數學流行病學：如何為大流行建模

自從有人類以來，疾病就一直困擾著人類。瘧疾和結核病被認為破壞了5000多年前的古埃及。從公元541年到542年，被稱為「賈斯汀尼瘟疫」的全球大流行據估計已經殺死了世界2億人口的15％至25％。西班牙徵服墨西哥後，當地人口從1519年的3,000萬下降到50年後的300萬。今天，我們正在努力控制COVID-19的傳播，這種傳播有可能導致人類歷史上最致命的大流行。

但是，有一個鮮為人知但非常成功的科學領域正在努力揭開傳染病的奧秘。正如我在《生與死的數學》中所探索的那樣，數學流行病學在與大規模傳染病（例如COVID-19）的鬥爭中起著至關重要的作用。

利用基本的數學模型，研究人員可以開始預測疾病的進展，並了解幹預措施對疾病傳播的影響。使用更複雜的模型，我們可以開始回答有關如何有效分配有限資源或弄清楚公共健康幹預措施（例如關閉酒吧和禁止聚會）的後果的問題。

數學建模的見解對於確保當局可以預防儘可能多的死亡至關重要。隨著COVID-19大流行的升級，下面是專家用來試圖使病毒領先一步的模型內部的外觀。

SIR模型

一種最簡單的疾病傳播數學模型，根據疾病狀況將人群分為三個基本類別。尚未患該病的人被標記為「易感人群」。假定每個人天生就容易感染並能夠被感染。那些患有這種疾病並能夠將其傳染給易感者的人就是「傳染病」。第三組被委婉地稱為「已刪除」類。這些是患有這種疾病並已經康復並且現在已經免疫的人，或者已經死亡的人。這些「被移走」的人不再有助於疾病的傳播。

這稱為SIR模型。從拉丁美洲登革熱到荷蘭豬瘟和諾如病毒在比利時，SIR模型可以提供關於如何預防疾病傳播的重要教訓。

該模型說明了對感染者進行社會隔離的重要性。通過待在家裡直到完全康復，您可以有效地將自己從受感染的班級帶入被移除的班級，而無需感染病毒。這種簡單的行動可以通過減少疾病傳染給易感人群的機會來減小爆發的規模。

爆發是擴散還是消亡很大程度上取決於該爆發所獨有的單個數字-基本繁殖數。

想一想完全易感染某種特定疾病的人群，就像2019年12月COVID-19爆發開始時的全球人群一樣。被單個新近引入的疾病攜帶者感染的以前未暴露的個體的平均數量被稱為基本繁殖數，並且通常表示為R 1（發音為「 R-nought」或「 R-零」）。

如果一種疾病的R 1值小於1，那麼隨著每個感染者平均將疾病傳播給少於一個其他個體，感染將迅速消失。疫情無法維持自身蔓延。如果R₀大於1，則爆發將成倍增長。

指數爆炸

早期對COVID-19的基本繁殖數量的估計將其定為1.5到4之間，在12月和1月至少為2。基本繁殖數為2，第一個患有該疾病的人將其傳播給另外兩個人，每個人平均將疾病傳播給另外兩個人，然後分別傳播給另外兩個人，依此類推。

這種指數增長是感染初期的特徵。如果允許這種傳播繼續下去，在發展的十代人中，將有超過1,000人被感染。再往前走十步，傷亡人數將超過一百萬。

最近幾天，英國新出現的COVID-19病例呈指數級增長。圖片來源：Max Roser，Hannah Ritchie和Esteban Ortiz-Ospina（2020）-「冠狀病毒病（COVID-19）–統計與研究」

實際上，由基本繁殖數預測的指數增長很少持續幾代。由於感染者和易感者之間接觸的頻率降低，因此爆發最終達到高峰，然後下降。

即使沒有感染力且疫情已正式結束，一些易感人群仍將存在。SIR模型可以提供對最終流行病規模的估計，即如果不採取任何補救措施，則可確定爆發後感染的人數。在COVID-19估計值的下限（繁殖數為1.5）意味著58％的人口將被感染。在估計值的較高端，R₀為4，SIR模型預測，如果不採取任何措施，則只有2％的人不會受到感染。

一個關鍵數字

基本繁殖數有助於將幾乎所有疾病爆發理解，因為它將疾病傳播的所有微妙之處都包裹在一個數字中。從感染在人體內的發展方式到傳播方式，甚至是其傳播所在的社會結構，它都掌握了所有暴發的關鍵特徵，並允許我們做出相應的反應。

R 4通常可以分為三個部分：人口規模，易感者被感染的速度（通常稱為感染力）以及疾病的恢復或死亡速度。增加這些因素中的前兩個因素會增加R₀，而增加回收率則會降低R₀。人口越大，疾病在個體之間傳播的速度越快，爆發的可能性就越大。個體恢復得越快，將疾病傳播給他人的時間就越少，因此，更容易控制疫情。

然後是有效的繁殖數。這是感染個體在疫情發展過程中的某個特定點所造成的平均繼發感染數。如果通過幹預將有效繁殖數降低到1以下，則該疾病將消失。

病死率

儘管R₀對控制疾病至關重要，但R₀並沒有告訴我們感染者的疾病嚴重程度。最終死於某種疾病的感染者比例稱為病死率。

與50-70％的伊波拉患者最終死亡相比，麻疹等極具傳染性的疾病的R to在12至18之間，病死率相對較低。結果，儘管伊波拉病毒的R₀值小得多，約為1.5，但通常認為麻疹不如伊波拉病毒嚴重。早期估計表明，COVID-19的病死率在0.25％至3.5％之間。

