圖片來自nobelprize.org
撰文 | 安歆亮（新加坡國立大學數學系助理教授）
責編 | 葉水送
一門學科的成熟過程往往充滿艱辛與曲折。以宇宙、時空為研究對象的古典廣義相對論，亦是如此，其發展歷經幾次的爆發與蟄伏。
2020年諾貝爾物理學獎，三位學者因在黑洞領域的貢獻而獲獎
經歷了近十年的艱難探索，1915年11月25日A. Einstein終於在普魯士科學院公開介紹了他的廣義相對論理論，他的Einstein場方程也正式成型。用曲率張量的語言形式上表述Einstein場方程是簡潔而優雅的；但在坐標系下，Einstein場方程卻是一個極其複雜的、由10個2階方程組成的非線性偏微分方程組。Einstein藉助對測地線的研究和合理的近似，進一步得出了光線可以彎折的預言，並解釋了水星進動。不久之後天文學家們對日食的觀測確認了太陽的確可以彎折遙遠的星光，Einstein從此聲名鵲起。
在對稱性假設下，嘗試尋找Einstein場方程的精確解是1920年至1930年左右相對論研究的主要議題。1916年德國物理學家K. Schwarzchild找到了除Minkowski解（平直時空）之外的第一個精確解——Schwarzchild解。這是一個不依賴物質場的真空解。在當時，這個解描述了在規則星體之外的球對稱靜態時空。雖然現在看來找到Schwarzchild解的精確形式並不複雜，但在當時仍然意義非凡。
1922年，俄國物理學家A. Friedmann找到了另一個很有物理意義的精確解，即後來的Friedmann–Lema tre–Robertson–Walker度規。這個解描述了一個正在膨脹或收縮的動態宇宙。
再之後，1939年J. R. Oppenheimer和H. Snyder找到了一個鬆散塵埃做為物質的Einstein場方程的球對稱動態解。這期間，越來越多的精確解在各種對稱性和物質場的假設下被發現；值得注意的是，這些精確解的發現往往都伴隨著人們對時空及宇宙本質的再思考。
以Schwarzchild解為例，Schwarzchild時空中有一個Schwarzchld半徑，一旦進入Schwarzchild半徑之內，即使光子也無法再掙脫。在遙遠的觀察者看來，Schwarzchild半徑之內的區域是沒有任何亮光的，宛如一個黑洞。而這塊黑色區域的中心是一個曲率（Kretschmann scalar）為無窮的奇點。但在當時黑洞解及奇點都是備受爭議的概念，有人懷疑黑洞解的奇異性質和其中的奇點都是在高度對稱性下出現的病態產物，如果不假設如此多的對稱性，或許奇點就不會存在。人們對這個問題的解答要等到1960年代。
1960年至1975年左右是古典廣義相對論的一個黃金時代。兩位卓越的數學物理學家R. Penrose和S. Hawking即將登場。Penrose作為學生時的研究非常數學，他自己的第一篇研究文章是關於矩陣理論，他的這個結果後來被稱為Moore-Penrose矩陣逆。Penrose讀博士時的指導老師是W. V. D. Hodge和J. A. Todd, 他和M. Atiyah是博士同學。Penrose自己一直在研究旋量理論，在他發表一系列物理文章之前，在博士畢業後不久，他還和J. H. C. Whitehead及E. C. Zeeman一起發表過一篇研究如何把流形嵌入到歐式空間的數學文章，發表在《數學年刊》（Ann. Of Math.）。
這之後他的興趣進入到廣義相對論，在1960年至1965年間，他用共形映射把無窮遠點變換到了有限空間並畫出了以後被廣泛運用的Penrose圖；他提出了研究引力波的Newman-Penrose守恆量；並把旋量的方法引入到廣義相對論。1965年Penrose在《物理評論快報》（Phys.Rev.Lett. ）上發表了題為「引力塌縮與時空奇點」的著名文章，這篇文章的數學證明細節在稍後的文章中被給出。基於廣義相對論中光速不可超越的原則，Penrose革命性地引入了時空幾何的研究方法來刻畫因果結構：一個閉合2維曲面上的點，各自不超過光速運動，在下一個時刻仍會構成一個新的閉合2維曲面，如果新的2維曲面的面積總是單調減少，那麼這個初始的閉合2維曲面就被Penrose定義為一個俘獲面（trapped surface）；進而，運用Riemannian幾何中Jacobi場與共軛點的性質，通過反證法，如下結論被證明：在合理物理條件滿足的情況下，3+1維時空中如果存在一個閉合2維的俘獲面, 那麼時空的奇點就會不可避免地出現！從直觀上看，這個過程顯示為：閉合2維俘獲面裹挾著時空中的一塊區域，由於俘獲面的面積隨時間演化不斷減少，而其中的物質無從掙脫，時空奇點的形成便無可避免。Penrose用數學證明了這樣的物理直觀。
