前言 PREFACE
姜勝昊老師 專注初中數學壓軸
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實操真題講解
1．（2018深圳）如圖，A、B是函數y＝12/x上兩點，P為一動點，作PB∥y軸，PA∥x軸，下列說法正確的是（ ）
①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，則OP平分∠AOB；④若S△BOP＝4，則S△ABP＝16
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【分析】
由點P是動點，進而判斷出①錯誤，設出點P的坐標，進而得出AP，BP，利用三角形面積公式計算即可判斷出②正確，利用角平分線定理的逆定理判斷出③正確，先求出矩形OMPN＝4，進而得出mn＝4，最後用三角形的面積公式即可得出結論．
【解答】
解：∵點P是動點，
∴BP與AP不一定相等，
∴△BOP與△AOP不一定全等，故①不正確；
設P（m，n），
∴BP∥y軸，
∴B（m，12/m），
∴BP＝|12/m﹣n|，
∴S△BOP＝1/2|12/m﹣n|×m＝1/2|12﹣mn|
∵PA∥x軸，
∴A（12/n，n），
∴AP＝|12/n﹣m|，
∴S△AOP＝1/2|12/n﹣m|×n＝1/2|12﹣mn|，
∴S△AOP＝S△BOP，故②正確；
如圖，過點P作PF⊥OA於F，PE⊥OB於E，
∴S△AOP＝1/2OA×PF，S△BOP＝1/2OB×PE，
∵S△AOP＝S△BOP，
∴OB×PE＝OA×PF，
∵OA＝OB，
∴PE＝PF，
∵PE⊥OB，PF⊥OA，
∴OP是∠AOB的平分線，故③正確；
如圖1，延長BP交x軸於N，延長AP交y軸於M，
∴AM⊥y軸，BN⊥x軸，
∴四邊形OMPN是矩形，
∵點A，B在雙曲線y＝12/x上，
∴S△AMO＝S△BNO＝6，
∵S△BOP＝4，
∴S△PMO＝S△PNO＝2，
∴S矩形OMPN＝4，
∴mn＝4，
∴m＝4/n，
∴BP＝|12/m﹣n|＝|3n﹣n|＝2|n|，AP＝|12/n﹣m|＝8/丨n丨，
∴S△APB＝1/2AP×BP＝1/2×2|n|×8/丨n丨＝8，故④錯誤；
∴正確的有②③，
故選：B．
【點評】
此題是反比例函數綜合題，主要考查了反比例函數的性質，三角形面積公式，角平分線定理逆定理，矩形的判定和性質，正確作出輔助線是解本題的關鍵．
2．（2016深圳）如圖，四邊形ABCO是平行四邊形，OA＝2，AB＝6，點C在x軸的負半軸上，將ABCO繞點A逆時針旋轉得到ADEF，AD經過點O，點F恰好落在x軸的正半軸上，若點D在反比例函數y＝k/x（x＜0）的圖象上，則k的值為 4√3 ．
【分析】
根據旋轉的性質以及平行四邊形的性質得出∠BAO＝∠AOF＝∠AFO＝∠OAF，進而求出D點坐標，進而得出k的值．
【解答】
解：如圖所示：過點D作DM⊥x軸於點M，
由題意可得：∠BAO＝∠OAF，AO＝AF，AB∥OC，
則∠BAO＝∠AOF＝∠AFO＝∠OAF，
故∠AOF＝60°＝∠DOM，
∵OD＝AD﹣OA＝AB﹣OA＝6﹣2＝4，
∴MO＝2，MD＝2√3，
∴D（﹣2，﹣2√3），
∴k＝﹣2×（﹣2√3）＝4√3．
故答案為：4√3，
【點評】
此題主要考查了平行四邊形的性質以及反比例函數圖象上點的坐標特徵，正確得出D點坐標是解題關鍵．
3．（2019深圳）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，點A在反比例函數y＝k/x圖象上，且y軸平分∠ACB，求k＝ (4√7)/7 ．
【分析】
