為什麼可以這樣判定正定矩陣?

2021-02-20 笑看數學

判定一個矩陣是否是正定矩陣,有多種方法，其中最常用的方法莫過於驗證各階順序主子式是否大於零,該方法只要求幾個行列式的值就行了。尤其對於3階方陣來說,實際1,2子式是可以口算的,真正需要計算的只是3階的行列式罷了，

該方法使用起來很簡單，但如何能保證它是正確的呢？

千裡之行始於足下，我們先從低階情形入手。首先，1階實在太過於簡單了，就不廢話了，直接來看看2階的情形：

2階情形還是比較簡單的，那麼高階情形是否還能如法炮製呢？很可惜，不可以了，到3階這個套路就失效了。因為只能得到「特徵值和為正」，「特徵值連乘為正」2個條件，滿足這兩個條件的情形既可以是「3個特徵值為正」，也可以是「特徵值1正2負」，是無法推出特徵值全為正的，所以這個思路宣告失敗，得另尋他途了。

下面來看一下3階情形的處理思路，也是非常好的一個思路，搞定了3階的，也就搞定剩餘高階情形了！迫不及待了吧，我們一起來看下：

證明過程：

用來做「行變換」的P矩陣其實不難想到，難想的是它的轉置還可以再用一次，而且效果極佳，兩邊同時乘之後B就變成了準對角的C矩陣，二者之間有合同關係，問題也就迎刃而解了，而且更高階的情形顯然也可以同樣處理了，從而徹底解決了這個問題，真痛快！

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