Hawking比Penrose小11歲，1965年Hawking正在讀博士，此時Penrose正在宣講他關於引力塌縮的奇點理論。Hawking迅速跟上並把奇點理論推廣到了宇宙學的範疇中，從而在數學上支持了G. Gamow及其學生的熱大爆炸宇宙學模型，進一步預言了宇宙大爆炸（big bang）是我們宇宙的開端。1970年Hawking又與Penrose一起進一步放寬了奇點定理的物理假設。至此引力塌縮及宇宙學中的奇點理論被正式建立起來。
時空中存在一個2維俘獲面是一個非常寬泛的條件，只要求時空中存在一塊引力非常大的區域，而Penrose與Hawking的證明也沒有依賴於任何對稱性。所以奇點理論描述的是一個穩定的現象，因此科學界不得不予以重視。從此對奇點與宇宙大爆炸的研究也正式進入了科學探索的主流。
值得一提的是，在他們各自後續的科學研究中Penrose和Hawking又繼續施展了他們的數學能力：幾何中的Penrose不等式，從旋轉黑洞提取能量的Penrose過程，後來被用於研究準晶的Penrose平鋪，Penrose後來建立的扭量理論；以及Hawking對黑洞無毛定理的證明，對沿事件視界黑洞面積定理的證明， 無不說明了他們高超的數學才能。
奇點定理雖然普適且深刻，但仍然留有一個懸而未決的問題，即：奇點定理條件中要求存在的2維俘獲面可否從無到有的在3+1維時空中形成。Oppenheimer和Snyder雖然構造了一個塵埃做為物質的動態解，但他們用了球對稱假設，且塵埃本身的物理性質並不好也不夠普適。而Schwarzschild解雖然是真空解，但它是靜態的。由Birkhoff定理可知，一旦引入球對稱條件去解Einstein真空方程，那麼這個解一定是靜態的Schwarzschild解或靜態的平直空間解；而靜態的Schwarzschild解並不是由時空演化造成的，它一直存在即使時間是負無窮。可否拿掉球對稱假設，純靠引力效應，通過求解Einstein真空方程而得到一個從無至有的俘獲面？前面說到Einstein場方程是一個由10個偏微分方程形成的方程組，奇點定理的證明中只用了其中一個方程（Raychaudhuri方程）；而為了回答俘獲面能否形成，人們不得不運用其他9個方程。在1960至1970年代，這是一個無法克服的數學困難。這一問題的解決需要再等近40年。
數學家D. Christodoulou
數學家S. Klainerman
在對Einstein場方程的數學研究方面，另外兩位傑出的數學家D. Christodoulou與S. Klainerman將要登場。他們的研究與非線性波動方程的發展緊密相連。1951年出生的Christodoulou曾是一名少年天才。13歲的他是希臘同年齡組的摔跤冠軍；14歲的夏天Christodoulou對數學和物理產生了濃厚的興趣，一個夏天過後他的這個興趣引起了希臘數學家們的注意，他們叫來著名物理學家J. A. Wheeler在巴黎Poincare研究所對Christodoulou進行了一場面試，翌年Christodoulou直接跳過高中和本科，來到普林斯頓大學物理系攻讀博士學位。約4年後Christodoulou以19歲的年紀從普林斯頓物理系博士畢業。但強如Christodoulou，其博士畢業也並不是一帆風順。
Wheeler最初建議給他的問題是一個公開問題，即直接去證明在沒有對稱性假設的情況下，2維俘獲面可以在3+1維時空中從無到有地形成。這是一個嚴肅而極其困難的數學問題。在大初值且沒有任何對稱性的情況下，去解Einstein場方程這個超臨界擬線性波動方程組，在當時研究這類問題的數學工具連雛形都沒有。事實上，距離得出Wheeler所給的這一博士論文題目的解答，Christodoulou還要再等40年。
