三維坐標系間的變換(多公式)

參心←→參心空間直角坐標系間（如：克氏橢球←→IAG75橢球）

參心←→地心空間直角坐標系間（如：克氏或IAG75橢球←→WGS-84橢球）

 三個變換公式（布爾莎、範士、莫洛金斯基）對於坐標換算而言等價，推導布爾莎公式如下：         

如圖所示，Pi在不同坐標系中的坐標

               XT＝⊿X0＋(1＋dK)R(e )X          （10-28）

式中  XT——Pi在坐標系OT —XTYTZT中的坐標向量

          X——Pi在坐標系O —XYZ中的坐標向量

         ⊿X0——原點平移向量，⊿X0＝(⊿X ⊿Y ⊿Z)T

          dK——尺度變化係數

          R(e )——旋轉矩陣 

當已知轉換參數⊿X0、dK、R(e )時，可按上式將Pi點的X坐標系坐標換算為XT坐標系的坐標。

按最小二乘原則求解轉換參數⊿X0、dK、R(e )如下。

 因旋轉角e 很小，有sine=e 和cose=1，若忽略e 二階微小量，則旋轉陣

 代入（10-28）式，忽略二階微小量dKQXi得

                                       XTi＝⊿X0＋R(e)dKXi＋R(e)Xi

                                            ＝⊿X0＋(E＋Q)dKXi＋(E＋Q)Xi

                                            ＝⊿X0＋dKXi＋Xi＋QXi

    顧及 

則（10-28）式為  

（此即用於兩空間直角坐標系相互變換的布爾莎七參數公式）

    若上式中eX＝eY＝0，eZ≠0，則上式為五參數轉換模型。若再有eZ＝0，則上式為四參數轉換模型。若尺度比參數亦為零，則得三參數轉換模型 

三參數轉換公式是在假設兩坐標系間各坐標軸相互平行，即軸系間不存在歐勒角的條件下導出的，這在實際情況中往往是不可能的。在歐勒角不大，求得歐勒角誤差和歐勒角本身數值屬同一數量級時，可以近似地這樣處置。此種情況在國內外一些坐標換算中屢見不鮮，如北美坐標系相對於地心坐標系的三參數是X0=-22m，Y0＝157m，Z0=176；歐洲坐標系相對於地心坐標系的三參數是X0＝-84m，Y0＝-103m，Z0＝-127m等。我國地心坐標系轉換參數（DX1）也屬三個轉換參數。 

當根據多個公共點按最小二乘法求解轉換參數時，對每個點有觀測方程 

假設

不同大地坐標系間的換算除了具有原點平移、歐勒角、尺度比七個轉換參數，還有兩個系統採用不同橢球產生的兩個地球橢球轉換參數。不同大地坐標系統的換算公式又稱大地坐標微分公式。介紹大地坐標換算的布爾莎公式如下。  

X，Y，Z是B，L，H，a，a 的函數，全微分有 

顧及到 

有

上式中

顧及全部七參數和橢球變化的廣義大地微分公式為

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