本文介紹了資產配置中最常用的三個量化模型：均值方差模型、Black-Litterman模型和風險平價模型。我們將具體介紹三個模型的配置思想、輸入的參數、輸出的結果、優缺點、適用條件、實現的算法。
在科學、合理地預測出各類資產的收益、風險和資產間的相關性後，我們可以運用多種量化模型得出最終的資產配置比例。常用的量化模型包括馬科維茨的均值方差模型、Black-Litterman模型以及風險平價模型。馬科維茨均值方差模型用收益率的標準差衡量風險，並通過給定預期收益率，最小化風險的方式構建投資組合的有效邊界；Black-Litterman模型在均值方差模型的基礎上，允許用戶加入個人的主觀觀點；風險平價模型則側重於對各類資產總體風險的配置。本文接下來的小節將具體介紹三個模型的配置思想、輸入的參數、輸出的結果、優缺點、實現的算法。表1對三個模型的以上幾點內容作了簡單的總結和對比。
表1 資產配置模型對比
1、均值方差模型
Markowitz(1952)首次提出了現代投資(行情000900,診股)組合理論(Modern Portfolio Theory,MPT)，他用數學語言衡量了投資組合的預期收益和預期風險，並通過組合優化確定最佳風險收益下的資產配置比例。這個組合優化的過程就是均值方差模型。
在均值方差模型中，投資組合的預期收益是組合中各類資產的預期收益的加權平均值，計算公式如下：
其中，E(rp)是投資組合的預期收益，wi是資產i的權重，E(ri)是資產i的預期收益，N是組合中資產的數量。
投資組合的預期風險是預期收益的標準差，計算公式如下：其中，$\sigma$σp是投資組合的預期標準差，wi是資產i的權重，$\sigma_{ij}^2$σ2ij是資產i和資產j的協方差，σii是資產i的標準差，N是組合中資產的數量。
均值方差模型解決兩個問題：一是給定預期收益，最小化預期風險；二是給定風險容忍度，最大化預期收益。兩個問題的答案是一一對應的，我們以第一個問題為例，用數學語言描述均值方差模型如下：
資產數量有限的均值方差模型可以簡單的通過Excel Solver求解。在不允許賣空(wi>0)的限制條件下，均值方差模型很可能沒有解析解，此時我們可以使用二次優化算法（如Matlab中的quadprog函數，python的minimize 函數）求解模型數值解。
均值方差模型的輸出結果是一系列(預期收益,預期風險)組合，以及相對應的資產配置比例，所有的預期收益和預期風險組合組成一條有效邊界曲線。圖1為使用FOF系統資產配置模塊內嵌的均值方差模型計算得到的三類資產（滬深300、債券和金屬期貨）的有效邊界曲線及預期收益為7%的資產配置比例圖。
圖1 滬深300、債券和金屬期貨的有效邊界曲線及資產配置比例圖
均值方差模型的優點在於求解過程相對比較簡單，但缺陷也同樣明顯。最大的問題在於模型對輸入參數非常敏感，尤其是對於預期收益率的敏感性：輸入的預期收益的微小變化就有可能導致輸出配置比例的巨大變化。而對於預期收益的估計恰恰是我們在長期研究中面臨的最大挑戰：以歷史數據法為例，我們對於預期風險的估計相對有把握，資產間相關性的估計把握略低，而對於預期收益的估計則是完全沒把握。為了儘可能保證均值方差模型輸出結果的穩健性， Michaud(2008)試圖利用Resample的方法，他利用原始資產收益率樣本數據模擬生成多組符合多元正態分布的新樣本，進而使用多組數據計算資產組合的有效邊界。Michaud的方法確實可以提高模型的穩定性，但其本質上並沒有解決估計誤差帶來的問題，僅僅是對有效邊界做了平滑處理。均值方差模型的另一個問題則是其得出的資產配置結果往往會導致組合集中投資於幾類預期收益較高的資產，本質上這是模型對於預期收益輸入參數敏感的副產品，這與現代投資組合理論分散投資的初衷是相悖的。儘管如此，均值方差模型依然是決定資產配置的有效方式，通常作為資產配置進一步分析的起點。
2．Black-Litterman模型
均值方差模型最重要的輸入參數是資產的預期收益率，並且模型對於預期收益率的變化敏感程度非常高。預期收益率的估計來源於歷史收益率時間序列，但歷史並不代表未來，只用歷史收益率作為資產的未來收益率的估計，並以此來配置資產，很容易出現偏差，導致極端的配置權重。高盛的Fischer Black和Robert Litterman於1990年在傳統的均值方差模型基礎上，基於貝葉斯（Bayesian）理論提出了Black-Litterman模型。與均值方差模型相比，Black-Litterman模型最重要的區別是在投資組合配置的過程中不但對歷史收益率進行了總結，同時將投資者主觀的觀點和經驗融入了模型。圖2為Black-Litterman模型的流程圖。
圖2：Black-Litterman模型流程圖
Black-Litterman模型的輸入參數和運行流程如下：
（1）輸入市場收益率$\mu_M$μM和市場波動率$\sigma_M^2$σ2M，進而計算出風險厭惡水平$\delta=\frac{\mu_M}{\sigma_M^2}$δ=μMσ2M;實踐中，風險厭惡水平往往取值2.5。
（2）輸入各資產的歷史收益率時間序列r，計算得到資產的協方差矩陣$\Sigma$Σ。
（3）輸入各資產的市值佔市場組合總市值的百分比，即市場權重$w_M$wM，通過逆優化的方法計算得到各資產的市場均衡收益率$\Pi=\delta\Sigma w_M$Π=δΣwM，$\Pi$Π是一個N×1的矩陣。