重要的是要記住，病死率不是固定的，它取決於社會和個人對疾病的反應以及所感染人群的人口統計數據。例如，COVID-19的病死率似乎隨著患者年齡的變化而顯著變化，而老年人受到的影響最大。

令人驚訝的是，病死率高的疾病的傳染性往往較低。如果某種疾病過快地殺死了太多的受害者，那麼它就會降低其傳播的機會。殺死大多數感染者並有效傳播的疾病非常罕見，通常僅限於災難電影。

儘管較高的病死率大大增加了疾病爆發時的恐懼感，但是具有較高R₀但病死率較低（與伊波拉病毒相比，COVID-19）的疾病可能由於感染的人數較多而導致更多人死亡。

控制爆發

減少疾病傳播的最有效選擇之一是接種疫苗。通過使人們從易感人群直接轉移到被帶走的人群，繞過了傳染狀態，它有效地減少了易感人群的規模。

與整體人口相比，老年人死於COVID-19的可能性更大。圖片來源：Max Roser，Hannah Ritchie和Esteban Ortiz-Ospina（2020）-「冠狀病毒病（COVID-19）–統計與研究」

但是，疫苗接種通常是一種預防措施，首先可用於降低疾病爆發的可能性。一旦爆發像當前的COVID-19大流行一樣，在一個有用的時間範圍內開發和測試疫苗通常是不切實際的。

隔離和隔離可以有效地降低傳輸速率，從而降低有效的複製數量。隔離感染患者可降低傳播速度，而隔離健康個體可減少有效易感人群。

兩種行動都有助於減少有效繁殖數量，這就是為什麼社會距離和自我隔離是應對COVID-19的重要策略的原因。

牛群免疫

英國政府在做出回應的初期似乎在玩弄一個想法，那就是牛群免疫-一種認為大量免疫個體可以減緩甚至阻止疾病傳播的概念。出乎意料的是，這種社區效應並不需要每個人都對這種疾病具有免疫力，因此整個人口都無法得到保護。通過將有效繁殖數量減少到少於一個（確保感染者與儘可能少的易感人群接觸），傳播鏈可以被打破，疾病也可以停止。至關重要的是，畜群免疫力意味著免疫力低下的人，老人，孕婦和其他高危人群可以受益於其他人免疫力的保護。

需要免疫以保護其餘部分的人群比例因疾病的傳染性而異。基本複製數R 1決定了該比例有多大的關鍵。基本繁殖數越高，種群的免疫比例就越高。例如，對於基本繁殖數為4 的疾病，SIR模型預測，四分之三的人口必須是免疫的。如果R 3值低至1.5，則可能只有三分之一的人口需要獲得免疫力才能保護其餘三分之二。

如果有疫苗，那麼可以通過給足夠高比例的人群接種疫苗來實現畜群免疫（也就是說，我們只有通過疫苗接種才能徹底消滅一種人類疾病-天花）。

如果沒有疫苗，人們獲得免疫力的唯一方法就是感染該疾病並康復。考慮到COVID-19的病死率，這將導致成千上萬人的死亡。毫不奇怪，英國政府回撤了他們的擬議政策。

下一代建模

實際上，簡單的SIR模型不夠複雜，不足以捕捉許多傳染病暴發的細微差別。但是，對於無法使受害人獲得免疫力的疾病，只需對SIR模型進行簡單的修改即可有所幫助。

正如一些性傳播疾病的典型特徵，淋病根本沒有移居人群。從淋病中恢復後，患者可以再次感染。由於沒有人死於淋病症狀，因此沒有人從人群中「撤離」。這種模型通常被標記為SIS，模仿個體從易感性轉變為感染性並再次變回易感性的過程。由於易感人群永遠不會精疲力盡，而是隨著人們的康復而更新，因此SIS模型預測疾病可能會自我維持或成為「地方病」。

爆發初期，科學家擔心的主要問題之一是，SARS-CoV-2（引起COVID-19的病毒）的單次感染是否足以提供免疫力。新病毒能否在人群中無限傳播？儘管有幾篇有關第二次感染病毒的報告，但也有充分的證據表明康復的COVID-19患者可以免疫。

新型冠狀病毒的另一個問題是疾病開始時通常沒有症狀。在這段時間內，人們可以藏匿病毒並感染他人而不會表現出症狀。這意味著我們需要在模型中添加另一類人員。這些人一旦被感染，就能夠在不表現出症狀的情況下傳播疾病，即所謂的「攜帶者」階層。這將SIR模型更改為SCIR 模型。攜帶者類別對於代表諸如HIV / AIDS的疾病至關重要，這些疾病的傳染期長，沒有明顯的症狀。

當前用於指導政府政策的最新模型更加複雜。不幸的是，即使是最詳細，最現實的數學模型也無法預測當前的流行病何時會來臨。

但是可以肯定的是，當我們最終控制局勢時，數學家及其模型將在劇情發展的方式中發揮重要作用。