高能燒腦:試著想像四維空間

我們每個人都已經習慣了三維世界，所有的物體都有長、寬、高的基本屬性，我們也很容易知道二維平面的圖景，一幅畫就是二維的，而一根線就是一維的。可是我們卻怎麼也想像不出來四維的物體長什麼樣，有什麼特性。一個三維空間的正方體，我們很容易想像出它的樣子，可是一個四維的正方體，我們稱之為超正方體，或者一個超圓錐體、超圓柱體、超金字塔，你能想像出它們的樣子嗎？這似乎已經開始挑戰我們的想像力極限了。

咱們就以正方體為例，來想像一下超正方體的形象。在咱們開始之前，讓我們先來研究一下維度之間的關係，每多一個維度意味著什麼？會帶來哪些變化？這將便於我們去想像維度的提升。

讓我們先從一維的世界開始。如果這個世界是一維的話，那麼這個世界的生物都是一根線段，只有長度，沒有高度和寬度。它們的頭尾各有一個眼睛，它們可以在x軸方向左右移動，但是永遠也無法超越前面的人，要與隔著的一個「人」打聲招呼都是不可能的，更不要說與別的同伴見面，他們只能通過與其相鄰的「人」傳話過去。一維生物的交流就永遠只能是報數，一個挨一個地報過去。

一維世界中萬物都是一根線段

這個一維世界是一個狹窄得讓人窒息的世界，在這個世界中自然不可能有任何形狀的概念，一切都是線段。那麼如果突然有一天，一根一維的線段獲得了朝另外一個維度，也就是y軸方向運動的能力，那麼它的運動軌跡會變成什麼呢？讓我們來看下圖：

二維空間的表現形式

一根一維的線段朝y軸方向運動一段距離後，軌跡形成一個正方形。

一維線段只有2個頂點1條邊，它在二維方向運動一段距離後，2個頂點就多了一倍，變成了4個。我們把2個頂點運動前後的位置用線連起來，於是我們看到軌跡就形成了一個正方形，這個正方形有4個頂點4條邊。一旦從一維的世界拓展到了二維的世界，整個天地豁然開朗，世界從一根只有長度沒有高度的「線」突然變成了一幅「畫」。在這個二維世界中，「人」可以任意遊走和穿行其間，可以跨過相鄰的同伴直接與別的同伴見面。如果一維生物有感知的話，它們會被眼前的奇景所震撼，做夢也想不到居然可以有如此寬廣的天地，天地開闊了豈止兩倍，並且這個二維世界中的物體再也不是只有長度區別的一根線段了，他們可以擁有如此複雜多變的形狀，形狀之多簡直就是無窮無盡的。一個一維詩人在看到了二維世界的奇觀後，帶著他奇特的口音由衷地吟出這樣的「詩句」：嘛叫寬廣，界（這）就叫寬廣。然後，突然有一天，一個二維的正方形獲得了在另外一個維度，也就是z軸運動的能力，那麼它的運動軌跡又會變成什麼樣？我們來看下圖：

二維正方形朝第三個維度運動後成正方體

我們看到，一個二維的正方形在三維方向運動一段距離後，原來的4個頂點翻了一倍，在新的位置又形成了4個頂點。於是我們還是用老方法，把頂點在運動前後的位置連起來，於是形成了8個頂點和12條邊（正方形本來有4條邊，運動後在新位置又有4條邊，然後定點連線再形成4條邊，加起來剛好是12條邊）的一個正方體。這個世界從二維的「畫」變成了三維的空間，天地開闊了豈止百倍。如果生活在「畫」上的二維生物突然來到了這個三維世界，再回看自己曾經生活過的二維世界的話，你覺得它會怎麼想。它必定會被眼前的景象驚呆：舊有的世界觀一去不復返：原來我們以前那個世界是如此狹窄得令人窒息啊；原來我們認為的牢不可破的監獄根本無法關住犯人，一個犯人如果跟我現在一樣能在第三維運動，只要輕輕一跨，就在看守們做夢也想不到的地方越獄了；原來我們以前那個二維世界的保險箱是如此的不保險，從我現在三維的角度看過去，一切都不再是保密的，保險箱內的東西全都一覽無餘，可以輕易取出來。眼前的這個三維世界實在宏大得不可思議，萬物不僅僅只有形狀，還有體積，無窮無盡的形體變化除了用「難以置信」去形容，實在找不出第二個恰當的詞了。

霍金在《果殼中的宇宙》一書中風趣地說二維生物和三維生物的區別在於，二維生物想要消化食物會非常困難，因為如果它們的嘴到肛門是被一根腸子聯通的話，那麼他們必然會被一分為二。其實別說腸子了，二維生物的血管會把它們分割成無數的小塊，彼此不相連。

