當談到複雜數學定理的證明時，很多人常常為之色變，認為這只是一個枯燥的公式堆砌和深奧的數學推導過程。這當然是一個讓筆者感到糾結的誤解。因為數學證明中包含的美麗與精巧實在是一道亮麗的風景線，而這種亮麗甚至不需要用語言來描述。所以我在這裡盤點了數學裡十大不需要語言的證明（proofs without words）。讓讀者在領略數學所包含的無與倫比的精巧之外，更從此愛上數學。
0. 勾股定理
這個大家小學就學過的古老定理，有著無數傳奇故事。我可以很隨意的寫出她的10個不同的證明方法。而路明思（Elisha Scott Loomis）在 《畢達哥拉斯命題》（ Pythagorean Proposition）提到這個定理的證明方式居然有367種之多，實在讓人驚訝。這裡給出一個不需要語言的證明方法。
實際上勾股定理是餘弦定理的一種特殊情況，而餘弦定理的證明，同樣可以不用語言。
1. 關於反正切的恆等式
關於反正切，有如下兩個很精彩的等式：
arctan1/2+arctan1/3=π/4acrtan1+arctan2+arctan3=π
它們的證明方法也同樣精彩
2. 幾何平均值小於算術平均值
這是不等式中最重要和基礎的等式：
它也可以通過圖形來證明。
注意到△ABC∽△DBA ,可以很輕鬆地得到AB=√ab。剩下的就顯而易見了。
3. 1+3+5+…+（2n-1）= n 2
這是奇數的求和公式，下圖是當n=8時的情形
4. 平方數的求和公式 5. 立方數的求和公式6. 斐波那契數列的恆等式
可謂家喻戶曉的斐波那契數列指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21 ……
這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和， F n+1 = F n + F n-1 。
它的通項公式是
有趣的是，這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。而且當n無窮大時 F n-1 / F n 越來越逼近黃金分割數0.618。正因為它的種種神奇性質，美國數學會甚至從1960年代起出版了《斐波納契數列》季刊。關於斐波那契數列，有一個恆等式是這樣的
這個等式很漂亮，不需要藉助複雜的數學推導，它有一個很直觀的證明方法
7. 結果為1/3的一組分子式
下面是一組分子式，他們的結果都等於1/3 ：
8. 最受數學家喜愛的無字證明
1989 年的《美國數學月刊》（American Mathematical Monthly）上有一個貌似非常困難的數學問題：下圖是由一個個小三角形組成的正六邊形棋盤，現在請你用右邊的三種（僅朝向不同的）菱形把整個棋盤全部擺滿（圖中只擺了其中一部分），證明當你擺滿整個棋盤後，你所使用的每種菱形數量一定相同。
《美國數學月刊》提供了一個非常帥的「證明」。把每種菱形塗上一種顏色，整個圖形瞬間有了立體感，看上去就成了一個個立方體在牆角堆疊起來的樣子。三種菱形分別是從左側、右側、上方觀察整個立體圖形能夠看到的面，它們的數目顯然應該相等。
它把一個純組合數學問題和立體空間圖形結合在了一起，實在讓人拍案叫絕。這個問題及其鬼斧神工般的「證明」流傳甚廣，深受數學家們的喜愛。死理性派曾經討論過 這個問題 。同時它還是死理性派logo的出處。
9. 棋盤上的數學證明
在一個8×8的西洋棋棋盤上，我們可以用32張多米諾骨牌（是兩個相連正方形的長方形牌）覆蓋整個棋盤上的64個方格。如果將對角線上的兩個方格切掉，剩下來的62個格子還能用31張骨牌覆蓋住嗎？
答案是不能的。每一張骨牌在棋盤上必是覆蓋住兩個相鄰方格，一白一黑。所以31張骨牌應該可以蓋住31個黑格和31個白格。而這被切了角的棋盤上的方格有32個是一種顏色，另一種顏色是30個，因此是不能被31張骨牌覆蓋的。
但是如果我們切掉的不是顏色相同的兩個呢？假如我們從棋盤的任何部位切掉兩個顏色不同的方格，那麼剩下來的62格是否一定能被31張骨牌完全蓋住？我可以告訴你這是一定能做到的,並且關於這個結論，存在一個非常漂亮的證明。建議讀者在繼續往下閱讀前，可以先自行思考如何證明這個結論。
上圖就是那個漂亮的證明。不妨對它再贅述兩句。粗黑線條將整個棋盤轉變為一條首尾相連、黑白格相間的封閉路線。從這棋盤上切掉任何兩個顏色不同的方格，會讓這個封閉線路變成兩段線路（如果切掉的方格是相連的，那就是一條線路）。在這兩段（或一段）線路中，兩種顏色的格子數量都是偶數，故分別都可以被若干張骨牌覆蓋。從而證明整個棋盤可以被31張骨牌完全覆蓋。
這個著名的棋盤問題是數學遊戲大師馬丁 加德納提出的，而上述精妙絕倫的證明則是數學家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的。它們後來被收錄在《意料之外的絞刑和其他數學娛樂》這本書裡。