Christodoulou在博士期間也深入探索了黑洞的性質並發現了黑洞熱力學的雛形，以此博士畢業。可惜的是，他並沒有在物理上對這個問題繼續深究下去，約一年後他的博士同學J. Bekenstein和Hawking系統性地建立了沿事件視界的黑洞熱力學理論。Christodoulou自己說他更多的天賦可能在數學上，在歐洲輾轉了快10年之後，他終於遇到了他的貴人——法國數學家Y. Choquet-Bruhat女士，在她的建議下，Christodoulou終於找到了最適合自己的學科——非線性偏微分方程。
與此同時，比Christodoulou大一歲的Klainerman也來到了數學的舞臺。Klainerman曾就讀於羅馬尼亞精英中學，在紐約大學Courant所讀博士時他接受了兩位偏微分方程大師F. John和L. Nirenberg的指導。1970年代，橢圓方程的理論相對更為成熟，但波動方程的發展還幾乎沒有開始；Nirenberg是橢圓方程及微分幾何的大家，而F. John是研究波動方程的先驅，幾乎孑然一人在孤獨地做著研究。Klainerman選擇了更少有人走的路，在博士論文中用Moser迭代去開始建立非線性波動方程的長時間適定性。又經過了5年的努力，Klainerman革新了擬線性波動方程的研究框架：藉助時空的對稱性，Klainerman建立了非常普適的向量場方法；證明了刻畫波動方程衰減的Klainerman-Sobolev不等式；系統的研究了零條件非線性結構（null structure）對波動方程長時間行為的影響。波動方程的發展也正式成為了純數學研究的一個熱點。
此時，幾乎同齡的Christodoulou也走到了同一領域，Christodoulou用共形映射的方法也很好地研究了波動方程非線性項的零結構（null structure），並開始了一系列在球對稱條件下的對引力塌縮的純數學研究。1980年代末Christodoulou和Klainerman在普林斯頓大學數學系會聚，他們立下了一個目標：用剛剛發展的非線性波動方程技術去研究波動方程中最具挑戰性的Einstein場方程。他們想去證明Minkowski解（平直時空）在偏微分方程意義下是漸進穩定的。
這一研究持續了5年，1993年時一本514頁的數學專著「Minkowski時空的非線性穩定性」出版發行。在此書中，Christodoulou與Klainerman引入了完全嶄新的方法去研究Einstein方程的動態演化。在波動規範下，Einstein方程由10個非線性波動方程組成。但Christodoulou與Klainerman並沒有用這10個方程，他們定義了12個描述時空不同幾何信息的幾何量，這些幾何量的長時間行為都各自不同。在此基礎上，他們找到了這12個幾何量之間的26個一階方程，這些幾何量與一階方程才是他們的研究對象。直觀上看，在一個彎曲時空的演化過程當中，不同的曲率分量、不同的聯絡係數會反映出時空的不同幾何信息，而這些幾何信息才是求解Einstein場方程的關鍵。應用了當時最先進的向量場方法，經過了500多頁的證明，他們終於得到了想要的結論。
在這本專著出來之前，一篇紮實的波動方程論文往往在50頁左右，但Christodoulou-Klainerman這個證明硬生生地把一篇論文的寫作和計算量提高了一個數量級。20年過去，這期間出現了至少4種對Minkowski時空非線性穩定性的不同證明，但Christodoulou與Klainerman的證明依然是包含幾何信息最多的證明。這本專著也為之後的對Einstein場方程的數學研究提供了堅實的理論框架。基於他們的證明，Christodoulou稍後還提出了引力波的非線性記憶效應。
即便Christodoulou與Klainerman的數學證明取得了很大的成功，但「在沒有對稱性假設的情況下，俘獲面能否從無到有地形成？」這個問題仍然很難下手。1983年著名數學家S. T. Yau與R. Schoen在一篇文章中指出：如果一個狹小區域中物質的密度足夠大，那麼一個俘獲面在此刻就必然存在。但如何控制有10個方程的Einstein方程組，並完全靠引力效應得出物質密度（或能量密度）從稀疏變稠密的過程，這在當時還是一個難題。同時Christodoulou與Klainerman的工作雖然對Einstein場方程在小初值時的演化給出了詳盡的解答。但俘獲面能否形成是一個大初值問題，因為小初值時Minkowski空間的穩定性排除了俘獲面形成的可能。而對於超臨界非線性方程，大初值時的演化往往伴隨著數學上出現各種各樣的無窮，人們幾乎寸步難行。對俘獲面形成這一問題，數學的探索再次進入了停滯。
