前言：
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長春作為吉林省的省會，單獨獨立出題，題目的難度比省內其他地方都要難。這也體現長春省會教育的獨立和先進地方，幾何含動點問題作為長春的一個特色，也是成為全國綜合幾何動點的典範。裡面的存在性問題原來發過一些列的內容大家可以參考運用。
試題講解
1．（2020長春）如圖①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．點P從點A出發，沿折線AB﹣BC以每秒5個單位長度的速度向點C運動，同時點D從點C出發，沿CA以每秒2個單位長度的速度向點A運動，點P到達點C時，點P、D同時停止運動．當點P不與點A、C重合時，作點P關於直線AC的對稱點Q，連結PQ交AC於點E，連結DP、DQ．設點P的運動時間為t秒．
（1）當點P與點B重合時，求t的值．
（2）用含t的代數式表示線段CE的長．
（3）當△PDQ為銳角三角形時，求t的取值範圍．
（4）如圖②，取PD的中點M，連結QM．當直線QM與△ABC的一條直角邊平行時，直接寫出t的值．
【分析】（1）根據AB＝4，構建方程求解即可．
（2）分兩種情形：當點P在線段AB上時，首先利用勾股定理求出AC，再求出AE即可解決問題．當點P在線段BC上時，在Rt△PCE中，求出EC即可．
（3）求出兩種特殊情形下△PDQ是等腰直角三角形時t的值，即可求解當△PDQ為銳角三角形時t的取值範圍．
（4）分兩種情形：如圖⑥中，當點P在線段AB上，QM∥AB時．如圖⑦中，當點P在線段BC上，QM∥BC時，分別求解即可．
【解答】解：（1）當點P與B重合時，5t＝4，解得t＝4/5．
（2）在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝√AB+√BC=√4+√3=5
∴sinA＝3/5，cosA＝4/5，
如圖①中，當點P在線段AB上時，在Rt△APE中，AE＝APcosA＝4t，
∴EC＝5﹣4t．
如圖③中，當點P在線段BC上時，在Rt△PEC中，PC＝7﹣5t，cosC＝3/5，
∴EC＝PCcosC＝3/5（7﹣5t）＝21/5﹣3t．
（3）當△PDQ是等腰直角三角形時，則PE＝DE，
如圖④中，當點P在線段AB上時，
在Rt△APE中，PE＝PAsinA＝3t，
∵DE＝AC﹣AE﹣CD＝5﹣4t﹣2t＝5﹣6t，
∵PE＝DE，
∴3t＝5﹣6t，
∴t＝5/9
如圖⑤中，當點P在線段BC上時，
在Rt△PCE中，PE＝PCsinC＝4/5（7﹣5t）＝28/5﹣4t，
∵DE＝CD﹣CE＝2t﹣3/5（7﹣5t）＝5t﹣21/5，
∴28/5﹣4t＝5t﹣21/5，
解得t＝49/45
∵△PDQ是銳角三角形，
∴觀察圖象可知滿足條件的t的值為0＜t＜5/9或49/45＜t＜7/5
（4）如圖⑥中，當點P在線段AB上，QM∥AB時，
過點Q作QG⊥AB於G，延長QM交BC於N，過點D作DH⊥BC於H．
∵PB∥MN∥DH，PM＝DM，
∴BN＝NH，
在Rt△PQG中，PQ＝2PE＝6t，
∴QG＝4/5PQ＝24/5t，
在Rt△DCH中，HC＝DC＝t，
∵BC＝BH+CH＝24/5t+24/5t+6/5t＝3，
解得t＝5/18
如圖⑦中，當點P在線段BC上，QM∥BC時，
過點D作DH⊥BC於H，過點P作PK⊥QM於K．
∵QM∥BC，DM＝PM，
∴DH＝2PK，
在Rt△PQK中，PQ＝2PE＝8/5（7﹣5t），
∴PK＝3/5PQ＝24/25（7﹣5t），
在Rt△DCH中，DH＝4/5DC＝8/5t，
∵DH＝2PK，
∴8/5t＝2×24/25（7﹣5t），
解得t＝6/5，
綜上所述，滿足條件的t的值為5/18或6/5
【點評】
本題屬於幾何變換綜合題，考查了解直角三角形，平行線的性質，等腰直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬於中考壓軸題．
