數獨背後的四個數學問題(組圖)

2020-12-05 搜狐網
 
　　數獨背後的四個數學問題 www.thebeijingnews.com · 2006-7-31 9:14:01 · 來源：新京報

　　數獨（Sudoku），一種起源於日本、流行於歐美的數字遊戲，雖然進入中國內地的時間不久，但已經佔據了很多媒體的遊戲版面，吸引越來越多的玩家投身數字的迷宮。不過數獨愛好者們可能不知道，這個小遊戲的雛形，卻是一個讓數學家傷透腦筋的問題。即使在今天，還有眾多研究人員為弄清楚數獨背後的規律而絞盡腦汁。
　　即使是天使也會為數學問題苦思冥想。德國名畫家丟勒的這幅木刻畫《憂鬱症》（Melencolia）描述的就是一個因為數學患上憂鬱症的天使。
　　讓畫中天使牽掛的就是牆上掛著的數字迷宮，橫向、縱向、對角線數字的和都是34，在最下面一行的中間兩格，畫家自娛地留下了創作年代1514.

　　1　歐拉與拉丁方

　　作為數學史上最傳奇、最多產的大師之一，瑞士數學家歐拉（LeonardEuler，1707—1783）在18世紀研究了一種有趣的數字方陣：考慮一個階數（亦即行數和列數）為n的方陣，在小格裡填入n種符號或數字，在每一行/列中，每一個符號出現且僅出現一次。這種方陣源自中世紀的格盤遊戲，其求解過程可歸結為「染色問題」———一個數學中最古老的問題之一。因為最初隨手填入方陣內的是一個個拉丁字母，歐拉將這樣的方陣命名為拉丁方（LatinSquare）。拉丁方在實驗設計、數據檢驗和幻方構造等領域應用極廣。

　　很容易發現，數獨其實正是一種特殊的拉丁方。惟一不同的是，數獨加上了兩個額外的條件：一、在每個小九宮格的區域內，每個數字同樣出現且只出現一次；二、給出的初始數字必須對稱。

　　2　終盤的可能性

　　通常將一個完成了的數獨題目稱為終盤。在數獨遊戲風行後，人們很快便希望知道這個遊戲究竟存在多少個終盤形式。對此，德國數學家BertramFelgenhauer在2005年給出了答案：數獨的最大可能終盤數為6，670，903，752，021，072，936，960種。

　　Felgenhauer的算式為9！×722×27×27，704，267，971，最後的數字是一個大質數。雖然這個天文數字已經足夠驚人，但考慮到作為一種特殊限制的拉丁方，數獨終盤的可能性只是可能存在的九階拉丁方數目的0.00012%！

　　另一個方面，考慮到數獨遊戲的初始數字對稱要求，以上結果可能有相當程度的重複，亦即其終盤結果會出現大量的雷同。據此，英國數學家FrazerJarvis和EdRussell給出了更準確的不同終盤數：5，472，730，538.這樣一來，有志於破解所有數獨題目的玩家又看到了希望的曙光，擔心遊戲被窮盡而沒有遊戲可玩的愛好者也不必焦慮：畢竟這個數目和地球人口一樣多。

　　3　最小初盤問題

　　與終盤相對應，一個數獨遊戲給出的初始條件稱為初盤。由於規則所限，給出的初盤數字個數必須在32以下。

　　一般常見的初盤數字個數在22—28之間，而數獨愛好者們常問的一個問題是：最少給出多少個數字，數獨遊戲才確保有惟一解？具體地說：最少需要在初盤中給出多少個數字，使得移除其中任何一個數字該數獨遊戲便沒有惟一解。

　　事實上，這個問題是數獨中最有數學趣味的問題之一，並且至今仍未得到解決。但數學家們估計，這個數字很可能是17.17個數字的最小惟一解初盤是由一名日本數獨愛好者發現的。澳大利亞數學家GordonRoyle已經收集了36628個17個數字的惟一解初盤，而愛爾蘭數學家GaryMcGuire則致力於尋找16個數字的惟一解初盤，但至今仍無發現。部分數學家開始退而求其次，轉而尋找只有兩個解的16個數字初盤。

