猩猩、鸚鵡、蜜蜂， 甚至連老鼠都會數數，它們甚至還會計算。這種能力是動物們物競天擇的優勢，例如，在覓食時的優勢。動物的數學天賦已經被科學家研究過很多次了，每次結果都很有趣。
知道有多少敵人在對你虎視眈眈，這總是好事。這不僅適用於住在山洞裡的原始人，也適用於動物， 他們不知道自己能不能打得過灌木叢後面的敵人。
儘可能準確地掌握對手的數量，這對動物也很重要。誰若是低估了敵方數量，有時就會付出生命的代價。因為計數中的一個小小錯誤，可能會帶來致命的後果。那麼，動物是如何獲知同類的數量的呢？
1994 年，劍橋大學的動物學家在坦尚尼亞的塞倫蓋蒂公園對獅子進行了一項有趣的研究。凱倫 • 麥庫姆（Karen McComb）和她的同事們想知道母獅子的計數能力有多好。大自然中常常有多達 20 頭的母獅子群居，獅群之間通常井水不犯河水，都有自己的領地。然而，獅群之間總是不期而遇，甚至會有激烈的戰鬥。多數時候數量較多的獅群會獲勝。
吼聲在獅子的交流中起著重要的作用。獅子會單獨吼叫，也會成群吼叫，它們一頭接一頭地輪流發出獅吼，類似合唱團唱歌。麥庫姆和她的同事們錄下了 1 頭獅子的吼聲和由 3 頭獅子組成的小群體的吼聲。之後，研究人員們通過揚聲器將錄下的吼聲播放給 200 米外的母獅群聽。母獅們就會不斷地聽到陌生的獅子的吼聲。
揚聲器的小伎倆開始起作用了 ：這些大型貓科動物聽得非常認真，然後根據自己獅群的大小來決定是否接近這些「入侵者」。如果揚聲器發出 1 頭獅子的吼聲，那麼由 3 頭或更多母獅組成的獅群，每 10 次中有 7 次會進攻，也就是攻擊概率為 70%。
但如果咆哮聲是由 3 頭獅子發出來的，這些母獅子就明顯更加謹慎了。它們自己的獅群要達到 5 頭以上，才會冒著 70% 的風險發動攻擊。塞倫蓋蒂的揚聲器實驗表明 ：獅子會通過吼聲來識別出有多少敵人。它們敢不敢攻擊入侵者，取決於對手的獅群大不大。它們會比較雙方參與戰鬥的獅子數量，只有當己方佔優勢時，才會發起進攻。
1、動物王國裡的集合論
科研人員還在其他各種實驗中觀察到，動物可以很好地獲知數量，並比較數量。其中一個很著名的實驗是用老鼠進行槓桿測試 ：將老鼠放進裝有兩根槓桿的箱子中，只有當老鼠多次按壓第一根槓桿再按壓第二根槓桿時，它們才會得到獎勵。
老鼠在實驗開始時並不清楚這個機制。它們只是嘗試，看按壓槓桿會發生什麼。隨著時間的推移，它們領會到自己需要按壓第一根槓桿的次數視實驗條件而定。它們會分別按壓 4 次、8 次甚至 12 次，並且幾乎不會犯錯。
在類似實驗中，其他脊椎動物，例如猿猴、海豚和鴿子也都已證明了它們的計數本領。蜜蜂甚至掌握了基本的集合。維爾茨堡的研究人員讓蜜蜂在兩塊相鄰的黑板上飛行。一塊黑板上畫了兩個物體，另一塊只畫了一個物體。在畫有兩個物體的黑板後面隱藏著獎勵 ：一小碗糖水。蜜蜂很快就知道了食物的位置， 並且從此總是飛向正確的黑板。
接下來是實驗最有趣的部分。研究人員改變了黑板的排列，以及上面所畫的物體的數量、顏色和 形狀。這樣蜜蜂會如何反應呢？它們仍然毫無失誤。不管畫了兩個物體的黑板放在哪兒，無論畫的東西是紅蘋果還是黃點點，蜜蜂總是能找到通往食物 的路。