（4）輸入投資者的主觀觀點P，Q，以及觀點的置信水平$\Omega$Ω；其中P是一個k×N的投影矩陣，記錄投資者對預期收益率的k個觀點，N為資產類別的數量；Q是一個k×1的觀點矩陣，記錄觀點的收益率數值；置信水平Ω是一個×矩陣，其對角線元素表示投資者對其觀點的確信度，其餘元素為0。
舉個例子，如果有三種資產，投資者有兩個觀點，第一個觀點認為資產1的預期收益率為5%（絕對觀點），第二個觀點認為資產1的預期收益比資產3的預期收益高3%（相對觀點）。這兩個觀點可以表示為：
用矩陣表示，則為：
其中P，Q分別為投影矩陣和觀點矩陣，$\mu_i$μi表示資產i的收益率。
置信水平Ω的計算公式如下：
標量$\Gamma$Γ是一個刻度因子，叫做不確定性刻度，衡量投資者對個人觀點相對於市場均衡收益的信心水平，計算公式為$\Gamma=\frac{1}{n-1}$Γ=1n 1，其中n為資產收益率r的時間序列觀察值數量（根據中心極限定理，當觀測值的數量趨近無限大時，得出的隱含收益將趨近於真值，不確定性就越小）。
（5）混合先驗估計和主觀觀點，得到後驗估計：Black-Litterman模型假設資產的預期收益率是一個服從正態分布的隨機變量，其中，Π是通過逆優化得到的市場均衡收益率，作為先驗估計的預期收益率的均值，$\Sigma_{\mu}=\Gamma\Sigma$Σμ=ΓΣ作為先驗估計的預期收益率的方差。綜合主觀觀點後，後驗的預期收益率均值及方差的估計分別為
（6）以$\mu^{BL}$μBL作為資產預期收益率的估計，$\Sigma^{BL}$ΣBL作為資產方差協方差的估計，輸入均值方差模型，得到資產組合的有效邊界曲線及對應的資產配置比例。
Black-Litterman模型提供了一個確定資產預期收益率的框架，它以市場投資組合的實際佔比為切入點，通過逆優化的方式計算各類資產的預期收益。相比於均值方差模型，BL模型推導得出的預期收益率是穩健一致的。此外，BL模型還允許投資者加入個人的觀點和觀點的置信度。當投資者認為當前市場投資組合偏離均衡狀態時，可以人為的對預期收益率的估計進行調整。
Black-Litterman模型的缺陷主要在於其對市場組合的假設。它假設市場組合是一種涵蓋了市場所有資產的組合，而且所有投資者可以自由投資於任何一種資產，顯然這是不現實的。在實際操作中，也很難構建一個包含所有資產的市場投資組合。在國內市場，甚至很難構建一個包含投資範圍內少數幾種資產的投資組合，並計算各資產的實際佔比。因此，實際中，往往使用等權重（或者由其他資產配置模型得出的配置權重）作為各資產市場佔比的估計輸入模型，這極大地限制了Black-Litterman模型的應用。很多時候，Black-Litterman模型輸出的資產配置比例僅僅作為資產配置分析的一個參考。
3．風險平價模型
均值方差模型和Black-Litterman模型都依賴於預期收益率的輸入，而預期收益率往往難以估計。相比之下，預期風險的估計可靠性強很多。此外，均值方差模型和Black-Litterman模型的基本邏輯都是在給定預期收益率的情況下，最小化風險。這個邏輯的不足之處在於其只考慮了組合的整體風險，而沒有關注風險的構成。基於以上兩點，PanAgora基金的首席投資官錢恩平（Edward Qian）博士提出了著名的風險平價（Risk Parity）策略。風險平價策略通過平衡分配不同資產類別在組合風險中的貢獻度，實現了投資組合的風險結構化。通過風險平價配置，投資組合不會暴露在單一資產類別的風險敞口中，因而可以在風險平衡的基礎上實現理想的投資收益。
風險平價模型的具體算法如下：
一個包含N個資產的投資組合的標準差可表示為
其中，$\sigma$σp是投資組合的預期標準差，wi是資產i的權重，$\sigma_{ij}^2$σ2ij是資產i和資產j的協方差，σii是資產i的標準差，N是組合中資產的數量。因此資產i的邊際風險貢獻可表示為
該變量描述了單個資產權重的微小變化給投資組合風險所帶來的影響，這裡的組合風險是以資產收益率的標準差度量的。
定義資產i的總風險貢獻為該資產權重與邊際風險貢獻的乘積，即
進而，投資組合風險可分解為各資產總體風險貢獻的加總：
風險平價模型的思想在於單個資產對於組合的總風險貢獻程度相同，也就是所有單個資產的TRC相等，即 對於任意的i和j：
將以上關於每種資產TRC相等的條件轉化成一個最優化問題來求解：
目標函數為
限制條件為 風險平價模型在橋水（Bridgewater）基金的運用與實際投資中，獲得了成功（原因之一是過去二十年美國債券市場的牛市）。有部分實證研究也證明其在市場多變，資產輪動無序且頻繁的條件下比均值方差模型更能提供穩定的組合收益。
模型的缺點在於得出的資產配置組合有時候會過度集中波動性低的資產，而降低了投資組合的整體收益。圖3為使用風險平價模型配置滬深300、債券和金屬期貨三類資產的輸出結果。與均值方差模型的輸出結果相比，風險平價模型的資產配置明顯側重于波動性低的資產——債券。此外，風險平價模型的求解過程也遠比均值方差模型來的複雜，在少數情況下甚至很難得出一個最優解。在本節的附錄中，我們介紹了兩種風險平價模型的優化算法。
4．參考文獻
Black, F., & Litterman, R. (1992). Global portfolio optimization. Financial analysts journal, 48(5), 28-43.
