非線性及其有限元分析

2020-11-06 醫學有限元分析丶

世界是非線性的。但是，人類對它的認識卻是從簡單的線性開始的。


早在公元前500年左右，古希臘的畢達哥拉斯學派就發現了自然數是按照均勻的線性關係增加的。



到了18世紀，法國大數學家拉普拉斯首先認識到，自然界也許不是一個簡單的線性世界。他曾說，如果世界是線性的，則一旦初始條件確定，則世界就按簡單、均勻的規則發展，那麼，這個世界也未免太簡單、太單調了。

到了19世紀，隨著力學的發展，數學家們首次發現了非線性的微分方程，這類方程與通常的線性的微分方程相比，方程中多了一個或幾個非線性的項，正是非線性項的存在，使方程由簡單的線性變成了複雜的非線性。當時，這類方程較多地出現在空氣動力學方程與流體力學方程之中。而法國數學家龐加萊則是最早研究此類方程的人，由此，他得出結論：自然界從廣義上講是由非線性構成的，線性只是一個特例。



公認的對現代非線性理論做出傑出貢獻的是荷蘭的一位氣象學家，叫洛倫茲，正是他開啟了人類認識非線性世界的大門。在非線性世界中，結果對初始條件有著很大的依賴性，只要初始條件有一點微小的變化，隨著時間的推移，結果會越來越發生質的變化，洛倫茲將非線性世界的這一特徵稱為「混沌效應」。

因此，線性只是我們對複雜物理現象的簡化，非線性才是客觀世界的常態。

將非線性狀態抽象分類出來主要是三類:

Ø 材料非線性

Ø 幾何非線性

Ø 邊界非線性


材料非線性

材料非線性是指材料屬性會隨某些變量變化時，顯示出非線性特徵。所有的工程材料本質上都是非線性的，因為無法找到單一的結構關係滿足不同的條件，比如加載、溫度和應變率。

材料非線性的簡單分類：

1、非線性彈性

2、超彈性

3、理想彈-塑性

4、彈性-時間無關塑性

5、時間相關塑性（蠕變）

6、應變率相關彈-塑性

7、溫度相關的彈性和塑性


幾何非線性

幾何非線性可能與以下幾種情況有關：a、大應變；b、大轉角；c、大變形

這個並不是由於材料特性發生了變化，而是由於幾何形狀變化，造成剛度矩陣需要跟隨幾何形狀變化，從而影響最終結果。當形變非常大，造成應變非常高的時候，也有可能同時存在材料高度非線性。


邊界非線性

最典型的邊界非線性就是力學分析中的接觸。包括摩擦，碰撞等等。如兩個或更多個部件彼此接觸或相互幹擾，則組件的這種剛度也會變化並改變。

在實際工程中，產品結構設計常常會被優化，讓荷載接近材料強度，以充分利用材料性能，在這種情況下，為了準確地預測結構強度，有必要進行非線性有限元分析。下表簡要列出了線性和非線性有限元分析之間的主要不同。

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