於有一天口噴鮮血，破門出關。
他登壇講法那一天，我去看了。
他本來想將第一站選在科學院，但科學院的老頭子們說，論文還在審稿中，暫不宜公開宣講。
於是他選在一個中學，一個出了十多位院士的名校。
他很和藹地開始了他的報告，說，我現在找到了3個數，使得56^n+91^n=121^n，大家知道n等於多少嗎？你們肯定不知道啦，應該是……
這時一個中學生站起來說，n等於多少都不對。7能整除56和91，但不能整除121。
師兄一聽，兩眼發呆，又是一口鮮血噴出。
我在一旁，也發現師兄的反例有問題，56^n+91^n的個位數肯定是6+1=7，121^n的個位數肯定是1，怎麼可能相等呢！
師兄的失敗給我很大的教訓，大數據時代，一定要使用計算機。經過反覆實驗，我終於找到了。
在哪跌倒，就要在哪爬起。我還是選擇了師兄講座的那一個中學。
我不像師兄那樣賣關子，直接給出了答案：1782^12+1841^12=1922^12。
好幾個同學看到這麼大的數字，馬上拿出計算器，其中有一個同學動作最快，他很興奮地站了起來，左邊除以右邊，真的等於1.000。
對於他這種興奮，早已是我預料之中的事情，但作為有遠大抱負的我，豈能在這些中學生面前表露。
這時，一個中學生站起來。
我感到一絲的恐懼。就是上次指出師兄錯誤的中學生。雖然我的答案經過多臺計算機的檢驗，但還是有一點擔心。
這個中學生說，上次有個人也來講座，也是想推翻費馬大定理，那人是你師兄吧？
天哪，這你也知道。
中學生說，其實是你們自己暴露了，你們犯了同樣的錯誤。2 能整除1782^12，1922^12，卻不能整除1841^12。
他講得好有道理，我竟無言以對。