==書和題==
一般來說，剛剛接觸競賽的新人都需要一套系統全面的入門書籍，比如：《 奧賽經典》、《 奧數教程 》 、《 小叢書 》 等。對於這些書，如果可以的話當然是選一套書慢慢啃，但其實幾乎沒有人能夠有毅力地踏踏實實做完一套這樣的「大部頭」...... 所以你可以先不這麼「踏實」地先了解一下做題的方法，然後做一些題，不一定要做完所有習題。
在剛開始接觸新的領域的時候可以直接看例題的答案，但是最好每個題都要經過一段時間的思考，至少也應該知道自己沒有突破的地方在哪——那就是你能學到的新東西。要學會舉一反三，這樣很快就能掌握很多方法。
關於聯賽的模擬題，除了學校教練的題目，《 中等數學 》 的模擬題（包括非增刊和增刊）不錯。當然，模擬題的難度總歸與真正聯賽可能會有差距，所以如果有些套題做下來點思路都沒有，很可能是題目確實難。不必太在意；但是如果是自己算錯的很多，就要找原因了。事實上，增刊模擬題一試平均分與真實聯賽的成績差距不會很大。可能模擬會稍難一些，但是真正考聯賽的時候會比較緊張，也有可能會出現低級失誤。
在稍稍進步一些之後，實際上你己經可以做出一部分聯賽二試難度的題目了，但是穩定性卻不能保證。這個時候，比較重要的是補充短板。可以看之後的具體分支中的書。
關於備戰二試較難的題目和 CMO 以上級別的考試，強烈推薦單蹲的 《 數學競賽研究教程 》。儘管這本書不長，但其中很多章節裡的思想很關鍵。儘管現在新的方法很多，很多很難的題目卻恰恰用的是老的方法。這本書是值得從頭到尾紮實地把所有題做一遍的。
《 命題人講座 》 系列是一套補短板的好書，但也有不足一一部分書的部分章節太偏太難，可能更像是科普而非針對競賽。
一些流行的期刊，比如 《 中等數學 》 等，可能會載有一些最新的題目和方法。推薦大家在看書了解傳統的方法的同時，最好也要了解最新的題目與新興的方法。
之前說到過兩套所有人都要做的題目：《 走向 IMO 》和 IMO 預選題。這兩套題目都非常好，在準備 CMO 和 TST 時都可以做。IMO 預選題大致按照難度排序，並且題目本身大都很優美。（當然，其中有些題目可能作為競賽題確實過難了一些......）
當然，題目看似雖少，如果給足時間做這些題目，實際上也需要不少時間。從 IMO官網（ www.imo-official.org ）的problems裡可以找到近年的 IMO 預選題（ IMO shortlist ）與多種語言的 IMO 真題。當然，你也可以從官網裡找到歷年考試的成績與選手的資料（包括照片哦），在做 IMO 題目的時候可以以此為參考。
數學新星網(www.nsmath.cn）裡有一些不錯的文章，新星徵解的難度也不錯（當然，難度不太均勻，建議以題為單位單獨做不要計時），對數學競賽可能會有幫助。
很多人都會逛一個論壇 AOPS (www.artofproblemsolving.com ) ,進入 community， contest 就可以找到很多其他國家的題目了，也可以在論壇上與世界各地的數學愛好者討論。美國的 USAMO , USATST , USATSTST 試題，確實也不錯。
另外， AOPS 上的方法一般是網友自己做出來的，可能有很多方法與官方答案不同。有很多非常優美的方法值得學習一一有些題目官方答案很複雜，但在 AOPS 上卻有短而精闢的解答。
Aigner 與 Ziegler 的《Proofs from THE BOOK 》是一本拓寬視野的好書。平時沒事可以翻翻，裡面的很多證明有推廣價值。（不過有的章節需要用到高等數學的知識，看不懂就留給以後再看吧）
