每日一課丨長春·關於中考數學壓軸知識點——反比例函數題型講解

2020-12-06 初中數學壓軸姜老師

前言：

定時更新最乾貨的初中數學壓軸題型講解。

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定義：

反比例函數的圖像屬於以原點為對稱中心的中心對稱的兩條曲線,反比例函數圖象中每一象限的每一條曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐標軸相交（y≠0）。一般地，如果兩個變量x、y之間的關係可以表示成y=k/x (k為常數，k≠0)的形式，那麼稱y是x的反比例函數。

真題解析

一．選擇題（共5小題）

1．（2020長春）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（3，2），AB⊥x軸於點B，點C是線段OB上的點，連結AC．點P在線段AC上，且AP＝2PC，函數y＝k/x（x＞0）的圖象經過點P．當點C在線段OB上運動時，k的取值範圍是（　　）

A．0＜k≤2 B．2/3≤k≤3 C．2/3≤k≤2 D．8/3≤k≤4

【分析】設C（c，0）（0≤c≤3），過P作PD⊥x軸於點D，由△PCD∽△ACB，用c表示P點坐標，再求得k關於c的解析式，最後由不等式的性質求得k的取值範圍．

【解答】解：∵點A的坐標為（3，2），AB⊥x軸於點B，

∴OB＝3，AB＝2，

設C（c，0）（0≤c≤3），過P作PD⊥x軸於點D，

則BC＝3﹣c，PD∥AB，OC＝c，

∴△PCD∽△ACB，

∴PD/AB=CD/CB=CP/CA，

∵AP＝2PC，

∴PD/2=CD/(3-c)=1/3，

∴PD＝2/3，CD＝1﹣1/3c，

∴OD＝OC+CD＝1+2/3c，

∴P（1+2/3c，2/3），

把P（1+2/3c，2/3）代入函數y＝k/x（x＞0）中，得

k＝2/3+4/9cc，

∵0≤c≤3

∴2/3≤k≤2，

故選：C．

【點評】本題主要考查了反比例函數的圖象與性質，相似三角形的性質與判定，不等式的性質，關鍵是求出k關於c的解析式．

2．（2019長春）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的頂點A、C的坐標分別是（0，3）、（3、0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，則函數y＝k/x（k＞0，x＞0）的圖象經過點B，則k的值為（　　）

A．9/2 B．9 C．27/8 D．27/4

【分析】根據A、C的坐標分別是（0，3）、（3、0）可知OA＝OC＝3，進而可求出AC，由AC＝2BC，又可求BC，通過作垂線構造等腰直角三角形，求出點B的坐標，再求出k的值．

【解答】解：過點B作BD⊥x軸，垂足為D，

∵A、C的坐標分別是（0，3）、（3、0），

∴OA＝OC＝3，

在Rt△AOC中，AC＝√OA+√OC=3√2，

又∵AC＝2BC，

∴BC＝3√2/2，

又∵∠ACB＝90°，

∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠BCD＝∠CBD，

∴CD＝BD＝3√2/2×√2/2=3/2，

∴OD＝3+3/2=9/2

∴B（9/2，3/2）代入y＝k/x得：k＝27/4，

故選：D．

【點評】直角三角形的性質、勾股定理，等腰三角形性質和判定以及反比例函數圖象上點的坐標特徵是解決問題必備知識，恰當的將線段的長與坐標互相轉化，使問題得以解決．

3．（2018長春）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形ABC的頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，∠ABC＝90°，CA⊥x軸，點C在函數y＝k/x（x＞0）的圖象上，若AB＝2，則k的值為（　　）

A．4 B．2√2 C．2 D．√2

【分析】作BD⊥AC於D，如圖，先利用等腰直角三角形的性質得到AC＝√2AB＝2√2，BD＝AD＝CD＝√2，再利用AC⊥x軸得到C（√2，2√2），然後根據反比例函數圖象上點的坐標特徵計算k的值．

【解答】解：作BD⊥AC於D，如圖，

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴AC＝√2AB＝2√2，

∴BD＝AD＝CD＝√2，

∵AC⊥x軸，

∴C（√2，2√2），

把C（√2，2√2）代入y＝得k＝√2×2√2＝4．

故選：A．

【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特徵：反比例函數y＝k/x（k為常數，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k．也考查了等腰直角三角形的性質．

4．（2017長春）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形OABC的頂點A的坐標為（﹣4，0），頂點B在第二象限，∠BAO＝60°，BC交y軸於點D，DB：DC＝3：1．若函數y＝k/x（k＞0，x＞0）的圖象經過點C，則k的值為（　　）

A．√3/3 B．√3/2 C．2√3/3 D．√3

【分析】根據平行四邊形的性質得出點B的橫坐標，再由DB：DC＝3：1得出點C的橫坐標，由∠BAO＝60°，得∠COD，即可得出點C坐標，即可得出k的值．

【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，點A的坐標為（﹣4，0），

∴BC＝4，

∵DB：DC＝3：1，

∴B（﹣3，OD），C（1，OD），

∵∠BAO＝60°，

∴∠COD＝30°，

∴OD＝√3，

∴C（1，√3），

∴k＝√3，

故選：D．

【點評】本題考查了平行四邊形的性質，掌握平行四邊形的性質以及反比例函數圖象上點的坐標特徵是解題的關鍵．

5．（2016長春）如圖，在平面直角坐標系中，點P（1，4）、Q（m，n）在函數y＝k/x（x＞0）的圖象上，當m＞1時，過點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為點A，B；過點Q分別作x軸、y軸的垂線，垂足為點C、D．QD交PA於點E，隨著m的增大，四邊形ACQE的面積（　　）

A．減小 B．增大

C．先減小後增大 D．先增大後減小

【分析】首先利用m和n表示出AC和CQ的長，則四邊形ACQE的面積即可利用m、n表示，然後根據函數的性質判斷．

【解答】解：AC＝m﹣1，CQ＝n，

則S四邊形ACQE＝ACCQ＝（m﹣1）n＝mn﹣n．

∵P（1，4）、Q（m，n）在函數y＝k/x（x＞0）的圖象上，

∴mn＝k＝4（常數）．

∴S四邊形ACQE＝ACCQ＝4﹣n，

∵當m＞1時，n隨m的增大而減小，

∴S四邊形ACQE＝4﹣n隨m的增大而增大．

故選：B．

【點評】本題考查了反比例函數的性質以及矩形的面積的計算，利用n表示出四邊形ACQE的面積是關鍵．

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