慣性導航系統原理(2) —— 導航坐標系

上一講：慣性導航系統原理（1）

上一講介紹了慣性導航的基本原理和兩大類慣性導航系統。這一次，我將從基礎的部分開始慢慢說起，首先必須要介紹的就是導航坐標系。

還記得上一講提到的i系，p系，b系麼？是不是被繞的暈乎乎的？沒有關係，這一次我們坐下來好好說說導航坐標系。瓜子飲料什麼的自己準備好。

首先我們看看什麼是慣性系。我們很常見的公式，比如牛頓第二定律，F=ma，也就是物理受力與加速度的關係，成立是有前提的，這個前提就是所有的數值都必須在慣性參考系中。所謂的慣性參考系，就是這個參考系的運動不會對內部的物體運動求解造成影響。簡單說，這個慣性系是可以被認定為靜止或者是勻速直線運動的。

舉個例子，我在一個自由落體的很長很長很長很長很長很長很長（湊字數）的電梯中，然後以這個電梯的中心建立一個坐標系，民間有種說法，管這種坐標系稱之為電梯坐標系。因為電梯是自由落體的，所以這個電梯坐標系也是隨著電梯一起自由落體的。換句話說，這個電梯坐標系相對於地球存在一個下落的加速度的。然後，我在電梯裡，那麼我在電梯坐標系中，加速度就是0（因為我和電梯坐標系一起自由落體，我相對於電梯坐標系靜止），但是我受到的力只有一個重力（因為我在自由落體，所以電梯地板對我的支撐力為0）。這就不滿足F=ma 這個公式。這就是坐標系錯亂引發的結果。

這個例子換到我們慣性導航裡面，你會發現歷史是驚人的相似。首先，加速度計測量的數值，是相對於自身坐標系的。這個自身坐標系，我們可以認為原點在加速度計晶片的中心，x軸指向右邊，y軸指向前面，z軸指向上面。不用去糾結哪邊是右邊，你只需要知道，晶片的位置變動了，這個坐標系也就跟著變動了，然後以後每次的測量結果，都是相對於這個變動後的坐標系的。比如，假設我的加速度計是靜止的，那麼原本我的 z 軸朝上，所以，z 軸的加速度讀數應該是-9.8（為了打字方便，以後每個物理量我都不寫單位了，沒錯，我就是這麼懶￣□￣｜｜）。然後我轉動加速計，讓加速度計的 x 軸朝下，那麼此時，x 軸的讀數就是9.8了，而z軸的讀數變為0。

所以，加速度計如果固定在飛機上，那麼加速度計的測量坐標系會跟著飛機一起運動，想要知道飛機相對於地球的加速度是多少的話，必須先抵消掉飛機自身運動對加速計的測量坐標系帶來的影響。當然，直接去抵消是很困難的，因為飛機的運動是很不規律的。這個時候，我們就有第二種方法，那就是，把飛機的運動參數，以及加速度計測量的數據，都變換到同一個坐標系中，這樣，我們就可以直接F=ma這樣的簡單計算了。

我們的第一個想法就是，構造一個地球坐標系，原點在地心，x軸指向東，z軸指向北，然後把所有參數都變換到地球表面坐標繫上。如果地球是靜止的，那沒問題，但是地球本身是在做自轉運動的，這種自轉運動如果忽略它的話會給我們的導航造成嚴重的累計誤差。所以，我們需要的慣性系，應該是一個相對靜止不動的坐標系，而地球本身相對於這個坐標系是做自轉運動的。

說了這麼多，下面就引出了我們的坐標系了。首先，就是我們選定的慣性坐標系，也就是傳說中地心慣性系。

我們知道，慣性系必須是可以認為相對靜止的一個坐標系，所以，我們這麼定義地心慣性系：

地心慣性系的原點在地心（廢話，不然為什麼叫地心慣性系）；

地心慣性系的z軸沿著地球自轉軸指向北極；

地心慣性系的x軸指向春分點（敲黑板，春分點）；

x，y，z軸成右手系。

上圖就是地心慣性系，我們用 i 來表示地心慣性系，那麼 x(i) 就表示慣性系 i 的 x 軸。為什麼是 i 呢，因為慣性的英語單詞是 inertia，所以地心慣性系就用首字母 i 來表示了。（發現自己詞彙量不夠了吧哈哈哈哈(*^▽^*)）