==專題==
下面按照代數、幾何、數論、組合的順序給出一些具體的建議。
代 數
主要的題型有多項式，複數，數列，不等式，函數方程。
關於代數，學一些數學分析和高等代數對代數感會有提高——有些題目會用到分析或者代數的思想，未來的題目也很有可能向著這個方向發展，所以有時間的話推薦大家學一些。
系統講多項式和複數的書其實不多，《 數學競賽研究教程 》裡有講到一些。但複數和多項式的了解主要還是來自於題目。有一些特殊的多項式，比如 Chebyshev 多項式，還是要了解的。多項式另一個考點是多項式的數論性質，比如 Hensel 引理等，也要了解。
數列，要熟悉各種各樣的換元法和求通項公式的方法，能求出通項公式的數列往往可以通過通項公式大幅簡化問題。數列的另一種考法是與數論結合。比如像 Fibonacci 數列這樣的二階線性遞推數列有很好的數論性質，要專門研究。
不等式是一個大坑，種類繁多，套路複雜。拿到一個不等式，第一件事一定是猜取等，通過取等確定最基礎的方向一般來說，取等都是比較容易猜出的。比如若干取0若干相同；但是也有例外，比如不對稱的不等式和一些算常數的不等式。遇到不確定取等條件的不等式，最好先觀察有沒有簡化的方法：比如可以通過調整，讓最小者是0；對局部求導，得到一些要滿足的性質等等。
三元對稱不等式有一個很厲害的方法，就是配齊次，通分，展開，然後利用 Schur 不等式和 Murihead 定理一點一點消去一些項（當然還有直接把一些平方展開可以得到的「自製」不等式），最後把它拆成若干個非負的東西之和就可以了。（一般來說，不等式都不會太強，一點一點來總能可以做出來的）當然，現在考的三元對稱不等式越來越少了，一般也不會讓你可以這麼暴力的解出，比如給一個很不友善的條件之類的（ 如
a2+b2+c2=1 讓你配不了齊次）遇到這種情況還是老老實實用傳統的不等式方法（均值，柯西等）做吧。
切割線法和局部不等式是解決問題的獨門秘籍。如果遇到簡單放縮無法奏效的情況，可以試著自己構造，一個這樣的局部。
如果不等式中變元是分離的，可以考慮用 karamata 不等式和Jensen 不等式，驗證一下凸性，說不定就做完了或者大幅簡化問題。
調整法很笨，但是有的時候卻能奏效。但是調整法要注意：如果要使用無限次的平均調整，一定要說明調整是作用在緊集上的，從而最小值點存在。另外，不是所有題都可以輕易地調整出來。如果調整法計算量不小的話，試試其他方法吧。
函數方程，是 一個中國考察得比較少的方向，但是在 IMO 預選題代數裡往往佔據「半壁江山」。個人覺得函數方程是代數裡很難提高的部分，不同題目的處理方法也不太有共通性。雖說本質上就是不斷代入。但也有 一些技巧，比如尋找函數方程的單調、單射滿射等性質；考察函數的值域，或者取函數的等於目標函數的點的集合，刻畫集合的性質以證明是全集：適當給出變元間的關係使得等號兩邊部分項相等而消去；把較複雜的複合函數帶入，結合之前的結論變形消元等等。
代數歷來是中國的傳統強項與國內競賽中的一大考察重點。不過相對而言，代數對基本功要求較高，通過訓練會有較大提高。
幾 何
幾何與其他方向不同，有多種本質不同的處理手段，最關鍵的是掌握多種手段解題——純幾何（包括幾何變換），三角，複數，重心坐標系，解析幾何。
這裡不討論比較「奇怪」的幾何題，比如幾何不等式或者立體幾何。當然主要原因是考得不多，我自己也沒有學過......