科學家們進一步豐富了實驗。他們在兩塊黑板上分別畫了兩個和三個物體來訓練蜜蜂，之後又分別畫了三個和四個物體。蜜蜂們總是很快就能發現要飛往的地方。直到要區分四個和五個物體時，蜜蜂才失敗了。「這是我們第一次證明 ：無脊椎動物也具備計數能力。」維爾茨堡養蜂組的于爾根 • 陶茨（Jürgen Tautz）說道。
蜜蜂實驗，證明了動物的抽象能力可以如此優 秀，這是一項令人印象深刻的科學成果。兩個蘋果和兩個點，對它們來說是相同的，因為都是兩個。就像我們在第一章看到的，嬰兒也一樣能抽象思考。一個玩偶和另外一個玩偶，「唰」的一下變成了兩個球，而他們一點兒也不驚訝，跟蜜蜂一樣，對於嬰兒來說兩個物體仍然是兩個。
2、聰明的黑猩猩
動物的抽象能力遠遠不止於此。它們不僅可以統計物體個數，還能比較數量，甚至還能對閃光和聲音等刺激進行統計和比較。這個實驗是由羅素 • 切爾西（Russell Church）和沃倫 • 梅克（Warren Meck）完成的。研究人員讓老鼠聽到 2 次聲響時按兩根槓桿中
左邊的那一根，聽到 4 次聲響時按下右邊的槓桿。之後，這些齧齒動物就學會了，在有 2 次和 4 次閃光的時候，它們也必須按下相應按鈕。
研究人員提出的問題如下 ：老鼠的大腦分別存儲了聲音和閃光出現的規律？或者說，它們將刺激的次數抽象化，並從中推導出了普遍規律？
為了找到答案，科學家用一個新的實驗來測試老鼠 ：兩次聲響之後，接著又是兩次閃光。老鼠們完美地完成了任務。它們毫不猶豫地按了正確的槓桿，就像在面對 4 次聲響或 4 次閃光時一樣。老鼠不僅可以將物體抽象化，還能將聲音和閃光抽象化。
不過，動物王國中最偉大的數學天才，是人類最親近的靈長類「親戚」——黑猩猩。1981 年，蓋伊 • 伍德拉夫（Guy Woodruf）和戴維 • 普雷馬克（David Premack）在《自然》上發表的一篇論文引起了轟動。這兩位研究員報告說，黑猩猩不僅能知曉數量，甚至 還能做分數計算。
在實驗中，研究人員會向一頭成年黑猩猩先展示一件物品，再展示兩件，如果它能從後面兩件物品中選出與前面所展示的一樣的物品，它就會得到獎勵。這個實驗聽起來比之前的實驗更容易。在黑猩猩面前有一個裝有有色液體的半滿玻璃杯，它必須在半個蘋果和 3/4 個蘋果中進行選擇，與相應的杯子匹配。您瞧好了，黑猩猩的抽象能力足以使其辨識出 ：半滿的玻璃杯與半個蘋果是匹配的。
最後，伍德拉夫和普雷馬克想知道黑猩猩是否能進行分數加法計算。他們稍微改變了實驗條件，沒有向黑猩猩展示半滿的玻璃杯作為原始刺激物，而是用一個蘋果和半杯牛奶。接著，黑猩猩要從一個完整的圓和 3/4 個圓中做出選擇。黑猩猩真的在頭腦中將1/4 和 1/2 合併成 3/4 了！因為它在已完成的測試中多次選擇了 3/4 個圓。這就意味著靈長類動物掌握了基本的分數加法計算——這誰能想到呢！
除此之外，黑猩猩的實驗也表明 ：靈長類計算數字的原則，與我們人類完全相同。1987 年，有一對學者夫婦蘇 • 魯博（Sue Rumbaugh）和杜安 • 魯博（Duane Rumbaugh）的實驗，完全是靠「巧克力的誘惑」。他們在黑猩猩面前放了兩個抽屜，每個抽屜裡都放了幾塊巧克力。研究人員假設，這些動物會主動伸手抓向裝有最多塊巧克力的抽屜。一旦它們決定了一個抽屜，另一個抽屜就會被迅速撤回，它們就無法拿到被撤回的抽屜裡的巧克力了。