那麼問題來了，什麼是春分點。這個初高中的地理肯定講過，但是為了防止你跟我一樣已經忘了，所以我們再重新學習下什麼是春分點。看下面這個圖：

我們知道，地球是繞著太陽公轉的，地球繞太陽公轉的平面我們就叫做黃道平面。

同時，地球也在自轉，地球自轉的平面我們就叫做赤道平面。

如圖，以地心為中心的話（就是假定地球是不動的，然後太陽繞著地球轉，這樣假定是因為我們要建立地心坐標系。哥白尼大哥不要生氣），赤道平面和黃道平面（就是圖中黃色的面和紅色的面）會產生兩個交點，就是我們說的春分點和秋分點。

需要注意的是，春分點和秋分點不是地球表面上和地球固定的兩個點，而是地球所屬宇宙空間中兩個固定的點（因為赤道面和黃道面是固定的面）。所以，春分點和秋分點不會因為地球的自轉而移動。

其實，嚴格的定義春分點，用到的是天球的概念，但是我們慣性導航過程中不關注這個，所以你只要知道地心慣性系 i 的下面幾個特點就可以了：

假定地球是慣性系的中心，所有其它天體都是繞著地球轉的。由於我們導航目標都是在地球表面運動，所以其它天體怎麼運動我都可以不在乎，包括其它天體對我導航目標的引力影響，都可以忽略不計，就是這麼任性。

地心慣性系的坐標軸是固定的，或者說，是不隨地球自轉而改變的。正是因為有了這一點，我才可以管它叫做慣性系。

地心慣性系只是把坐標原點建立在地心上而已，跟地球的運動沒有關係，x 軸指向春分點也只是為了方便描述，其實完全可以把 x 軸指向任意一個固定不動的點。注意，我們只是需要一個靜止不動的坐標系。

那麼，這個慣性系是否可以以太陽中心為原點呢？當然可以，但是我們導航的目標都在地球表面上，建立一個那麼遠的坐標系只是會增加很多麻煩而已。

有了慣性系之後，我們還需要引入幾個非慣性系。因為我們最終需要計算的是運載體的經緯度還有高度信息，經緯度信息是會隨著地球自轉而轉動的，所以我們還需要藉助下面這幾個坐標系：

地球坐標系。地球坐標系我們用 e 表示。為什麼是 e 呢？因為 e 是 earth 的首字母。看下圖：

地球坐標系的原點也位於地心，x 軸穿過本初子午線（也就是0度經線，忘了這個概念的自覺面壁去）和赤道的交點，z 軸沿著自轉軸指向北極點，xyz 軸成右手系。

很顯然，和地心慣性系 i 不一樣，地球坐標系 e 是會跟隨地球一起自轉的。

地理坐標系。地理坐標系用 g 表示。g 就是英文 geography 的首字母，我好像聽到有人問 geography 是什麼意思了？

繼續看下圖：

地理坐標系以運載體的中心為坐標原點，x 軸指向正東方向，y 軸指向正北方向，z 軸垂直指向天上。沒錯，地理坐標系就是我們之前說的東北天坐標系。

如上圖，假設運載體運行到地球的 P 點位置，那麼，地理坐標系的原點也跟隨者運載體移動到 P 點，此時，x 軸是沿著 P 點緯度圈的切線方向指向正東方向的，y 軸是沿著P點經度圈的切線方向指向正北方向的。

如果我們不考慮原點位置的平移關係的話，地理坐標系 g 需要怎樣旋轉才能和地球坐標系 e 重合呢？我的這個問題其實是在問，地球坐標系和地理坐標系之間應該怎麼變換。

繼續看下圖（這些圖都是我一筆一筆畫出來的，不看的話我會傷心的）：

紅色的坐標系就是我們的地理坐標系 g。藍色的坐標系就是我們的地球坐標系 e。自古紅藍出那啥嘛。假設 O(g) 點的經緯度分別是 λ 和 φ ，那麼，e 系怎麼轉動才會變成 g 系呢？