純幾何法，簡單來說就是幾何的傳統方法 一般標準答案一定會至少給出一個這樣的純幾何法，所以普適性最強。
關於純幾何，最權威的書或許是 《 近代歐氏幾何學 》。這本書裡記錄了很多很有趣的性質，但是對具體處理幾何題似乎幫助不大......不過有向角和有向線段的書寫在這本書裡有，可以練習一下；另外，這本書裡面講了很多關於反演的性質，如果你不熟悉反演變換，把這本書裡面的性質證一遍會熟悉很多。
反演是處理幾何題的常用手段，一般來說，在拿道題目之後都要檢測一下能不能通過反演大幅簡化問題。這是一個處理很多幾何問題的捷徑，必須要學會，也不算很難。
調和點列的性質很多，也有很多很「套路」的題目可以用調和和配極做。關於這個，我印象裡 《 中等數學 》 有一篇關於調和的文章講的比較詳細。
幾何的定理和構型要熟悉。比如偽內切圓，三角形五心的關係， Miquel 點，帕斯卡定理、笛沙格定理等等。很多幾何題是基於這些構型的，如果不熟悉的話非常吃虧。
純幾何大概能講的就這麼多，最後要記住：如果做不出來，請畫一個標準圖，找相似、共線、共圓．大智若愚，往往做不出題的原因是你對這個圖形的結構了解的還不夠深，只需猜到一些結論或許很快就能得到突破。
三角，是簡單幾何構圖中計算起來最快的方法，也是覆蓋面最廣的方法，所以聯賽幾何經常可以用三角做。三角法的技術含量其實不算很高，大概就是把角寫出來（這裡可能要用角元梅、賽），然後用正弦、餘弦定理表示邊，最後算出對應的性質。需要注意的是：和差化積、積化和差等三角變形公式必須非常熟悉。並且在處理具體問題的時候，一般來說乘比加的形式更漂亮，因為更容易消掉一些東西 ， 所以在表示邊的時候儘可能少用餘弦定理，餘弦定理一般是最後帶入算。
另外，三角法有時要配合同一法。有時候一個角看似不好求，實際上就是已有角的線性表示，帶入之後一下就做出來了。所以在三角法陷入僵局的時候可以考慮帶入特殊角。
複數法。複數法其實適用範圍並不廣泛，但是有的題目用複數會遠簡單 —— 複數是做幾何題的獨門兵器。複數法 一般來說只能適用於圓比較少的情況：因為給定 3 點求圓心坐標很困難。一般來說，原點取一個圓的圓心，並把這個圓取成單位圓，這樣可以認為圓上的點有zbar{z}=1。相似三角形用複數比較容易表示，但解兩條直線的交點比較困難。在計算的過程中，儘量把所有點都用單位圓上的複數表示，這樣取共扼只需要把裡面所有單位圓上的複數z分別換成1 / z 即可。
在用複數法解題之前要先判斷一下計算的複雜度。一般來說，表示起來複雜的點不能太多，否則計算量會指數級增加。
重心坐標系很難，但似乎也有其用武之地，有興趣的同學可以自己了解。
解析幾何法。這是一種很暴力的方法，適用範圍最差，計算量最大。幾乎沒見過有人可以用解析幾何做出 CMO 以上難度的題，就算有，用三角也可以比較快的做出來。當然，有的題目用曲線系等「高級」解析幾何方法可以迅速做出，可以參考單增 《 解析幾何的技巧 》。
處理一道幾何體，一般要先畫一個比較標準的圖，然後觀察是否有好的性質，估測各種計算法的複雜度，然後選擇一種方法做下去。特別要注意的是，在 CMO 與之後的考試中，如果點線之問的位置關係不確定。最好使用有向角與有向線段或者分情況討論（儘管一般是本質相同的）；特別的，在每個交點取出之前，一定要先詢問自己「是否有交點」，避免因為這樣的平凡情況被扣分。
中國國內的考試對幾何的要求不算高，並且很多幾何題可以用「算」的方法解出，所以高手做幾何題往往更偏重計算法。（有一定原因是中國選手代數基本功較好）計算法的優勢在於熟練之後所需時間比較穩定。不容易卡殼。不過， IMO 中較難的幾何題中有不少通過計算法很難解出，中國隊就普遍做的不好。所以更推薦大家在學習幾何的時候計算、純幾何方法都要熟練，運用「綜合法」解題，這樣才更容易穩定發揮。
數 論
數論題目主要分成 3 類：傳統型數論、估計型數論、結合型數論。
傳統類的數論主要用同餘，階與原根， Pell 方程，二次剩餘來處理。看潘承彪和潘承洞的 《 初等數論 》 的前面一部分章節，其實己經足夠了。稍高級的技巧，比如關於素數分布、連分數的結論，其實也可以學學，在有些題目裡會有幫助。
傳統類的數論中國人比較擅長。這一類的數論套路有限，多做一些題就可以了。另外，命題人講座裡的 《 初等數論 》 也不錯，題目難度適中。不過這一類題目出現的頻率與難度目前在逐漸下降。
LTE引理很有用，算是一個「黑科技」，一定要熟練掌握。關於n!裡素數的指數以及組合數裡的數論性質也要熟。
