摘要
EOS RAM在經過了價格大幅度波動後，其背後的Bancor定價機制也越來越為人所熟知。繼《【火線視點8】沒有免費的午餐——從EOS RAM價格看公鏈通證經濟體系設計》後，火幣區塊鏈研究院繼續對這一算法研究，分析其後背的數學和經濟學原理，並通過公式，我們計算對比了不同參數下RAM價格，主要得到以下研究結果:
Bancor公式中隱藏價格函數與經濟學上的價格彈性曲線的概念相通。
由於是根據供需量來得出價格，Bancor經過微積分計算得出購買RAM時所需EOS的等效價格，防止產生購買價格誤差。
在不同的曲線參數下，價格會有不同。我們以北京時間7月10日18點40分的情況為例，使用MATLAB R2015a進行測算：付出10 EOS以上，參數取值改為0.5會比0.0005的商品「性價比」更高。
1.引言
EOS RAM在經過了價格大幅度波動後，其背後的Bancor定價機制也越來越為人所熟知。繼《【火線視點8】沒有免費的午餐——從EOS RAM價格看公鏈通證經濟體系設計》後，火幣區塊鏈研究院繼續對這一算法研究，分析其後背的數學和經濟學原理。通過公式，我們計算對比了不同參數下RAM價格，可看到參數的確會產生一定程度上的影響。
另外需要注意的是：測算得到的數據結果不是也不應被視為是對EOS RAM未來價格走勢等情況的證明或確認。特此聲明。
2.主要結論
經過研究與測試分析，我們得到以下主要結論及技術建議：
Bancor公式中隱藏價格函數與經濟學上的價格彈性曲線的概念相通。
由於是根據供需量來得出價格，Bancor經過微積分計算得出購買RAM時所需EOS的等效價格，防止產生購買價格誤差。
在不同的曲線參數下，價格會有不同。我們以北京時間7月10日18點40分的情況為例，使用MATLAB R2015a進行測算：付出10 EOS以上，參數取值改為0.5會比0.0005的商品「性價比」更高。
3.什麼是Bancor
Bancor算法的本質我們在此前的《【火線視點8】沒有免費的午餐——從EOS RAM價格看公鏈通證經濟體系設計》報告中有過介紹：它是在1940年-1942年間由凱恩斯、舒馬赫提出的一個超主權貨幣的概念，可作為一種帳戶單位用於國際貿易中，並由英國在二戰後正式提出。然而，由於美國實力在二戰後一枝獨秀，Bancor 方案並沒有在布雷頓森林會議上被採納使用。但應用這一思想的 Bancor 算法則繼續延續了其生命力。Bancor 算法由 Bancor Network 項目提出應用，旨在採用公式來設定好數字資產間的兌換價格。其聯合創始人 Eyal Hertzog 近期也被BM邀請一起來探討 EOS 中 Bancor 算法的應用。
雖然Bancor Network近期也經歷被盜風波，但這不妨礙我們繼續研究這一算法。既然是原本要用於國際貿易的模型，那必然涉及到不同實體間如何兌換。Bancor 白皮書中對定價模型有著十分嚴謹和詳細的說明。它定義了兩類token：一種是通常會流通使用的 connector token（即儲備金，例如：BTC、ETH、EOS等），而另一種是作為「超平臺」中間媒介的 Smart Token。為了使得兌換價格滿足剛才提到的供需關係，設計的公式中的價格為 connector 的可流通餘量（balance）除以 按照一定係數的Smart Token 供應量：
（來源：Bancor Network白皮書）
其中，CW 的英文是 Connector Weight，表示設計出來的 Smart Token 的總價值與實際在使用中的 connector 餘量間的關係，設計好後為一個固定參數：
（來源：Bancor Network白皮書）
總體上來說，就是 Smart Token 的供應量越少或者 connector 的餘量越多，那麼使用 connector 來兌換 Smart Token 的價格就越高。
雖然很不嚴謹，但這也就能理解了為什麼 EOS 的 RAM 越少，價格越高了。至於不嚴謹的原因，我們將在下文繼續解釋。
4.公式設計思路
回到 RAM 價格上，那麼無疑在 EOS 主網剛上線的時候，RAM 供應量最多。可以看到最低價格是 0.017 EOS/KB 。按照這個價格，也就是買 1MB 需要 0.017 * 1024 = 17.408 EOS。那麼，全部 64GB RAM 在這個時候值 1140850.688 EOS，是不是這個時候花費這些 EOS 就可以把 64 GB一次性都買下？答案顯然是否定的。
實際上，有多種方式可以限制這種做法。最簡單的一種就是限制每次買賣的數量：只要設置每次只能購買 32GB，那麼第二次買 RAM 的價格就會提高很多，買的總成本就會變的很高。再循環細分下去為 16GB、8GB …… 總的價格就會越來越合理。這在數學上是有相應的工具可以使用的。
（來源：微分）
是的，就是微積分。在 Bancor Network 白皮書中引用的另外一個資料中，可以看到這個推導過程。
定義R為當前connector的餘量、S為當前Smart Token的供應量、F為係數（即上文中的CW）、P為當前Smart Token的價格，那麼有：