2．（2019長春）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．點P從點A出發，沿AC向終點C運動，同時點Q從點C出發，沿射線CB運動，它們的速度均為每秒5個單位長度，點P到達終點時，P、Q同時停止運動．當點P不與點A、C重合時，過點P作PN⊥AB於點N，連結PQ，以PN、PQ為鄰邊作PQMN．設PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點P的運動時間為t秒．
（1）①AB的長為 25 ；
②PN的長用含t的代數式表示為 3t ．
（2）當PQMN為矩形時，求t的值；
（3）當PQMN與△ABC重疊部分圖形為四邊形時，求S與t之間的函數關係式；
（4）當過點P且平行於BC的直線經過PQMN一邊中點時，直接寫出t的值．
【分析】
（1）根據勾股定理即可直接計算AB的長，根據三角函數即可計算出PN．
（2）當PQMN為矩形時，由PN⊥AB可知PQ∥AB，根據平行線分線段成比例定理可得CP/CA=CQ/BC，即可計算出t的值．
（3）當PQMN與△ABC重疊部分圖形為四邊形時，有兩種情況，Ⅰ．PQMN在三角形內部時，Ⅱ．PQMN有部分在外邊時．由三角函數可計算各圖形中的高從而計算面積．
（4）當過點P且平行於BC的直線經過PQMN一邊中點時，有兩種情況，Ⅰ．過MN的中點，Ⅱ．過QM的中點．分別根據解三角形求相關線段長利用平行線等分線段性質和可列方程計算t值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．
∴AB＝AC+√BC=√20+√15=25
∴sin∠CAB=3/5
由題可知AP＝5t，
∴PN＝APsin∠CAB＝5t·3/5=3t．
故答案為：①25；②3t．
（2）當PQMN為矩形時，∠NPQ＝90°，
∵PN⊥AB，
∴PQ∥AB，
∴CP/CA=CQ/BC
由題意可知AP＝CQ＝5t，CP＝20﹣5t，
∴（20-5t）/20=5t/15
解得t＝12/7，
即當PQMN為矩形時t＝12/7
（3）當PQMN△ABC重疊部分圖形為四邊形時，有兩種情況，
Ⅰ．如解圖（3）1所示．PQMN在三角形內部時．延長QM交AB於G點，
由（1）題可知：cosA＝sinB=4/5，cosB＝3/5，AP＝5t，BQ＝15﹣5t，PN＝QM＝3t．
∴AN＝APcosA＝4t，BG＝BQcosB＝9﹣3t，QG＝BQsinB＝12﹣4t，
∵．PQMN在三角形內部時．有0＜QM≤QG，
∴0＜3t≤12﹣4t，
∴0＜t≤12/7，
∴NG＝25﹣4t﹣（9﹣3t）＝16﹣t．
∴當0＜t≤12/7時，PQMN與△ABC重疊部分圖形為PQMN，S與t之間的函數關係式為S＝PNNG＝3t（16﹣t）＝﹣3t+48t．
Ⅱ．如解圖（3）2所示．當0＜QG＜QM，PQMN與△ABC重疊部分圖形為梯形PQGN時，
即：0＜12﹣4t＜3t，解得：12/7＜t＜3，
PQMN與△ABC重疊部分圖形為梯形PQGN的面積S＝1/2 NG(PN+QG)=1/2(16-t)(3t+12-4t)＝1/2t-14t+96．
綜上所述：當0＜t≤12/7時，S＝﹣3t+48t．當12/7＜t＜3，S＝1/2t-14t+96．
（4）當過點P（點P不與點A、C重合）且平行於BC的直線經過PQMN一邊中點時，有兩種情況Ⅰ．當過點P且平行於BC的直線經過PQMN的MN邊中點時，
如解題圖（4）1，PR∥BC，PR與AB交於K點，R為MN中點，過R點作RH⊥AB，
∴∠PKN＝∠HKR＝∠B，
NK＝PNcot∠PKN＝3t·3/4=9t/4，
∵NR＝MR，HR∥PN∥QM，
∴NH＝GH＝1/2(16-t)，HR＝1/2GM，
∴GM＝QM﹣QG＝3t﹣（12﹣4t ）＝7t﹣12．HR＝1/2GM=1/2(7t-12)．
∴KH＝HRcot∠HKR＝1/2(7t-12)×3/4=3/8（7t-12），
∵NK+KH＝NH，
∴9/4t+3/8(7t-12)=1/2(16-t)，
解得：t＝100/43，
