2016考研數學之解線性方程組的方法

　　線性方程組的三種形式包括原始形式、矩陣形式、向量形式，高斯消元法是最基礎和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：（1）把某個方程的k倍加到另外一個方程上去；（2）交換某兩個方程的位置；（3）用某個常數k乘以某個方程。我們把這三種變換統稱為線性方程組的初等變換。因此在求解線性方程組時只需對係數矩陣和增廣矩陣進行初等變換。

　　高斯消元法中對線性方程組的初等變換，就對應的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對應的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過對其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。

　　階梯形矩陣的特點：左下方的元素全為零，每一行的第一個不為零的元素稱為該行的主元。對不同的線性方程組的具體求解結果進行歸納總結（有唯一解、無解、有無窮多解），再經過嚴格證明，可得到關於線性方程組解的判別定理：首先是通過初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現0=d這一項，則方程組無解，若未出現0=d一項，則方程組有解；在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數目r等於未知量數目n，方程組有唯一解，若r<n，則方程組有無窮多解。

　　在利用初等變換得到階梯型後，還可進一步得到最簡形，使用最簡形，最簡形的特點是主元上方的元素也全為零，這對於求解未知量的值更加方便，但代價是之前需要經過更多的初等變換。在求解過程中，選擇階梯形還是最簡形，取決於個人習慣。