超級電容有著獨特的充放電屬性，針對超級電容數學模型的研究，定量的掌握超級電容的屬性規律，對於超級電容的系統管理，剩餘電量SOC估計，健康狀況SOH估計，均衡控制等等，都是無法繞過的基礎工作。尤其將超級電容應用在電動汽車上，準確的掌握各個參數之間的關係，是充放電過程控制的基礎。本文主要匯總部分當前超級電容模型識別的研究成果，介紹模型的大體應用方式。
常見的超級電容模型包括電化學模型和等效電路模型。電化學模型能很好地反映超級電容的內部工作機理，但無法反映超級電容的物理特性。等效電路模型採用電阻、電容元件描述超級電容的動態工作特性，具有實際的物理意義，因此具有很強的實用性。由於超級電容等效電路參數辨識的結果直接影響模型精度，因此在建立超級電容等效電路模型的基礎上，採用合適的方法對模型參數進行有效辨識顯得尤為重要。
建立精確、實用的模型對於優化超級電容組的能量管理和功率控制十分關鍵。研究人員提出許多超級電容模型，大致分為三類：電化學模型、神經網絡模型和等效電路模型。從超級電容內部物理化學反應的基本原理出發，電化學模型利用複雜的偏微分方程能夠精確描述超級電容內部的物理化學變化，但該類模型結構複雜、模型參數多，且部分參數難以辨識。神經網絡模型可以精確描述給定輸入與輸出的函數關係，但模型精度取決於模型訓練數據的數量和質量，而且超級電容使用過程中模型參數隨著老化發生變化，需要重新訓練模型，耗時費力，導致該類模型實際應用價值較低。等效電路模型是利用電容、電感、電阻等電路元件組成的電路網絡，模擬超級電容的電壓響應特性，具有參數少、模型精度高等優點，適用於能量管理系統和控制器的設計。常見等效電路模型如下圖所示。
1 等效電路模型
經典等效電路模型，如圖a所示。該模型由一個串聯電阻，一個並聯電阻和一個理想電容組成，模型參數是通過測量充電過程中的電壓響應獲得的，但是，該模型僅能夠描述超級電容數秒時間尺度內的動態性能。
三支路電路模型，如圖b所示。該模型由三個具有不同時間常數的支路並聯構成，每個支路又分別由一個電容與一個串聯電阻組成，其中，具有最短時間常數的支路電容是由一個常規電容與一個基於電壓變化的電容(電容量與電壓成正比)並聯組成。通過測量恆流充電過程不同時間段的電壓響應確定模型參數。在上述模型的基礎上，進一步利用一個變電阻模擬超級電容自放電現象，提高了模型對電荷重新分布過程的模擬能力。如果將溫度對模型參數的影響引入建模過程，建立了基於溫度的變參數三支路等效電路模型，提高了模型在不同溫度環境下的預測能力，並通過不同溫度下的脈衝充放電試驗驗該模型的有效性和準確性。
動態模型，研究人員通過電化學阻抗譜法(Electrochemical impedancespectroscopy, EIS)研究超級電容在頻域內的阻抗特性，以此為基礎提出了動態模型，如圖c所示。該模型由一個串聯電阻，一個電容以及若干個RC 網絡串聯組成，通常情況下，2 個RC 網絡即可達到較高的模型精度。MUSOLINO 等[27]利用二階動態模型(含2 個RC網絡)替代三支路模型中時間常數最短的支路，建立了超級電容等效電路模型，試驗結果表明該模型在高頻和低頻範圍內均可以精確地描述超級電容的阻抗特性。
階梯模型，在階梯模型中，每個RC 子電路代表一個實際超級電容電極極孔的電容與電阻特徵，如圖d所示。該模型可以有效模擬超級電容內部電荷的均衡過程，而且階梯的數目可以變化，數目越多往往模型精度越高，同時，模型結構也越複雜，因此，可以根據具體應用的需要，選擇合適的階梯數目，在滿足模型精度要求的同時，儘量減小模型的複雜度。有人基於仿真步長，提出了利用數值方法實現自動選擇「階梯」數目的超級電容模型，提高了模型運算效率。另外的研究，面向電動車輛應用，從模型預測精度、模型複雜度以及魯棒性等方面對比研究現有常用等效電路模型的有用性，特別是，提出了模型魯棒性的概念，用於表徵模型在推廣到未知運行工況時保持預測精度的能力。
有人對三類模型進行綜合研究，認為階梯模型的模型精度和魯棒性最差，動態模型綜合表現最佳。
2 模型參數辨識