Ⅱ．如解題圖（4）2，PR∥BC，PR與AB交於K點，R為MQ中點，過Q點作QH⊥PR，
∴∠HPN＝∠A＝∠QRH，四邊形PCQH為矩形，
∴HQ＝QRsin∠QRH＝3t/2·3/5=9t/10
∵PC＝20﹣5t，
∴20﹣5t＝9t/10，解得t＝200/59．
綜上所述：當t＝100/43或200/59時，點P且平行於BC的直線經過PQMN一邊中點，
【點評】
此題考查了相似形的綜合，用到的知識點是勾股定理、三角形中位線定理及相似三角形的判定與性質等，關鍵是根據題意畫出圖形，分情況進行討論，避免出現漏解．
3．（2018長春）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，動點P從點A出發，沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動．過點P作PD⊥AC於點D（點P不與點A、B重合），作∠DPQ＝60°，邊PQ交射線DC於點Q．設點P的運動時間為t秒．
（1）用含t的代數式表示線段DC的長；
（2）當點Q與點C重合時，求t的值；
（3）設△PDQ與△ABC重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數關係式；
（4）當線段PQ的垂直平分線經過△ABC一邊中點時，直接寫出t的值．
【分析】
（1）先求出AC，用三角函數求出AD，即可得出結論；
（2）利用AD+DQ＝AC，即可得出結論；
（3）分兩種情況，利用三角形的面積公式和面積差即可得出結論；
（4）分三種情況，利用銳角三角函數，即可得出結論．
【解答】
解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，
∴AC＝2√3，
∵PD⊥AC，
∴∠ADP＝∠CDP＝90°，
在Rt△ADP中，AP＝2t，
∴DP＝t，AD＝APcosA＝2t×√3/2＝√3t，
∴CD＝AC﹣AD＝2√3﹣√3t（0＜t＜2）；
（2）在Rt△PDQ中，∵∠DPC＝∠DPQ＝60°，
∴∠PQD＝30°＝∠A，
∴PA＝PQ，
∵PD⊥AC，
∴AD＝DQ，
∵點Q和點C重合，
∴AD+DQ＝AC，
∴2×√3t＝2√3，
∴t＝1；
（3）當0＜t≤1時，S＝S△PDQ＝1/2DQ×DP＝1/2×√3t×t＝√3/2t；
當1＜t＜2時，如圖2，
CQ＝AQ﹣AC＝2AD﹣AC＝2√3t﹣2√3＝2√3（t﹣1），
在Rt△CEQ中，∠CQE＝30°，
∴CE＝CQtan∠CQE＝2√3（t﹣1）×√3/3＝2（t﹣1），
∴S＝S△PDQ﹣S△ECQ＝1/2×√3t×t﹣1/2×2√3（t﹣1）×2（t﹣1）＝﹣(3√3)/2t+4√3t﹣2√3，
∴S＝√3/2t（0＜t≤1）
S= -(3√3)/2t+4√3t-2√3（1＜t＜2）；
（4）
當PQ的垂直平分線過AB的中點F時，如圖3，
∴∠PGF＝90°，PG＝1/2PQ＝1/2AP＝t，AF＝1/2AB＝2，
∵∠A＝∠AQP＝30°，
∴∠FPG＝60°，
∴∠PFG＝30°，
∴PF＝2PG＝2t，
∴AP+PF＝2t+2t＝2，
∴t＝1/2；
當PQ的垂直平分線過AC的中點N時，如圖4，
∴∠QMN＝90°，AN＝1/2AC＝√3，QM＝1/2PQ＝1/2AP＝t，
在Rt△NMQ中，NQ＝MQ/cos30°=2√3/3t，
∵AN+NQ＝AQ，
∴√3+（2√3）/3t=2√3t，
∴t＝3/4，
當PQ的垂直平分線過BC的中點F時，如圖5，
∴BF＝1/2BC＝1，PE＝1/2，PQ＝t，∠H＝30°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BFH＝30°＝∠H，
∴BH＝BF＝1，
在Rt△PEH中，PH＝2PE＝2t，
∴AH＝AP+PH＝AB+BH，
∴2t+2t＝5，
∴t＝5/4，
即：當線段PQ的垂直平分線經過△ABC一邊中點時，t的值為1/2秒或3/4秒或5/4秒．
【點評】
