什麼是動力系統理論 | 集智百科

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目錄

一、什麼是動力系統理論？

二、綜述

三、歷史

四、相關概念

五、相關領域

六、應用

七、相關概念與學者

八、相關資源推薦

九、集智百科詞條志願者招募

動力系統理論 dynamical systems theory ，也常譯作動力學理論、或動力系統理論，它是數學研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，來描述和研究複雜的動力系統。

當系統由微分方程描述時，該理論被稱為連續（時間）動力系統 continuous dynamical system。當系統由差分方程描述時，該理論被稱為離散（時間）動力系統 discrete dynamical systems。

當動力系統由微分或差分方程描述時，這個方程被稱為動態方程、也常被稱為動力方程；動力系統的變化過程也被稱為動態過程 dynamic process。

還有一些情境下的動力系統可以由微分-差分方程 differential-difference equations [1] 來建模，例如動態過程中存在時間延遲的情況時，動力系統可以由時滯微分方程 delay differential equation 來描述。

從物理學的角度來看，連續動力系統是經典力學的推廣。具體來說，我們不再受限於利用最小作用原理，從Euler-Lagrange方程導出運動方程，而是直接構造運動方程，並把它接受為公設，接下來主要研究由這一運動方程所描述系統的演化。

這項理論對動力系統的長期行為進行定性研究，研究系統運動方程的基本性質以及方程的解（當可解的時候）。這些系統主要是機械系統或其他物理過程系統，例如行星軌道和電子電路，以及出現在生物學、經濟學、以及其他領域內的系統。大量現代研究主要著眼於探究混沌系統chaotic systems，這一研究領域也被稱為動力系統、動力系統、動力學系統、數學動力系統理論、或動力學系統的數學理論。

動力系統理論和混沌理論 chaos Theory 都對動力系統的長期行為進行定性研究。這裡說的定性研究，是指側重於研究動力系統的性質，去回答諸如「系統長期來看，會達到或趨於穩態嗎？」、「如果可以，都有哪些可能達到或趨近的穩態？」、」系統的長期行為受初始條件影響嗎？「之類的問題，而不那麼關注於（經常也不可能）求動力系統方程的精確解。

描述和尋找給定動力系統的不動點（或穩態），是動力系統理論研究的重要目標。穩態（或不動點），是指，」系統狀態量不會再隨時間變化「這種情況下的狀態值（或定義動力系統的方程中的因變量不會隨方程中的自變量變化而變化的值），一些穩態（或不動點）具有「吸引性」 attractive，意思是如果系統的初始狀態在這個穩態」附近「，那麼系統的狀態量將會隨著時間逐漸靠近這一穩態，我們稱其」收斂「於此不動點。也就是說如果系統的初始值在它的附近，系統最終會收斂到這個不動點。

類似於不動點（或穩態），周期點 periodic points 也是動力系統理論研究的重要目標。周期點是指系統的某種情況下狀態量的值，這種情況是說，系統經過了一段時間之後，其狀態量的值只取這些周期點。有些周期點也具有吸引性。Sharkovskii定理描述了一維離散動力系統的周期點的個數。

即使是簡單的非線性動力系統也常常表現出看似隨機的行為，這種行為被稱為混沌 chaos 。動力系統理論的一個分支，混沌理論chaos theory，就是界定和研究混沌行為的。

動力系統理論的概念源於牛頓力學。像在其他自然科學和工程學科中一樣，動力系統的演化律隱含在系統狀態量的變化關係中，這一變化關係描述了系統當前狀態量，和經過一個很短的時間間隔後的系統狀態量，之間的關係。

在能進行高速計算的機器出現之前，人們需要通過複雜巧妙的數學技巧才能求解定義動力系統的方程，這樣還只能求解一小類動力系統問題。隨著電子計算機的誕生和計算資源的不斷提升，動力系統理論中的數學技巧也逐漸和科學計算方法相結合，同時繼續著眼於定性研究。

一些優秀的動力系統理論專著包括：Luenberger (1979), Padulo & Arbib (1974), and Strogatz (1994).