研究人員想在實驗中同時發現靈長類加法水平究竟如何，他們就在抽屜裡將巧克力分為兩小堆。例如，在一個抽屜中，將 4 塊巧克力堆在一起，還有一塊巧克力是單獨放的 ；在另一個抽屜中分為兩堆巧克力，各有 3 塊。事實上，黑猩猩通常會選擇放著最多巧克力的抽屜——太優秀了。
但是，黑猩猩也會犯錯誤，我們人也一樣會犯這種錯誤。如果被比較的兩個數字相距較遠，例如2∶6，那麼黑猩猩就幾乎不會犯錯，因為兩個數字間 差異較大，這對黑猩猩而言也很明顯。然而，隨著兩 個數字間的差距減小，錯誤率就會提高。你已經從上一章學到了，這就是「距離效應」。
研究人員也觀察到了「範疇大小」效應。當兩個數字僅僅相差為 1 時，正確率會隨著巧克力數量的增加而降低，如下表所示。
兩頭黑猩猩選擇的正確率此外，兩頭黑猩猩「奧斯汀」和「謝爾曼」的計算技能遠遠高於人類幼兒。但是，在此還必須考慮到這兩隻靈長類動物不是普通黑猩猩。飼養員進行了長期訓練，以確保它們掌握一種象徵性語言。例如，一旦它們學會每一份大餐都相對的象徵符號，就可以通過按按鈕來表達自己的食物偏好。
3、玩觸控螢幕的黑猩猩
經過相應的培訓，黑猩猩甚至可以在運算時戰勝成年人類。日本京都大學靈長類動物研究所的研究人員為此提供了驚人的證據，有一頭名叫「艾」（Ai）的雌性黑猩猩在那裡接受訓練。這頭在非洲出生的母 猩猩於 1977 年一歲時就來到了日本。
多年以來，日本科學家松澤哲郎（Tetsuro Matsuzawa）和他的同事們都在教艾閱讀數字和文字。這些科學家當時就已經用上了罕見的計算機鍵盤和觸控螢幕，不像現在，我們早就對這些設備習以為常了。艾在 5 歲時，就已經能通過點擊跟物品顏色、數量和種類對應的符號按鈕來描述自己所看到的物體。
松澤哲郎教艾學習如何閱讀 0—9 的阿拉伯數字。在視頻中艾演示了它如何在一瞬間識別出屏幕顯示出的點的總數，並點擊觸控螢幕上正確的數字。整個過程如此之快，以至於觀眾無法一下檢驗結果。為了增加任務難度，需要點擊的數字 0—9 總會以不同的方式排列出來。你最好自己去看看視頻，在網上搜索「松澤哲郎」就能找到。
京都的研究人員還教會了 15 頭黑猩猩如何按大小排列數字。當觸控螢幕以隨機順序顯示 0—9 的數字時，猩猩們就開始點擊 0、1、2……仿佛真從 0 數到了 9 一般。當然，它們數的速度也快得令人稱奇。
在另一個實驗中，這些年輕的黑猩猩還證明了它們具備某種照相式記憶。在這個實驗裡，顯示屏上隨機排列地顯示出 1—9 當中的幾個數字，但只有很短的時間。之後，顯示屏上的數字就被白色方塊遮住了。黑猩猩要做的就是以正確的順序來點擊方塊，從 1、2、3 開始，依此類推。
這些黑猩猩極其迅速地解答了這道 9 個白色方塊的數字記憶題。研究人員還讓幾個大學生同樣使用觸控螢幕參與實驗，與黑猩猩的記憶能力進行比較。
就錯誤率而言，人與黑猩猩之間幾乎沒有任何差異，但在快速記憶方面，年輕的黑猩猩遙遙領先於人類大學生。為了獲知短期記憶的極限，黑猩猩跟人類一樣，在數字被白色方塊遮蓋之前，只有零點幾秒來觀看。