先看 x(g) 和 x(e) 這兩個軸坐標。x(g) 位於緯度為 φ 的緯度圈平面內（就是紅色的圈），x(e) 位於緯度為0的緯度圈平面內，而所有的緯度圈都是平行的，所以，如果 O(g) 和 O(e) 重合的話，這兩個軸就是在同一個平面內的。

然後我們再看，我們的 x(e) 需要繞著 z(e) 旋轉多少度才能和 x(g) 重合（或者說平行，我們這裡說的重合都是指平行且指向一樣）。因為 O(g) 點的經度為 λ ，所以直線 l 和 x(e) 的夾角就是 λ 的絕對值（為什麼說絕對值？因為圖中 O(g) 點的經度是西經，順時針方向的，我們表示順時針方向的角度都是用負數表示的）。而 l 和 m 平行，x(g) 是緯度圈的切線，m 是緯度圈的半徑，所以 x(g) 和 m 是垂直的。想像一下，把 x(g)，x(e) 和 l 移動同一個平面上，構成一個直角三角形（因為 x(g) 和 l 是垂直的），那麼，很顯然，x(e) 和 x(g) 的夾角就是90°-|λ|。因為經度是負數（上面括號裡說的），所以，x(g) 需要旋轉的90+λ度就會和 x(e) 重合。

x 軸重合之後，我們再讓 z 軸重合就可以了。

因為 O(g) 點的緯度是 φ ，所以 z(g) 和直線 l 的夾角就是 φ 。進而，z(g) 和 z(e) 的夾角就是90-φ。z(e) 繞著上一步旋轉後的 x 軸轉向 z(g) 是逆時針旋轉。所以旋轉的角度就是正的90-φ。

經過上面兩步旋轉，兩個坐標系的三個軸就完全重合了。

總結起來，就是：

學過計算機圖形學的我們知道（沒學過也沒關係），旋轉是可以通過乘以旋轉矩陣來完成的。所以，知道上述旋轉關係之後，在計算機中我們只要構造出對應的旋轉矩陣就可以完成兩個坐標系之間的旋轉變換了。

那麼，我們繼續再介紹幾個坐標系（奸笑）。

平臺坐標系。這個坐標系只在平臺式慣性導航中存在，表示慣性平臺所跟蹤的坐標系。用字母 p 表示。p 是平臺英語 pingtai 的首字母。啊呸，platform 的縮寫。

理想中，平臺坐標系應該和地理坐標系重合，這樣計算起來就方便了。x 軸上面的速度就是經度的變化率，y 軸上面的速度就是緯度的變化率，z 軸上面的速度就是高度的變化率。但是這在實際操作中是有困難的。因為，北極附近北向表示很困難。所以，實際的 p 坐標系的 x 軸往往會和地理坐標有著一個不固定的夾角。

由於我們主要講解的是捷聯式慣性導航系統，所以平臺坐標系不多做介紹。

機體坐標系。機體坐標系可以認為原點在飛機中心，xyz 三軸分別指向右，前，上。

如果加速度計和陀螺儀的坐標軸與飛機的安裝指向是一致的（都是右前上），則可以認為機體坐標系就是我們加速度計或者陀螺儀晶片內部固聯的坐標系，用字母 b 表示。b 是飛機英文 plane 的首字母。（好吧，我編不下去了，我也不知道為什麼是 b）

我們捷聯式慣導的加速度計和陀螺儀測量出來的數值，都是相對於慣性參考系下，在機體坐標系 b 中的測量值。這句話怎麼理解呢？如果我們把加速度和角速度看做是三維空間的矢量的話（好像本來就是三維空間的矢量），這這些矢量的大小和方向都是在慣性系 i 下面的，然後經過向機體坐標系 b 投影，得到的值就是晶片的輸出結果。也就是說，加速度計也好，陀螺儀也好，測量的都是慣性系 i 下面的矢量，輸出的是這些矢量向機體坐標系 b 系投影后的結果。

那麼，到這裡，我們的導航坐標系就介紹完了，以後我們的各種公式計算，都需要在這幾個坐標系中不斷變換，所以一定要牢記 i，e，g，b 分別是什麼坐標系，原點在哪，坐標軸指向哪，這樣理解起公式來才不會那麼費勁。

To be continued…