Luenberger, David G. (1979). Introduction to dynamic systems: theory, models, and applications. Wiley. ISBN 978-0-471-02594-8. OCLC 4195122.

Padulo, Louis; Arbib, Michael A. (1974). System theory: a unified state-space approach to continuous and discrete systems. Saunders. ISBN 9780721670355. OCLC 947600.

Strogatz, Steven H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Addison Wesley. ISBN 978-0-7382-0453-6. OCLC 49839504.

動力系統這一概念，是一種數學形式，它是對某種固定「規則」的數學抽象模型，這種固定規則描述了一個點在其的周圍環境中，這個點的空間位置隨時間變化的關係。舉例來說，描述鐘擺擺動、管道中的水流以及每年春天湖中魚的數量的數學模型，都屬於動力系統的概念範疇。動力系統在某個時刻的系統狀態，由一組實數所表示和確定，或者更一般的說，由適當的狀態空間中的一組點的集合來表示和確定。系統狀態的微小變化對應於數值的微小變化。這些數字也是某種幾何空間——某種流形 manifold——的坐標值。動力系統的演化律是一種固定的規則，它描述了系統從當前的狀態如何演化為未來的狀態。這個規則可能是確定性的（可以由給定的系統當前狀態，精確地預測，系統經過某給定時間段後，那一瞬間的系統狀態），也可能是隨機性的（系統狀態的演化只能用確切知曉的概率進行預測）。動力主義 dynamicism，也稱動態假設 dynamic hypothesis ，或稱認知科學的動態假設 dynamic hypothesis in cognitive science 或動態認知 dynamic cognition，是一種認知科學領域的新方法，以哲學家Tim van Gelder的工作為典型。這種方法提出，相比於傳統的計算機模型，微分方程更適合於對認知進行建模。數學上來講，非線性系統 nonlinear system是指系統不是線性的，即這一系統不滿足疊加原理。更通俗地說，非線性系統的系統狀態量（在定義系統的微分/差分方程中，所要求解的因變量）不能被寫成某些獨立分量的線性組合。

非齊次線性系統是一類特殊的線性系統。和齊次線性系統一樣，在這些系統的定義方程中，因變量（以及因變量關於自變量的導數）之間是線性組合在一起的。但是和齊次線性系統的區別在於，這些非齊次線性系統的定義方程中，也有若干項和因變量無關只和自變量有關的函數，通過加法和其他項結合在一起。

由於這些函數的"次數" degree 是0，因此我們說這樣的系統是非齊次的，這些函數所構成的項被稱為非齊次項。根據線性系統的嚴格定義，即需要滿足疊加定理，非齊次線性系統實際上不能算作線性系統，而是仿射系統 affine system。（這裡可以對比齊次線性方程組和非齊次線性方程組的區別）。

即便如此，考慮到這類系統和線性系統只差一個「常數項」（這裡的常數，是相對於系統的定義方程中的因變量而言的），總可以被轉化成線性系統來研究。這種轉化一般由兩類方法，第一類是採用齊次解+特解的形式。只要知道一個滿足系統的定義方程的特解（或者特解的形式），就通過求解這一方程所對應齊次線性系統的解，而獲得齊次解，從而得到解。

第二類是利用線性代數，把系統的定義方程轉化為一階形式的方程組，從而能寫成矩陣形式，同時非齊次項也能在這種形式中被納入整體考慮，整個系統就還原為線性系統的標準形式，從而可以用研究線性系統的方法來研究這樣的系統。

算術動力學

算術動力學 Arithmetic Dynamics是20世紀90年代出現的一個領域，融合了動力系統和數論這兩個數學領域。經典的離散動力學研究的是複平面或實實數軸的自映射的迭代，算術動力學是在反覆應用多項式或有理函數的情況下對整數，有理數，p進數(p-adic)和/或代數點的數論性質進行研究。