此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的判定和性質，銳角三角函數，垂直平分線的性質，正確作出圖形是解本題的關鍵．
4．（2017長春）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，點P從點A出發，沿折線AB﹣BC向終點C運動，在AB上以每秒5個單位長度的速度運動，在BC上以每秒3個單位長度的速度運動，點Q從點C出發，沿CA方向以每秒4/3個單位長度的速度運動，P，Q兩點同時出發，當點P停止時，點Q也隨之停止．設點P運動的時間為t秒．
（1）求線段AQ的長；（用含t的代數式表示）
（2）連結PQ，當PQ與△ABC的一邊平行時，求t的值；
（3）如圖②，過點P作PE⊥AC於點E，以PE，EQ為鄰邊作矩形PEQF，點D為AC的中點，連結DF．設矩形PEQF與△ABC重疊部分圖形的面積為S．①當點Q在線段CD上運動時，求S與t之間的函數關係式；②直接寫出DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2時t的值．
【分析】
（1）利用勾股定理先求出AC，根據AQ＝AC﹣CQ即可解決問題；
（2）分兩種情形列出方程求解即可；
（3）①分三種情形a、如圖1中，當0＜t＜3/2時，重疊部分是四邊形PEQF．b、如圖2中，當3/2＜t≤2時，重疊部分是四邊形PNQE．C、如圖3中，當2＜t≤3時，重疊部分是五邊形MNPBQ．分別求解即可；
②分兩種情形a、如圖4中，當DE：DQ＝1：2時，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．b、如圖5中，當NE：PN＝1：2時，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．分別列出方程即可解決問題；
【解答】
解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝√AB-√BC=√10-√6=8
∵CQ＝4/3t，
∴AQ＝8﹣4/3t（0≤t≤4）．
（2）①當PQ∥BC時， AP/AB=AQ/AC，
∴5t/10=(8-4/3t)/8，
∴t＝3/2s．
②當PQ∥AB時，
CQ/CA=CP/CB，
∴（3/4t）/8=[6-3(t-2)]/6，
∴t＝3，
綜上所述，t＝3/2s或3s時，當PQ與△ABC的一邊平行．
（3）①如圖1中，a、當0＜t＜3/2時，重疊部分是四邊形PEQF．
S＝PEEQ＝3t（8﹣4t﹣4/3t）＝﹣16t+24t．
b、如圖2中，當3/2＜t≤2時，重疊部分是四邊形PNQE．
S＝S四邊形PEQF﹣S△PFN＝（﹣16t+24t）﹣1/2·4/5[5t-5/4(8-4/3t)]·3/5[5t-5/4(8-4/3t)]=16/3t+8t-24
c、如圖3中，當2＜t≤3時，重疊部分是五邊形NPBQ．
S＝S四邊形PBCF﹣S△FNM＝4/3t[6-3(t-2)]-1/2·[4/3t-4(t-2)]·3/4[4/3t-4(t-2)]=-20/3t+32t-24
②a、如圖4中，當DE：DQ＝1：2時，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．
則有（4﹣4t）：（4﹣4/31：2，解得t＝3/5
b、如圖5中，當NE：PN＝1：2時，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．
∴DE：DQ＝NE：FQ＝1：3，
∴（4t﹣4）：（4﹣4/3）=1：3，
解得t＝6/5s，
綜上所述，當t＝3/5s或6/5s時，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．
【點評】
本題考查四邊形綜合題、矩形的性質、勾股定理、相似三角形的性質和判定、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會構建方程解決問題，屬於中考壓軸題．
