Thurston:數學中的證明與進展

Thurston：數學中的證明與進展

作者| William P. Thurston

翻譯| 羅海軍

校對| 陳昱

來源| 數學譯林（2018 年第三期）

排版| 和樂數學

William P. Thurston

William P. Thurston(1946—2012)，美國數學家，1982 年 Fields 獎得主。本文譯自：Bulletin（New Series）of the AMS, Vol. 30（1994）, No.2, p. 161-177, On proof and progress in mathematics, William P. Thurston.

Jaffe（賈菲）和 Quinn（奎恩）題為「理論數學：走向數學與理論物理的文化綜合（Theoretical Mathematics: Toward a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics）」 的文章促使我寫下了這篇關於數學中的證明與進展的隨筆文章。他們在文中提出了數學家們應該關注的有趣的問題，但也延續了一些普遍持有的理念和看法，這些理念和看法仍然值得質疑和檢驗。

那篇文章（指的是 Jaffe 和 Quinn 的文章。——校注）有一段以一種不同於我的經歷的方式描述了我的一些工作，而且這種描述也不同於我要作為一種現實檢驗而與該領域的研究者有過討論的那些人們的觀察。

經過一番思考，我覺得 Jaffe 和 Quinn 所寫的可以作為某種現象的例子，這種現象就是人們往往只看到他們自身所關注的。他們對我工作不恰當的描述源於將數學社會學投射到一個忽略許多基本現象的一維尺度上（推斷與嚴格的對比）。

已經有許多數學家對 Jaffe 和 Quinn 的文章給出了反饋意見，但是我期盼它可以得到來自其他人的許多具體的分析和評論。因此，在本文中我將關注於積極而非消極的方面。我將描述我對數學進展的看法，並且僅僅在作對比的時候偶爾提及一下 Jafe 和 Quinn。

在試圖揭開層層假設時，儘量提出合適的問題作為開始是很重要的：

1

數學家們實現了什麼？

這個問題本身就存在許多問題，我儘量不以一種預示答案本質的方式來敘述。

比如，以「數學家怎麼證明定理？」這個問題作為開始，似乎並不是太好。這個問題引出了一個有趣的話題，但是為了開啟這個話題，需要給出兩個隱性假設：

（1）數學證明中存在一致的、客觀的、牢靠的理論和實踐，

（2）數學家所取得的進展是由定理的證明組成的。

檢驗這些假設是有必要的，而不是理所當然地接受它們然後從那裡進行下去。

這個問題甚至不是：數學家怎樣在數學中取得進展？相反，作為這個問題的一種更具體的（首位的）形式，我傾向於：數學家如何增進人類對數學的理解？

這個問題引出了一個基本的和普遍的事實：我們所做的就是尋找讓人們理解和思考數學的方式。

由於計算機與人是非常不同的，計算機的快速發展促使人們理解和思考數學的方式發生了戲劇性的變化。例如，當 Appel（阿佩爾）和 Haken（哈肯）使用了巨量的自動運算完成了四色定理的證明時，就引起了大量的爭論。在我看來，這些爭論幾乎不涉及到人們對定理的真實性或者證明的正確性的質疑。這反映出了人們除了渴望知道定理是正確的以外，也保持著一種尋求自身理解的證明的持續渴望。

在更日常的層面上，最常見的是人們用手來完成一些相對小規模的計算然後開始使用計算機來處理大規模的計算。他們可能會列印出前 10000 個質數的表格，結果卻發現他們輸出的列印並不是他們真正想要的東西。他們通過這種體驗發現，他們真正想要的通常不是一些「答案」的集合——他們想要的是理解。

說數學家們正在實現的是增進了人類對數學的理解，這聽起來幾乎是一種循環論證。我不打算通過討論數學是什麼來解決這個問題，因為它會把我們帶到很遠的地方。數學家們普遍認為他們知道什麼是數學，但卻發現很難給出一個好的直接的定義。嘗試一下是很有趣的。對我來說，形式化的模式理論是最接近的，但要討論這一理論本身就將是一篇完整的文章。

本質上來說很難給數學一個好的直接定義，這是否表明數學有一個基本的遞歸特性呢？沿著這些思路我們或許可以說數學是滿足下面幾點的最小的學科：

數學包括自然數、平面和立體幾何。

數學是數學家研究的東西。

數學家是那些增進人類對數學的理解的人。

換句話說，隨著數學的進步，我們把它融入到我們的思維中。隨著我們的思維變得越來越複雜，會產生新的數學概念和新的數學結構：數學主題的改變反映了我們是怎麼思考的。

如果我們正在做的是構建更好的思維方式，那麼心理和社會維度對於建立數學進展的良好模型來說是必不可少的。流行的模型中沒有考慮這些維度。以漫畫的方式來講，流行的模型認為：