　　統計學家根據一個統計學原理曾隨機地構造了大量17個數字的初盤，發現其中有惟一解的初盤只有數個未被GordonRoyle教授發現，這意味著，最小惟一解初盤問題的最終答案可能正是17：因為從理論上說，如果16個數字的惟一解終盤存在，那麼每一個必將引起65個17個數字惟一解終盤的增加，而在研究中至今沒有觀察到這一效應。

　　4　最大初盤問題

　　與最小初盤問題相反，人們還可以提出最大初盤問題。

　　也就是說：在一個數獨初盤中，最多能給出多少個數字，使得再增加一個數字該問題便只有惟一解。

　　相對於最小初盤問題，最大初盤問題容易解決得多。採用倒推法，在初始數字為80的情況下無需說明，缺啥補啥即可；在初始數字為79的初盤中也大約如此，因為考慮到必須滿足每一個小九宮格內每個數字出現且僅出現一次，這意味著所缺少的數字都必須出現在同一個九宮格內，考慮到這個情況，還可以依次推出78的初盤也有惟一解。但當初盤中給定數字變為77的時候，該數獨遊戲便會出現至少兩解。

　　數字遊戲

　　「數獨」可以被定義為一種邏輯智力拼圖遊戲，也可以被稱為「數字遊戲」。顧名思義，「數獨」可以理解為一組獨立的數字，將這組數字以一定的規則組合在一定區域內，便是數獨遊戲的主要內容。

　　具體地說，拼圖是大九宮格（即3格寬×3格高）的正方形狀，由9個小九宮格組成。遊戲的目標是在每一個小九宮格中，不重複地填上1至9的數字，讓整個大九宮格每一列、每一行的數字都不重複。一般而言，一條數獨題會給出1/3左右的數字作為初始條件，剩下的2/3空白處由讀者完成。

　　也許正是因為規則簡單，所以數獨才能迅速風靡世界。既然玩數獨遊戲無需數學運算或證明，似乎完全可以將其稱為「數字遊戲」。

　　傳播史

　　Nikoli是所有數獨愛好者需要感謝的第一個名字。

　　數獨遊戲在1979年前後已經在美國Dell雜誌上刊登，但在眾多填字遊戲中並未引起特別注意。直到1984年，日本的填字遊戲出版商Nikoli公司的煅治真起從美國發現了這個遊戲，決定引入日本並將其命名為Sudoku，意思是「每個數字只能出現一次」。

　　隨著Sudoku遊戲在日本國內大受歡迎，Nikoli公司在1986年對其進行了兩項改良：其一是題目中給出的初始數字限定在32個以內，其二是給出數字的分布採用對稱形式。這就是今天我們看到的數獨遊戲的面貌。

　　很難解釋為何在此後的十多年裡，數獨遊戲一直只在日本國內流行。但可以肯定的是，將數獨遊戲重新發現並推廣到國際市場的，是一名香港高等法院退休法官、紐西蘭人高樂德。他在1997年一次日本旅行中，在書店內發現數獨遊戲，立刻被其吸引住。此後高樂德花了六年時間開發數獨出題程序，並向英國《泰晤士報》等報社出售其編寫的數獨題目。英國市場反應極佳，數獨開始風行全球，而高樂德本人也因此獲得巨額收入。

　　經過兩年的迅速發展，數獨遊戲已經「侵入」了幾乎一切公共傳播領域：數以千計的報紙提供數獨遊戲，數十種數獨刊物，全球各地分別成立了數獨愛好者團體，電視上已經出現了數獨節目，而第一屆數獨世界錦標賽也在今年的3月舉行，捷克一名女會計師奪冠。

　　本版撰文/實習生張力

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