要求k的值，通常可求A的坐標，可作x軸的垂線，構造相似三角形，利用CD＝3AD和C（0，﹣3）可以求出A的縱坐標，再利用三角形相似，設未知數，由相似三角形對應邊成比例，列出方程，求出待定未知數，從而確定點A的坐標，進而確定k的值．
【解答】
解：過A作AE⊥x軸，垂足為E，
∵C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵∠AED＝∠COD＝90°，∠ADE＝∠CDO
∴△ADE∽△CDO，
∴AE/CO=DE/OD=AD/CD=1/3，
∴AE＝1；
又∵y軸平分∠ACB，CO⊥BD，
∴BO＝OD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠OCD＝∠DAE＝∠ABE，
∴△ABE～△DCO，
∴AE/OD=BE/OC
設DE＝n，則BO＝OD＝3n，BE＝7n，
∴1/3n=7n/3，
∴n＝√7/7
∴OE＝4n＝(4√7)/7
∴A（(4√7)/7，1）
∴k＝(4√7)/7×1=(4√7)/7．
故答案為：(4√7)/7．
【點評】
本題考查反比例函數圖象上點的坐標特徵，綜合利用相似三角形的性質，全等三角形的性質求A的坐標，依據A在反比例函數的圖象上的點，根據坐標求出k的值．綜合性較強，注意轉化思想方法的應用．
4．（2020深圳）如圖，在平面直角坐標系中，O（0，0），A（3，1），B（1，2）．反比例函數y＝k/x（k≠0）的圖象經過OABC的頂點C，則k＝ ﹣2 ．
【分析】
連接OB，AC，根據O，B的坐標易求P的坐標，再根據平行四邊形的性質：對角線互相平分即可求出則C點坐標，根據待定係數法即可求得k的值．
【解答】
解：連接OB，AC，交點為P，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AP＝CP，OP＝BP，
∵O（0，0），B（1，2），
∴P的坐標（1/2，1），
∵A（3，1），
∴C的坐標為（﹣2，1），
∵反比例函數y＝k/x（k≠0）的圖象經過點C，
∴k＝﹣2×1＝﹣2，
故答案為：﹣2．
【點評】
本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，平行四邊形的性質，求得C點的坐標是解答此題的關鍵．
5．（2017深圳）如圖，一次函數y＝kx+b與反比例函數y＝m/x（x＞0）交於A（2，4），B（a，1），與x軸，y軸分別交於點C，D．
（1）直接寫出一次函數y＝kx+b的表達式和反比例函數y＝m/x（x＞0）的表達式；
（2）求證：AD＝BC．
【分析】
（1）先確定出反比例函數的解析式，進而求出點B的坐標，最後用待定係數法求出直線AB的解析式；
（2）由（1）知，直線AB的解析式，進而求出C，D坐標，構造直角三角形，利用勾股定理即可得出結論．
【解答】
解：（1）將點A（2，4）代入y＝m/x中，得，m＝2×4＝8，
∴反比例函數的解析式為y＝8/x，
將點B（a，1）代入y＝8/x中，得，a＝8，
∴B（8，1），
將點A（2，4），B（8，1）代入y＝kx+b中，得(8k+b=1,2k+b=4)，
∴k=-1/2,b=5，
∴一次函數解析式為y＝﹣1/2x+5；
（2）∵直線AB的解析式為y＝﹣1/2x+5，
∴C（10，0），D（0，5），
如圖，
過點A作AE⊥y軸於E，過點B作BF⊥x軸於F，
∵點A（2，4），B（8，1）
∴E（0，4），F（8，0），
∴AE＝2，DE＝1，BF＝1，CF＝2，
在Rt△ADE中，根據勾股定理得，AD＝√AE+√DE＝√5，
在Rt△BCF中，根據勾股定理得，BC＝√CF+√BF=√5，
∴AD＝BC．
【點評】
此題是反比例函數與一次函數交點坐標問題，主要考查了待定係數法，勾股定理，解（1）的關鍵是掌握待定係數法求函數的解析式，解（2）的關鍵是構造直角三角形．