混沌理論

混沌理論 Chaos theory 描述了某些狀態隨時間演化的動力系統的行為，這些系統可能表現出對初始條件高度敏感的特點（通常被稱為蝴蝶效應 Butterfly Effect）。由於這種敏感性，在初始條件下表現為擾動呈指數增長，因此混沌系統的行為似乎是隨機的。即使這些系統是確定性的，也會發生這種情況，這意味著它們的未來動力完全由其初始條件定義，而沒有涉及隨機元素。這種行為稱為確定性混亂，或簡稱為混亂。

複雜系統

複雜系統 Complex Systems 是研究自然、社會和科學中複雜現象的共同性質的科學領域。它也被稱為複雜系統理論、複雜性科學、複雜系統研究和關於複雜性的科學。這些系統的關鍵問題在於對系統的形式化建模與仿真的困難。因此，複雜系統是根據在不同的研究語境中的不同屬性來定義的。

複雜系統的研究為許多科學領域帶來了新的活力，在這些領域中，更為典型的簡化主義策略已經不足以提供研究動力。複雜系統通常被用作一個應用廣泛的研究方法術語，並涵蓋許多不同的學科，包括神經科學、社會科學、氣象學、化學、物理學、計算機科學、心理學、人工生命、進化計算、經濟學、地震預測、分子生物學以及對活細胞的研究等許多不同學科的問題的研究方法。

控制理論

控制理論 Control Theory 是工程和數學的一個交叉學科。控制理論是一個研究如何調整動力系統特性的理論，它也是工程和數學的一個交叉學科，逐漸的應用在許多社會科學中，例如心理學、社會學（社會學中的控制理論）、犯罪學及金融系統。

控制理論一般的目的是藉由控制器的動作讓系統穩定，也就是系統維持在設定值，而且不會在設定值附近晃動。維持設定值保持小範圍穩定甚至不變的控制行為稱為控制調節，設定值快速變化，對於跟蹤速度加速度等的控制要求較高的控制行為稱為伺服。控制理論的研究的一部分研究對於動力系統行為的研究產生了深遠的影響。

遍歷理論

遍歷理論 Ergodic Theory 是數學的一個分支，它起源於為統計力學提供基礎的"遍歷假設"研究，並與動力系統理論、概率論、資訊理論、泛函分析、數論等數學分支有著密切的聯繫。

泛函分析

泛函分析 Functional analysis 是數學分析的一個分支，研究向量空間和作用於向量空間的算子。它源於對函數空間的研究，特別是對函數變換的研究，例如傅立葉變換，微積分方程的研究等。泛函分析的名稱「Functional Analysis」中，「functional」這個詞的用法可以追溯到變分法，也就是說函數的參數是一個函數。這個詞的使用一般被認為歸功於數學家和物理學家Vito Volterra，其創立很大程度上歸功於數學家Stefan Banach。。

圖動力系統

圖動力系統 Graph dynamical systems(GDS) 可以用來描繪圖或網絡上發生的各種過程。圖動力系統的數學和計算分析的一個主要主題是將其結構特性(例如：網絡連接性)與其所產生的全局動力學聯繫起來。

投影動力系統

投影動力系統 Projected Dynamical Systems 一種數學理論，用於研究將解決方案限制為約束集的動力系統的行為。這門學科與靜態理論中的最優化和平衡問題以及動態理論中的常微分方程都有聯繫和應用。一個投影動力系統是由投影微分方程的流形給定的。通過對投影微分方程的流形分析，給出了一個投影動力系統的表達式：

其中K為約束集。這種形式的微分方程因具有不連續的向量場而受到許多研究人員的注意。

符號動力學

符號動力學 Symbolic Dynamics 是通過離散空間對拓撲或平滑動力學系統進行建模的方法，該離散空間由無限的抽象符號序列組成，每個抽象符號對應於系統的一個狀態，並且動態（演化）由移位運算符給出。

系統動力學

系統動力學 System Dynamics 是一種理解系統隨時間變化行為的方法。它是用來處理影響整個系統行為和狀態的內部反饋迴路和時間延遲的方法。系統動力學不同於其他系統研究方法的地方在於它使用了反饋環、存量 stocks和流量 flows的元素。這些元素有助於描述看似簡單的系統如何顯示複雜的非線性行為。