當有 0.7 秒的時間觀看 5 個數字時，大學生和猩猩的命中率都達到了 80%。當數字只顯示 0.2 秒就消失時，黑猩猩「阿玉木」（艾的兒子）的命中率仍然是 80%。而在這麼短的顯示時間裡，大學生的命中率只有 40%。你最好也去網上看看阿玉木的視頻，它對數字的快速捕捉太令人震撼了。
松澤哲郎說 ：「許多人包括生物學家，都認為人類在認知能力的各個方面都優於黑猩猩。」但沒人能想到，一頭 5 歲的黑猩猩能比人類更好地解決數字記憶題。
4、世界上最聰明的鸚鵡
在對黑猩猩進行了上面這些神奇的實驗後，我們可能會以為，它們就是動物王國中最偉大的數學天才了。確實它們有可能是冠軍。但是，我還想補充兩隻非常特殊的動物的故事，它們同樣也取得了令人矚目的成就。
首先是灰鸚鵡亞歷克斯（Alex），它生於 1976 年，由美國人艾琳 • 佩珀伯格（Irene Pepperberg）教它說人話。每當佩珀伯格想餵亞歷克斯吃東西時，她就問它 ：「你想要嗎？」當鸚鵡不喜歡這個食物時就會說 ：「我要胡蘿蔔。」當亞歷克斯口渴時，它就會說 ： 「我想喝水。」
這隻鸚鵡還學會了不同材料的名稱，而且能分辨材料。佩珀伯格向鸚鵡展示 1 塊木頭和 1 個羊毛線團，並問它這是什麼材料。佩珀伯格用簡單語言跟亞歷克斯交流——「什麼材料？」鸚鵡會回答「羊毛
（Wool）」或「紙（Paper）」。我同樣建議你去看一下亞歷克斯的視頻，網上都能搜到。
眾所周知，鸚鵡能完美地模仿聲音和音調，但亞歷克斯並不是簡單重複它從教練那兒聽到的東西。「它 真的能明白這些問題的意思。」佩珀伯格說。此外， 它的計算能力也讓人印象深刻。
例如，佩珀伯格向亞歷克斯伸出兩把鑰匙，問道 ：「有多少把？」亞歷克斯很快回答 ：「兩把。」它的計算能力還不止如此。佩珀伯格向它展示了一個託盤，託盤上有 2 個綠色、5 個藍色的立方體，還有幾輛綠色和藍色的玩具車。然後，她問道 ：「有多少個綠色方塊？」雖然亞歷克斯是第一次看到以這種組合放置的物品，但它依然給出了正確答案 ：「2。」
2006 年，佩珀伯格發表了關於亞歷克斯計算能力的研究成果。在實驗中，亞歷克斯面前有兩個倒 扣的不透明塑料杯，下面藏著堅果或糖。只有當實 驗者抬起其中一個杯子時，亞歷克斯才能看到它下面有多少堅果。之後，實驗者再抬起第二個杯子。亞歷克斯每次有 10—15 秒來得知每個杯子下的物體數量。
接著，實驗者試著與鸚鵡進行目光接觸，並問道 ：「總共有多少堅果？」這時，鸚鵡已經看不見杯子下面的堅果了。如果亞歷克斯沒有回答，問題就會在 5 秒後重複一次。
為了儘量減少對鸚鵡的幹擾，實驗由 6 個不同的實驗者來進行。亞歷克斯要算出的堅果總數從 1 到 6 不等。在總計 48 次單獨實驗中，鸚鵡一共犯了 7 次錯誤。它的大多數錯誤（即 4 次）都發生在堅果總數為 5 時。亞歷克斯在計算 3+2 和5+0 時各出了兩次錯。鸚鵡究竟是如何進行計算的，為什麼它總是在和為 5 時出錯，而不是和為 6 時出錯？可能它的教練也沒能搞清楚吧。不過，不可否認，鸚鵡亞歷克斯能做簡單的加法。
本文摘選自《你學的數學可能是假的》，作者: (德) 霍格爾·丹貝克