Chaves, D., Hsu, J., Li, F., & Shakernia, O. (2012). Efficient algorithms for computing risk parity portfolio weights. The Journal of Investing, 21(3), 150-163.
Markowitz, H. (1952). Portfolio selection. The journal of finance, 7(1), 77-91.
Michaud, R. O. (2008). Efficient asset management: a practical guide to stock portfolio optimization and asset allocation. Oxford University Press.
5．附錄-風險平價模型優化算法
風險平價模型的最優化過程是一個求解線性約束下的二次最小化問題，算法比較複雜。Chaves, Hsu, Li和Shakernia(2012)提供了兩種迭代算法，通過變換後的線性優化，可以更快的收斂到最優解。
風險平價模型的思想是使得所有單個資產的TRC相等，即
這個條件可以用矩陣表示為
其中，$\Sigma$Σ是資產收益率的協方差矩陣，w是資產權重向量，令wi是權重向量的第i個分量，1/w代表向量[1/w1,1/w2,...1/wN]'，$\lambda$λ是一個未知的常數。兩邊同時除以資產組合的方差，整理後可得$w_i=\frac{\lambda}{\beta_i}$wi=λβi，由於$\sum_1^Nw_i=1$N∑1wi=1，則有
其中，$\beta_i$βi是wi的函數，同時wi也是$\beta_i$βi的函數。
一、冪法（Power Method）
冪法的思想是給權重向量w賦初值，並計算與之相應的$\beta$β，然後通過$\beta$β重新計算，更新權重向量w，如此循環，直到權重向量收斂。具體算法如下：
（1）由初始權重向量w(0)（等權重向量，或者風險平價模型的近似解，1/$\sigma$σ）開始迭代，設定停止閾值$\varepsilon$ε；
（2）根據現有的投資組合權重向量w(n)，計算所有單個資產的$\beta_i^{\left(n\right)}$β(n)i；
（3）如果以下條件滿足，則停止迭代，輸出權重向量w(n)；如果條件不滿足，則更新權重如下，並返回步驟（2）： 需要注意的是，當一個資產與其他所有的資產不相關，或者一組資產與另一組資產不相關時,「冪法」會在兩個不同的解當中循環，並且不會收斂。
二、牛頓算法（Newton’s Method）
牛頓算法是求解具有非線性等式系統的：將系統寫成一般形式F(y)=0，然後對以上等式求解。我們使用泰勒展開式對系統在點c附近進行線性估計：J(c)代表F(y)在點c的Jacobian矩陣。令F(y)=0，求解y：以上求解只是一個估計，但是對上式進行迭代，結果會逼近最優解：給定一個近似解y(n)，我們可以計算直到y收斂。
下面我們把風險平價模型寫成非線性等式系統的形式，該系統含有N+1個等式和N+1（w和$\lambda$λ）個變量：Jacobian矩陣為其中l'為1×N的向量，向量的每個元素為1，diag（1/w2）代表對角線元素為1/w2i的對角矩陣。
迭代的具體算法如下：
（1）對權重向量w(0)賦初值（等權重或傳統風險平價近似解，1/$\sigma$σ），對$\lambda^{\left(0\right)}$λ(0)賦初值（任何在0和1之間的值），並且定義停止迭代閾值$\varepsilon$ε，令y(0)=[w'(0),$\lambda^{\left(0\right)}$λ(0)]'；
（2）計算F(y(n))，J(y(n))和y(n+1)；
（3）如果滿足條件，停止迭代，輸出權重矩陣w；如果不滿足條件，則返回步驟（2）。
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