直接線性變換法(DLT)的求解

2021-01-08 圖像那些式兒

#視覺slam與三維重建#

直接線性變換法的提出見上節估計——2D射影變換，現在我們討論其求解方法

1. 超定解

如果給出的點對應xi<->x'i多於四組，則由方程4.3導出的方程組Ah=0是超定的，如果點的位置是精確的，那麼A的秩仍為8並且有唯一零空間，如果圖像測量含有噪聲，那麼我們只能求方程的近似解，即：

在定義一個適當代價函數的基礎上，我們需要求解使代價函數取最小值時所對應的h

如何定義代價函數 ？

既然Ah=0的解不存在，我們可以固定||h||=1的基礎上求||Ah||的最小值，也就是求解||A||/||h||的最小值，由奇異值分解(SVD)的基本內容知，該解是ATA的最小特徵值對應的(單位特徵矢量)，也就是A最小奇異值對應的單位奇異矢量

由此得到的算法稱為基本DLT算法，概括在表4.1中

2. 非齊次解

除了把h直接作為齊次矢量來求解以外，另一種方法是把等式4.3轉成非齊次線性方程組來求解，因為這種方法存在局限性(在地平線過圖像中心，且坐標原點與圖像中心重合的場景該方法失效）因此此處不再詳述。

3. 退化配置

設用來計算單應的最小配置解的四組點對應中有三點x1,x2,x3共線，則可以證明方程4.1的一個解是H*=x'4lT,因為對i=1,2,3,H*xi=x'44(lTxi)=0,H*x4=x'4(lTx4)=kx'4，也就是對於所有四個點對應都有x'ix H*xi = 0.

下面討論兩種情況：

（1）x'1,x'2,x'3不共線

方程的解唯一且為H*，此時變換把x1,x2,x3都映射到一點而不是三點dx'1,x'2,x'3，H*不是射影變換.

(2）x'1,x'2,x'3共線

方程存在另一個基礎解H,任何形式的aH* + bH的矩陣都是解，當某種配置求不出唯一解時，稱這種配置是退化的.

4. 由線和其他實體求解

上述最小配置解求解的過程用了4個一般位置的點，因為IP2中點於線對偶，因此我們也可以用一般位置的4個線對應求解，或者是用點與線的組合，只要將它們都轉換成點對應或者線對應後，仍然有四個一般位置的點對應或者線對應。一個簡單的示意圖如下

圖1，幾種等價配置

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