5．（2016長春）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交於點O，AB＝8，∠BAD＝60°，點E從點A出發，沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動，當點E不與點A重合時，過點E作EF⊥AD於點F，作EG∥AD交AC於點G，過點G作GH⊥AD交AD（或AD的延長線）於點H，得到矩形EFHG，設點E運動的時間為t秒
（1）求線段EF的長（用含t的代數式表示）；
（2）求點H與點D重合時t的值；
（3）設矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積與S平方單位，求S與t之間的函數關係式；
（4）矩形EFHG的對角線EH與FG相交於點O′，當OO′∥AD時，t的值為 4 ；當OO′⊥AD時，t的值為（ 3 ）．
【分析】
（1）由題意知：AE＝2t，由銳角三角函數即可得出EF＝√3t；
（2）當H與D重合時，FH＝GH＝8﹣t，由菱形的性質和EG∥AD可知，AE＝EG，解得t＝8/3；
（3）矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形需要分以下兩種情況討論：①當H在線段AD上，此時重合的部分為矩形EFHG；②當H在線段AD的延長線上時，重合的部分為五邊形；
（4）當OO′∥AD時，此時點E與B重合；當OO′⊥AD時，過點O作OM⊥AD於點M，EF與OA相交於點N，然後分別求出O′M、O′F、FM，利用勾股定理列出方程即可求得t的值．
【解答】
解：（1）由題意知：AE＝2t，0≤t≤4，
∵∠BAD＝60°，∠AFE＝90°，
∴sin∠BAD＝EF/AE，
∴EF＝√3t；
（2）∵AE＝2t，∠AEF＝30°，
∴AF＝t，
當H與D重合時，
此時FH＝8﹣t，
∴GE＝8﹣t，
∵EG∥AD，
∴∠EGA＝30°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠EGA＝30°，
∴AE＝EG，
∴2t＝8﹣t，
∴t＝8/3；
（3）當0＜t≤8/3時，
此時矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形為矩形EFHG，
∴由（2）可知：AE＝EG＝2t，
∴S＝EFEG＝√3t·2t=2√3t，
當8/3＜t≤4時，如圖1，
設CD與HG交於點I，
此時矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形為五邊形FEGID，
∵AE＝2t，
∴AF＝t，EF＝√3t，
∴DF＝8﹣t，
∵AE＝EG＝FH＝2t，
∴DH＝2t﹣（8﹣t）＝3t﹣8，
∵∠HDI＝∠BAD＝60°，
∴tan∠HDI＝HI/DH，
∴HI＝√3DH，
∴S＝EFEG﹣1/2DHHI＝2√3t﹣1/2√3（3t﹣8）2＝﹣5√3/2t +24√3t﹣32√3；
（4）當OO′∥AD時，如圖2
此時點E與B重合，
∴t＝4；
當OO′⊥AD時，如圖3，
過點O作OM⊥AD於點M，EF與OA相交於點N，
由（2）可知：AF＝t，AE＝EG＝2t，
∴FN＝√3/3t，
∵O′是矩形EFHG的對角線的交點，
∴FM＝1/2EG＝t，
∵O′O⊥AD，O′是FG的中點，
∴O′O是△FNG的中位線，
∴O′O＝1/2FN＝√3/6t，
∵AB＝8，
∴由勾股定理可求得：OA＝4√3
∴OM＝2√3，
∴O′M＝2√3﹣√3/6t，
∵FE＝√3t，EG＝2t，
∴由勾股定理可求得：FG＝7t，
∴由矩形的性質可知：O′F＝1/4FG
∵由勾股定理可知：O′F＝O′M+FM，
∴7/4T＝（2√3-√3/6t）+t
∴t＝3或t＝﹣6（捨去）．
故答案為：t＝4；t＝3．
【點評】本題考查四邊形的綜合問題，涉及矩形和菱形的性質，勾股定理，銳角三角函數，解方程等知識，綜合程度較高，考查學生靈活運用知識的能力．