1990年代後期，Christodoulou與Klainerman沿著兩個稍有不同的方向在繼續前進。在球對稱條件下，對無質量標量場的Einstein場方程，經過一系列文章中極其精巧的證明，Christodoulou證實了1960年代Penrose提出的弱宇宙監督猜測，即：在普適的情況下，時空中出現的奇點一定被黑洞區域所包裹；而即使時空中的裸奇點出現，它們也一定是不穩定的。Klainerman選擇的道路更加數學，他發現Einstein場方程大初值的問題是與偏微分方程解的適定性與正則性緊密相連的，他把主要時間和精力投入到了發展數學工具證明Einstein場方程最優適定性與正則性上面。經過艱辛的努力，Klainerman-Rodnianski-Szeftel一起用超過一千頁的篇幅，分幾篇文章，最終證明了曲率平方可積的初值下，Einstein場方程是局部適定的。這一結果被認為是對Einstein場方程局部適定性方面可能證明的最優結果。
2000年代初，伴隨著新一代數學家的成長，旋轉黑洞（Kerr black hole）的非線性穩定性慢慢成為了一個熱門問題。即使旋轉黑洞的幾何與代數性質非常複雜，但關於穩定性的研究仍然是一個小初值問題，人們當時普遍期待在20年左右的時間內，這個問題可以得到徹底解決。但俘獲面能否形成的問題則被認為要等到更晚以後才能夠被解決。
但是2007年及2008年的兩篇文章打破了人們的預期。以一己之力，56歲的Christodoulou用兩本分別為992頁及589頁的專著，先後刻畫了沒有對稱性條件下，3維相對論可壓Euler方程的激波形成細節，以及Einstein真空場方程演化中俘獲面從無到有的形成過程。這其中的第二本專著徹底的解答了Wheeler在1960年代末期留給Christodoulou的博士論文題目。Christodoulou證明：在真空中利用引力波合適的匯聚能量，一個俘獲面便可形成。從無窮遠處，沿各個方向來的引力波攜帶著合適的能量向中心聚集，靠近中心處位置的能量密度越來越高，突然某個時刻一塊黑洞區域出現。這個證明不需要任何的物質場。
為了這一刻，非線性波動方程的理論積攢了40年，Christodoulou也一直堅持研究這個問題堅持了40年。在他俘獲面形成的專著中，他繼續用了與Klainerman一起建立起來的時空幾何量分解的證明框架，並且Christodoulou極富創造性的設計了一個帶層級的初值條件。各幾何量的行為不僅不同，它們的大小也在不同的層級，而這個層級隨著時間的演化是幾乎可以被保持的。在各幾何量按層級演化的思想下，Christodoulou精煉出了兩個指導俘獲面形成的常微分方程。而這兩個常微分方程確實給出了俘獲面形成的大致過程，餘下的便是要用Einstein場方程的全部信息去證明所希望是小的量都確實是小的。由於Einstein場方程的複雜結構，Christodoulou的原始證明用了近600頁，雖然之後人們在相對更簡單一些的初值條件下把這個證明化簡到了大約60頁，但對整個問題證明的過程中最原創和最富有洞見的思想來自於Christodoulou。Christodoulou對俘獲面形成的這一工作也打開了在大初值條件下研究超臨界非線性方程的一扇門。
在2008年Christodoulou取得突破之後，古典廣義相對論又進入到了一個百花齊放的階段，在強宇宙監督猜測、旋轉黑洞的穩定性、反德西特（Anti de Sitter）時空的不穩定性、大爆炸奇點的穩定性等等問題上面數學家們取得了眾多進展。Christodoulou與Klainerman-Szeftel也分別在激波發展和黑洞穩定性方面發表了新的專著。一定意義上，古典廣義相對論的研究人員，又一次回到了1960年代Penrose和Hawking在數學上止步的地方，只不過這一次人們有了前人近40年努力而發展出的新數學工具。古典廣義相對論的一個新的黃金時代正悄悄到來。
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作者簡介
作者博士畢業於普林斯頓大學數學系，現為新加坡國立大學數學系助理教授、博士生導師。研究方向為引力塌縮的數學理論及黑洞與奇點的形成。
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