Smart Token的市場總量 = SP
Connector餘量 R = FSP， 即
當要購買dS 的Smart Token時，用戶需要付出P dS 的成本，也等於剩餘connector的變化量，即dR = P dS
又因為R = FSP，同時微分可得到：dR = d(FSP) = F d(SP) = F(S dP + P dS)，所以綜合上述兩個等式可得：
（來源：《Formulas for Bancor system》）
然後我們可以看到，這個微分方程的結果和經濟學上的一個概念是一樣的。
（來源：Bancor Network白皮書）
是的，就是經濟學上的價格彈性曲線：
當 CW 或者 F 為 1 時，提供100%的流動性，因此價格毫無彈性，一直維持在某一水平線上
當 CW 大於 0 小於 1 時，即上述正常供需情況下的價格曲線
有了這個價格函數後，再對其進行積分，即可得到不同量的 connector 可換購的 Smart Token 數量。
定義用戶要購買Smart Token的數量為T，那麼可得到需要付出的connector的數量E為：
（來源：Bancor Network白皮書）
如果用付出的connector 除以兌換到的Smart Token 數量，即可得到等效價格（Effective Price），即只要付出的connector總量一樣，不管分多少次購買，所獲得的Smart Token總量是一樣的，因此也就不需要限制單次購買量了。但相應的，如果單次付出不同數量的connector，折算得到的單價也會不一樣，所以不會存在上文假設的「套利」情況。
5.EOS RAM的公式更複雜
EOS 應用 Bancor 算法過程中，並不是將 EOS 和 RAM 直接用價格曲線進行兌換，而是引入了中間 token——RAMCORE，對應於 Bancor 中的 Smart Token。
EOS 和 RAM 兌換邏輯的代碼主要在：https://github.com/EOSIO/eos/blob/v1.0.8/contracts/eosio.system/exchange_state.cpp
EOS 到 RAM 的兌換過程就涉及了兩個公式，所以上文中用一個公式來舉例就很不嚴謹，只是為了定性的說明價格特性。
從代碼中可看到EOS與RAMCORE的兌換公式為：
其中，E為EOS到RAMCORE所能兌換的數量，R是RAMCORE的初始發行總量，C1為當前EOS餘量，T1為用於購買的EOS數量，F為常量參數
將上述公式的進行反向整理設計，即可得到RAMCORE與RAM的兌換公式為：
其中，T2是準備購入的RAM數量；C2為可分配的RAM餘量。將中間變量E代入即可得出用於購買的EOS數量（T1）與可兌換到的RAM數量（T2）之間的關係。
為方便直觀的理解，可以對公式進行簡化，得到：
可以看到隨著可買RAM餘量（C2）的降低或者EOS數量（C1）的增多，RAM的價格會加速增長（即同樣付出T1的EOS下，可換取到的RAM數量T2變少了）
6.不同參數下的價格偏差計算
根據簡化公式，F 應該對價格影響很小。那麼 BM 之前說的把 0.5 多除了1000，變成0.0005，對價格是否有很大影響？我們可以直接通過公式計算來驗證。
按照公式，要計算先確定好公式中的參數。參數的獲取可通過網絡渠道來獲得：
（參考https://github.com/eoshackathon/eos_dapp_development_cn/blob/master/docs/ram_price.md）：
由於C1和C2的參數會時刻根據行情進行變化，我們選取上述時間作為示例計算參數。下一步，我們使用MATLAB（R2015a 8.5.0.197613）進行公式的計算。
當要付出不同量 EOS 時，分別計算出F=0.0005和F=0.5的 RAM 價格結果，可購買到的RAM之差（F=0.0005-F=0.5）以及兩個價格之間的差值：
可以看到，當F取值變化的時候，不同購買量下的結果的確不同：當一次付出10000 EOS時，F=0.0005能購買到的RAM比F=0.5少了 20 KB，相應的RAM單價高了 4.0412e-04 EOS/KB；而當一次付出100000 EOS時，會少近 2MB，同時單價高 0.0040 EOS/KB。
根據結果，在購買量大的時候，確實會有區別，而且改為F=0.5後RAM的「性價比」反而會更高，這很可能也是BM及EOS社區在調整參數時所考慮的問題。
7.參考資料
1.Bancor Protocol Whitepaper
2.Formulas for Bancor system
3.【火線視點8】沒有免費的午餐——從EOS RAM價格看公鏈通證經濟體系設計
4.https://eospark.com/ram.html
5.https://github.com/eoshackathon/eos_dapp_development_cn/blob/master/docs/ram_price.md
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