我愛你 TREE(3)年

這裡TREE就是英文裡樹木的那個單詞TREE，TREE(3)其實是一個函數，函數名稱叫TREE，而函數自變量取值是3。

葛立恆數是曾經在數學證明中出現過的最大的數，後來被一個更大的數TREE(3)取代。葛立恆數雖然很大很大，但TREE(3)跟葛立恆數比的話，葛立恆數是屬於忽略不計的，百億光年浩瀚的宇宙在TREE(3)面前甚至可以忽略不計。

諾丁漢大學數學教授託尼·帕迪拉（Tony Padilla）在一次講座中曾經說過：「即使你掌握了全部宇宙的全部物理過程，但和TREE(3)相比，它們什麼都不是。

更為神奇的是，雖然TREE(3)這個數大到無法寫出來，但TREE(3)的定義比葛立恆數更簡單，簡單來說，它就是一個畫「樹」的遊戲，樹林的樹。

這裡，這個「樹」的概念，對計算機專業的朋友來說可能再熟悉不過了，例如二叉樹、查找樹等等。

如果不是計算機專業的，也不要緊，我們再說其他例子：公司的組織架構圖、某個人的家譜等等。

這些，都是用類似一棵樹的結構展示的，這就是我們今天要談的樹的概念。

TREE(3)這個數，可以用一種畫樹的方式來導出。畫的時候，我們給每個節點（即葉子）畫上某種顏色，而線段（即樹枝）無所謂顏色。所以TREE(3)，意思就是用三種顏色來畫這顆樹。

當然我們還需要一些畫樹的規則：

規則一：第n棵樹的節點（node）數不能超過n（可以小於）。這個很好理解，第一棵樹只能有一個節點，第二棵樹不能超過兩個節點，第三棵樹不能超過三個節點……以此類推。也就是，越到後面，你樹中的節點可以越來越多，但不能多過你畫的樹的序號。

規則二：後面的樹不能包含前面的任意一棵樹（前面的樹可以包含後面的樹）。這裡「包含」的概念，指的是比如你後面的樹去掉若干葉子後，就是前面的樹是這顆樹的子樹，那就犯規的。

但我們這裡「包含」的意思要比「子樹」的定義更寬泛點，以下這些情況也不允許：當前的樹如取若干節點，這些節點如果可以和前面的某棵樹的節點建立一一對應關係，而且兩顆樹中，任意對應兩個節點的最近共同祖先是同一顏色，那也不允許。

所謂「最近共同祖先」的概念，就是兩個葉子同時向根節點回溯，那它們遲早會在某個節點匯合，最遲也是根節點，那這個結點就叫「最近共同祖先」。現在的要求就是，如果兩棵樹之間，如果對應節點的最近共同祖先是同一顏色，那就結束。

這種「包含」在數學上有個專門術語：inf-embeddable。

「inf-embeddable」——其中embeddable是可嵌入的意思，搞嵌入式系統的對這個詞肯定熟悉。

「inf-embeddable」——那inf是什麼意思呢，它其實是下確界，或者說最大下界的拉丁文縮寫。如果你把一棵樹某個枝條上的節點（根節點最小）當做一個大小排序的話，那兩個節點的最近祖先，實際上就是最大的且比這兩個節點都小的的節點， 所以叫下確界「inf」。

如下圖：左邊的樹包含右邊的樹

以上就是畫樹的全部規則。

我們現在，從TREE(1)開始——即只用一種顏色，我們用綠色來做示範。

第一棵樹只能畫一個節點。畫第二棵樹的時候，你會發現無論怎麼畫都會包含第一棵樹（違反規則二）。

所以TREE(1)=1。

如下圖：TREE(1)右邊的樹包含左邊的樹，TREE(1)=1。

接下來我們進行TREE(2)，這次我們綠色和紅色做示範。

第一棵樹畫一個綠色的節點，第二棵樹選擇紅色，但如果第二樹只畫一個紅色的節點，那第三棵樹就畫不下去了，因為第三棵樹無論怎麼畫，必然包含第一顆或第二棵樹。

所以，我們第二棵樹可以畫兩個紅色的節點，這樣我們第三棵樹就可以畫成一個紅色節點（規則二規定後面的樹不能包含前面的樹，沒有規定前面的樹不能包含後面的樹）。

這之後，你會發現你無法再畫出第四顆樹了。所以TREE(2)=3。

如下圖：TREE(2)最多畫出以下三顆樹，TREE(2)=3。

TREE(1) ，TREE(2我們都嘗試過了，接下來就是TREE(3)了，TREE(3)我們使用三種顏色，綠色、紅色、黑色。

你會發現，我們按照這個遊戲規則似乎可以一直畫下去，無窮無盡。直畫到宇宙終結，你畫出的樹的個數跟TREE(3)相比都近似於零。

如下圖：TREE(3)開始的12棵樹的可能畫法。

那麼，TREE(3)是一個有限值嗎？TREE(3)到底有多大？

答案當然是有限的。如果是無窮大，那麼我們在這裡討論TREE(3)的大小就變得毫無意義。

這裡要用到一個定理，叫克魯斯科爾樹定理。

克魯斯科爾這個名字計算機系的朋友肯定很熟悉，克魯斯科爾算法是考試的必考。

這個定理有個粗糙但簡單的說法就是如果你給我無窮多個樹，那其中必然有一個樹是另一顆的inf-embeddable，同下確界意義上的嵌入。

那TREE(3)是一個有限的數其實就這個定理的直接推論了，是不是？

你可能關心TREE(3)這個有限的數到底有多大？這太難解了。

我們可以參考下葛立恆數，葛立恆數可以用64重箭號表示法來表示，那TREE(3)如果要用多重箭號表示法表示，那需要的層數將遠遠大於葛立恆數。

這大概是我最好的形容了，再往下我都不知道怎麼說了，因為再怎麼用語言或符號表達，我都感覺都是很徒勞了。當然，如果你有興趣還是可以上網搜搜有關TREE(3)的符號表示，為了表示它的大，得用各種專門的運算符號才行，雖然這些符號對普通人來說，已經沒什麼感覺了。

關於TREE(3)還有好玩的一點，就是根據克魯斯科爾樹定理，TREE(4)，TREE(5)，TREE(100)都是有限的對不對？那TREE(TREE(3)呢，就是用用TREE(3)個顏色玩這個畫「樹」遊戲，那它還是有限的。那如果TREE(TREE(3))我如此嵌套TREE(3)重呢?

瞬間大腦系統就崩潰了……

我們最初只是玩了一個「畫樹」的遊戲，結果畫出了一個比整個宇宙還要大得可怕的數。下一次你出門時如果看見一片森林，是否會有不一樣的感受呢？另外各位以後寫情書也可以考慮寫「我愛你TREE(3)年」等等。