下面是比較高能、燒腦的了，各位看官務必打起精神。

如果，突然有一天，一個三維的正方體獲得了朝第四個維度運動的能力，那麼它的運動軌跡會形成一個什麼樣的形狀呢？雖然我們暫時無法在頭腦中想像出來，但是根據之前的維度增加的經驗，我們至少可以推斷出，這個四維的超正方體必然有16個頂點（原位置8個頂點，運動後在新位置產生8個頂點），然後有幾條邊呢？在原位置有12條邊，新位置又有12條邊，然後把8個新老頂點連接起來又產生8條邊，因此，這個超正方體就會有32（12+12+8）條邊。這樣我們就得出結論：超正方體有16個頂點32條邊。我們至少可以畫出它在三維空間中的近似圖，或者認為這是它在三維空間中的投影：

超正方體的三維投影

看，這就是超正方體在三維空間的投影。哦，可能有些朋友對投影的概念不是很理解，那麼我畫一個正方體在二維平面的投影圖出來，你馬上就理解了，這也會幫助你想像超正方體的真正形態：

正方體在二維平面的投影

從上面這幅圖中，我們可以看到，物體的投影雖然並不是物體的真正形態，但是它能準確地體現出該物體的基本特徵。請把兩張圖結合起來，然後，閉上眼睛，努力在腦中冥想一下，過一會兒告訴我你想到的四維超正方體的真正形態是什麼樣子的。

過了一分鐘，你睜開眼睛，然後茫然地告訴我：「大哥，很抱歉，還是沒想出來！」

嗯，不奇怪，我料到了，這玩意兒確實不是太容易想。還好我留了一招後手，讓我來繼續幫助你做這個思維體操。下面我們來看看，如果你把一個三維正方體在二維平面上展開，會得到一個什麼樣的形狀呢？換句話說，其實就是把一個紙板箱展開全部平鋪在地面上，會是一個什麼樣子呢？我們畫出圖來看一下：

正方體在二維平面展開的樣子

一個正方體總共有6個面，注意看正方體的二維投影也是6個面，這個基本特徵是相當準確的。把6個面展開，就得到了上圖所示的樣子，其實就是一個紙盒子剪開壓平的樣子。那麼，你能不能畫出超正方體在三維空間展開後的樣子呢？三維到二維展開的關鍵是研究總共有多少個「面」，那麼將四維在三維展開的關鍵就是研究總共有多少個「體」，我們從超正方體在三維空間的投影可以數出來，總共是8個「體」，這個基本特徵是準確無誤的，所以，超正方體在三維空間展開後的應該是這樣的：

超正方體在三維空間展開後的形態

現在，我要你再次閉上眼睛，把超正方體在三維空間的投影和展開圖都在腦子裡面過一遍，然後努力想像一下超正方體的真正形態，你能想像得出來嗎？

這次過了整整五分鐘，你睜開眼睛，還是一臉茫然地告訴我：「大哥，還是想像不出啊！」

別難過，其實小編跟你一樣，也想像不出來。這種狀況，就跟三維世界中的我們去跟一個二維世界的人講解什麼是正方體一樣。在二維世界中，只有正方形，沒有正方體，你費盡口舌，舉了無數例子，從三維正方體在二維上的投影講到三維正方體在二維平面上的展開，然後再畫出正方體在二維平面上的投影以及展開圖，希望通過類比的方法讓二維人想像出正方體的真正形態，口水都講幹了，可是，二維人仍然茫然地看著你，搖搖頭說：「大哥，還是想像不出來。」其實，在對超正方體的想像力上，我們比那個可憐的二維人好不了多少。當一個二維人有一天終於能看到三維的世界後，他的震驚該是多麼巨大，他除了不停地重複「難以置信」這個詞以外，實在找不出其他恰當的形容詞了。

其實我們人人都生活在四維時空中，從理論上說，我們每時每刻都在時間這個第四維上運動。但問題是，時間這個維度是單方向的，因此我們無法回頭看見過去的自己，從而也無法感受到四維空間之大。但是，難道就不能有第四個空間維度存在嗎？時間可以看成是第五維，四維時空變成了五維時空。如果真有第四個真正可以正反兩個方向運動的空間維度，那麼我們三維人是真的有可能跨出我們這個世界的「畫」，從第四個空間維度俯瞰我們這個世界，請想像一下我們將面對的將是怎樣一番令人難以置信的奇景呢？

其實小編對四維的理解也比較有限，如果你有興趣想對四維空間有進一步的認識，可以去讀讀劉慈欣先生在他的《三體3·死神永生》中對四維空間的奇景有著惟妙惟肖的描述，其逼真感和現場感令人嘆為觀止。

如果真有四個空間維度，那為什麼不能有更多個維度呢？這個問題不止小編想過，按照目前最新的理論，我們這個宇宙在誕生的時候總共有十個維度，其中有九個空間維度，一個時間維度。經過百億年的演化，現在六個空間維度已經蜷縮在了微觀世界中。