估計型數論是最近出現的比較新穎的題目，一般是對一些量算兩次 比如：Bertrand-Chebyshev定理和有關素數分布的結論的證明。估計方法在處理 square-free 的時候很好用，但很多估計類題目其實並不算明顯——很多題目使用估計的想法出其不意，要是沒有往這方面想，就很難做出了。同時需要記住一些關於素數的結論，比如素數倒數和發散等等。
結合型數論，其實近年考的也不少，主要是與組合或者代數結合。( IMO 2016 T3 連幾何都結合了起來，很有趣）
與代數結合的數論有整值數列，數論函數方程，整係數、整值多項式等。這一類題目有自己獨特的處理方法，要專門尋找並練習。
與組合結合的數論題不少。這一類題目實際是「披著數論皮的組合」，在處理中常使用用抽屜原理、構造法等方法來解決。中國剩餘定理往往在其中扮演了重要角色。
另外，還有一種整體思考類型的數論題目，最典型的題目是：「在 2n-1 個整數中總可以取出其中 n 個數，其和為 n 的倍數」 ( Erdos- Ginzburg - Ziv 定理）。第一次見到這種方法肯定會覺得不可思議，但這種方法其實是證明存在性的一種較常見的手段。
綜合型數論近年來在數論題目中出現的比例越來越高。事實上，跨分支出題是近年來的命題趨勢。所以要提升自己的知識的綜合運用能力。
組 合
組合，大概就是前面三個分支的補集吧。做過 IMO 預選題的同學都知道組合的厲害一組合是四個分支中平均難度最高的分支，方法紛繁複雜，不易分專題訓練：有人笑稱一些組合題是「小學奧數」，其實有一定道理 ——很多組合題並不需要很多前置知識，答案也只有寥寥數行，卻有很高的本質難度。所以組合題的訓練是四個分支中最困難的，做組合題很依賴大腦中的「靈光一現」。當然，也正因為做組合題的方法較多，如果嘗試某種方法久而未果，最好嘗試新的方法，很可能會有收穫。
關於組合，大概能想到的專題有圖論，集合，組合幾何，組合恆等式，母函數以及其他雜題。
圖論， Bondy ，和murty的 《 Graph Theory with Applications 》 是不錯的教材，這裡面己經有足夠應付競賽的性質和定理了：命題人裡的 《 圖論 》 也不錯。當然，只看這樣的書並不能熟悉真正的題目，強烈推薦大家找本俄羅斯數學奧林匹克（ RMO ）的書來，找到裡面所有的圖論題來做。
關於集合的問題出現的很多，但是方法其實與其他組合題差不多，有一些可以用圖論裡的方法。如 Hall 定理：另外一些題目可以用歸納法或者極端原理。集合裡也有一些值得注意的定理，比如 Sperner 定理，有很多不同的證明，最好都要了解（因為有很多題目可以用類似定理某種證明的方法做出） 。
組合幾何，命題人講座的那本還不錯，組合幾何類型也很多，包括棋盤問題和格點問題，主要還是需要做大量的題目來熟悉競賽題在考什麼。
組合恆等式其實更多的時候主要採用代數或者數論的方法解決，只有少數組合恆等式可以用「組合」來解決。推薦（研究教程 》 裡組合恆等式和母函數的章節。
母函數，有一本很不錯的講母函數的書，是 Graham ，Knuth，Patashnik 寫的 《 Concrete Mathematics 》 。其中講特殊數列，母函數和母函數的應用的部分非常詳細，但缺點是比較長。當然如果沒有這麼多時問，單蹲的 《 母函數 》 也不錯。
其他題就歸結為雜題了。雜題類型很多，沒有什麼固定的方法，只能多做題尋找其中的規律。
特別的，要提一下代數方法（比如線性代數法，組合零點定理等）以及概率方法。這些「新穎」的方法容易被忽視，但卻有其用武之地，有興趣的同學可以自己研究一下。( tips ：在 AOPS 上找 IMO 2012 T3 和 IMO 2014 T6 ，有驚喜）
關於組合題，強烈推薦 RMO 的題目。RMO 裡的組合題都非常好，不算很難，但是用到了很多方法。RMO 的題目一般偏重幾何和組合，代數和數論會相對簡單一些。除了 RMO ，莫斯科數學競賽，聖彼得堡數學競賽，全蘇奧林匹克競賽等競賽題目風格類似，也非常優秀。
總結與感謝
如果大家認真地看完了之前寫的一切，可能會有些迷茫，也可能有點暈。不過沒事，其中的很多東西可能暫時不會用到，可以之後再看。
由於筆者水平有限，文章的邏輯有些混亂。內容也只是「填鴨式」地把能想到的東西都寫了出來：但其中，每一行字都是筆者的經驗之談。很多簡短的話語中飽含了血的教訓！希望大家能儘可能地理解表達的意思，在競賽路上找到屬於自己的天空。
點擊下面閱讀原文，獲取密碼：zpxv