等效電路模型的精度很大程度上取決於模型參數辨識方法。目前，超級電容模型參數辨識方法包括最小二乘法、粒子群算法、自適應模糊估計算法、二元二次方程擬合等。最小二乘法簡單直觀，對非線性模型參數具有很好的統計計算效果，但辨識精度不高；粒子群算法能提高模型參數辨識的精度，但計算複雜，特別是對時變系統不易實現在線參數辨識；自適應模糊估計對非線性系統有較好的魯棒性，但穩態誤差難以補償；二元二次擬合方法求解結果為特定的解，常因虛根問題造成辨識結果不準確。考慮超級電容的容量隨電壓變化，還需要辨識超級電容的可變電容分支參數。常用的辨識方法包括可控電流充電響應法和ESI 阻抗譜法等離線方法和基於卡爾曼濾波器的在線方法。
等效電路模型具有拓撲結構靈活、參數易辨識、精度高、適於在線運算等特點；電化學模型，通常模型結構越複雜，模型精度越高。工程上可通過對應用場合的分析，綜合考慮模型複雜度、模型精度、運算效率等，選擇合適的模型拓撲，再結合一定的參數估計方法，建立精確、實用的超級電容模型。
3 等效模型在SOC估計中的應用
基於模型的狀態觀測器方法常用來估計超級電容的SOC。該類方法具有在線、閉環和自修正等優點，其估計精度受制於模型精度。基於超級電容動態模型，結合溫度對性能的影響，研究人員利用擴展卡爾曼濾波方法在線估計超級電容的SOC。首先利用交流阻抗譜EIS 方法測得超級電容在不同溫度和電壓下的阻抗譜；然後，基於最小二乘法估計動態模型和熱模型的最佳模型參數。再次，結合超級電容電路模型，將擴展卡爾曼濾波EKF應用於SOC估計運算過程中，逐步估算下一個時刻的SOC值；最後，利用標準工況試驗驗證了SOC估計方法的有效性和準確性。擴展卡爾曼濾波EKF算法工作原理框圖如上圖所示。
也有將電路模型結合其他SOC估計方法進行SOC計算的設計。有人基於三支路等效電路模型，設計了一種基於卡爾曼濾波器的SOC 估計方法，據稱該方法的SOC估計誤差可以達到達到1%以內。
模型在實際應用中存在著一些難以繞過的困難。首先，電動車輛運行條件複雜多變，利用離線方法辨識出的模型在應用過程中往往出現模型偏差；其次，隨著超級電容的老化，內部物化參數也隨之發生變化，在全壽命周期內，需要定期辨識和更新模型參數以保持模型精度。
4 複合電源能量分配
超級電容的建模以及SOC估計，最終目的是希望在複合電源系統的電動汽車上，最大化發揮超級電容的作用，是合理的電源能量分配策略的基礎。下圖是一個利用複合電源給電動汽車供電的系統框圖，組成電源的兩個部分分別是鋰電池和超級電容。什麼情形下，兩種電源分別放出多大的功率，能夠滿足電機的要求，實現續航裡程和加速性能的最優化，是複合電源系統的調控目的。
在電路等效模型中，作者選擇了Rint模型作為鋰電池等效電路，選擇超級電容的電路模型也比較簡單的經典模型。系統採用PID控制原理控制鋰電池組和超級電容模組的功率輸出，將電壓作為確定超級電容輸出的主要參考參數，決策過程如下圖所示。
在行車過程中，該策略將實時監測超級電容的電壓值Ucap，當實測Ucap大於設定值Ucap_ref時，說明超級電容存儲的能量增多，負荷較輕，此時該策略會適當增大超級
電容的負荷，減少鋰電池組的功率輸出，使超級電容的電壓回落。
當該策略監測到的超級電容電壓值Ucap小於設定值Ucap_ref時，表明超級電容的能量減少，負荷較大，此時該策略會適當增大鋰電池組的功率輸出，減小超級電容的負荷，使超級電容的電壓值逐漸增加。大電流的輸入、輸出會使超級電容的電壓出現小幅
度的脈衝抖動，在電流消失後，電壓會逐漸恢復到真實水平，為消除此部分抖動對能量分配策略的影響，採用FIR濾波器對超級電容的電壓進行平滑處理。
由於能量回收過程的存在，超級電容的電量不宜過高，時刻準備接收能量；又由於某些特定工況，需要超級電容提供大功率承擔爬坡或者加速的任務，因此，超級電容的電量也不宜過低。因此，在放電過程中，判斷超級電容的荷電量，是分配複合電源放電功率的主要參考。
本文主要整理自下列文獻：
1 李允超，儲能技術發展現狀研究；
2 彭慶豔，超級電容車與純電動公交車適用條件分析；
3 張雷，超級電容管理技術及在電動汽車中的應用綜述；
4 張樂，採用權值分配優化的超級電容等效電路模型參數辨識；
5 胡美聘，電動汽車複合電源能量分配策略研究；
6 王洋，基於鋰電池與超級電容的雙電源管理系統；
（圖片來自網際網路公開資）