拓撲動力學

拓撲動力學 Topological Dynamics 是動力系統理論的一個分支。在拓樸動力學中，動力系統的定性性質和漸近性質是從一般拓撲學的觀點來研究的。

在運動生物力學中的應用

在運動生物力學中，動力系統理論在運動科學中展露頭角，成為一種對運動表現建模的可行框架。從動力系統的角度來看，人類的運動系統是由高度複雜和相互依賴的子系統網絡（如呼吸、循環、神經、骨骼肌系統和知覺系統等）組成的，它們由大量相互作用的部分組成(包括血細胞、氧分子、肌肉組織、代謝酶、結締組織和骨骼等)。動力系統理論中，運動模式通過物理系統和生物系統中的一般自組織過程出現。沒有任何研究證實與這一框架的概念應用相關的任何主張。

在認知科學中的應用

動力系統理論已經被應用於神經科學和認知發展領域，特別是在認知發展的新皮亞傑學派 neo-Piagetian中。人們相信，物理學理論比句法學 Syntax 理論和人工智慧理論更能代表認知發展。人們還相信微分方程是人類行為建模最合適的工具。人們認為微分方程可以解釋為通過狀態空間代表一個主體的認知軌跡的算式。換句話說，動力學家認為心理學應該是（或者就是）（通過微分方程）描述在一定的環境和內部壓力下的主體的認知和行為的學科。混沌理論在相關領域也經常被採用。

在學習的過程中，舊的模式被打破，學習者的思維達到了一種不平衡的狀態。這是認知發展的階段性轉變。自組織隨活動水平 Activity Levels 相互聯繫時產生。新形成的宏觀和微觀結構相互支持，加速了這一過程。這些聯繫在頭腦中形成了一種有序的新狀態結構，這個過程被稱為「扇貝化 Scalloping」，也就是頭腦的複雜表現的不斷累積和崩潰的過程。這種新的狀態是漸進的、離散的、異質的的和不可預知的。

動力系統理論最近還被用來解釋兒童發展中一個長期沒有答案的問題，即 A-not-B 錯誤。

在第二語言發展中的應用

動力系統理論在第二語言研究中的應用歸功於 Diane Larsen-Freeman教授，她在1997年發表的一篇文章中認為，第二語言學習應該被看作是一個包括語言流失和語言習得在內的發展過程。她在文章中認為，語言應該被看作是一個動態的、複雜的、非線性的、混沌的、不可預知的、對初始條件敏感的、開放的、自組織的、反饋敏感的和適應性的動力系統。

相關概念

貝克地圖 Baker's map

分支理論 bifurcation theory

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德米特裡·阿諾索夫 Dmitri Anosov

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尼古拉 Nikolay Bogolyubov

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Chaos: Making a New Science

本書由普利茨獎獲得者James Gleick撰寫。它是一本易讀科普書籍，側重介紹對混沌概念的發展做出重大貢獻的科學家和數學家們。

現代動力系統理論導論 Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems

本書提供了動力學系統理論的第一個獨立的綜合性論述，它是與大多數主要數學領域緊密聯繫在一起的核心數學學科。作者介紹並嚴格發展了該理論，同時為對應用程式感興趣的研究人員提供了基本的工具和範例。該書首先討論了幾個基本但基本的示例。這些用於制定一個漸進性質的一般研究程序，並介紹主要的理論概念和方法。該書針對從高級本科生到各級數學的學生和研究人員。應用動力學，非線性科學和混沌領域的科學家和工程師將在這個具體而清晰的演示中找到許多新見解。

課程推薦

聖塔菲課程：Introduction to Dynamical Systems and Chaos

本課程中，主要介紹動力學系統和混沌系統，您將學到蝴蝶效應 Butterfly effect、奇異吸引子 Attractors等基本概念，以及如何應用於您感興趣的領域。

課程推薦：Introduction to Dynamical Systems and Chaoshttps://campus.swarma.org/course/1655

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