D. 數學家們從一些基本的數學結構和一系列關於這些結構的公理開始，

T. 關於這些結構有很多重要的問題，它們可以作為正式的數學命題來表述，

P. 數學家的任務是尋找一條從公理到命題的演繹途徑，或者是否定這些命題。

我們或許可以把這稱為數學的「定義-定理-證明」（簡稱 DTP）模型。DTP 模型的一個明顯的缺點是它不能解釋問題的來源。Jaffe 和 Quinn 討論了一種重要的額外要素——推斷（他們不恰當地將其稱為「理論數學」）。推斷包括給出猜想，提出問題，作出明智的猜測以及給出關於什麼很可能是正確的啟發式的論斷。

Jaffe 和 Quinn 的 DSTP 模型仍然沒有解決一些基本問題。我們並沒有一味去追求一些抽象的定義、定理和證明的產生指標。衡量我們成功與否的標準是，我們所做的事情是否能讓人們更清楚、更有效地理解和思考數學。

因此，我們需要問自己：

2

人們是如何理解數學的？

這是一個很難回答的問題。理解是一件個人內心活動的事情，這很難充分意識到和難以理解，往往也難以交流。在這裡我們也只能略微地來解讀它。

人們對於特定數學概念的理解方式有著很大的差異。為了說明這一點，比如有經驗的數學家能從多方面來理解，但是我們看到我們的學生卻為了理解它在掙扎。函數的導數就很適合(作為一個具體的例子)。導數可以被認為是：

(1) 無窮小：函數值的無窮小變化與函數(自變量)的無窮小變化的比。

(2) 符號：

的導數是

，

的導數是

，

的導數是

，等。

(3) 邏輯：

若且唯若對於任意的

，存在

使得當

有

.

(4) 幾何：導數是函數圖像切線(假設切線存在)的斜率。

(5) 速率：

的瞬時速度，其中變量

表示時間。

(6) 近似：函數的導數是函數在某點附近的最佳線性逼近。

(7) 微觀：函數的導數是你將高階冪次項放在「顯微鏡」（這意味著將

在

處泰勒展開，

的高於二次（含二次）的冪次項取極限時為0）下得到的極限。

以上這些是一系列關於導數的不同方式的思考或者構思，而不是關於導數的不同的邏輯定義。除非為了保持人類原始洞察力的直覺去做出不懈努力，否則這些富有啟發的概念一旦被轉化為精確的、形式化的和明確的定義，那麼這些差異就會開始消失。

我記得我曾經把每一個概念都吸收到新的有趣的東西中去，然後花大量的時間和精力去消化和練習，並且和其他人來協調它。我還記得後來我回過頭再來審視這些不同的概念，又有了額外的理解和思考。

列舉還在繼續，沒有理由停下來。下面的示例條目可能有助於說明這一點。我們可以認為我們已經知道了關於將要討論的主題的一切，但轉角總會遇到新的洞見。此外， 一個人的聰明想像力是另外一個人的噩夢：

「37. 一個定義在區域

上的實值函數

的導數是餘切叢

的Lagrange (拉格朗日)部分，它給出了在平凡的實叢

上唯一的平坦聯絡形式，並且對於實叢

，

的圖像是平行的。」

這些差異不僅僅來源於一種好奇心。人類的思維和理解不能在單一的軌道上運行，就像一臺擁有 CPU (中央處理器)的計算機。我們的大腦和意識像是被組裝進了多種功能強大的設備中。這些設備看上去鬆散地在一起工作，但彼此之間卻有組織地進行著高效而非低效地傳遞。

以下是一些對數學思維非常重要的主要劃分：

(1)人類語言。

在語言的表達和理解方面，我們擁有著強大的，並且是獨一無二的語言系統，它也與閱讀和寫作有關。我們的語言系統是思考的重要工具，不僅僅用於溝通。一個淺顯的例子是二次求根公式，人們可以把它當作一個小的詠嘆調來記憶：「ex equals minus bee plus or minus the square root of bee squared minus four ay see all over two ay"（即

的根為「負

加或減去(

平方減

)的平方根再除以

」）。符號的數學語言與人類語言系統密切相關。大多數微積分學生都能記得的數學符號的片段只有一個動詞，「

」。這就是為什麼學生在需要動詞的時候會用到它。幾乎所有在美國教過微積分的人都知道，學生們會本能地寫出「

」之類的東西。

(2) 視覺，空間感，運動感覺(動覺)。

人們擁有非常強大的系統，可以在視覺上或情感上來獲取信息，並且保持空間感。另一方面，人們並沒有一個很好的內置的反向視覺系統，即把內部空間的理解轉化成一個二維的圖像。因此，通常出現在數學家們的論文和書中的圖像相比於出現在他們的頭腦中的要少得多。

空間思維中有一個有趣的現象是，尺度會產生很大的影響。我們可以想像我們手中的小物體，或者我們可以想像我們掃描的更大點的人類大小的結構，或者我們可以想像包含我們以及我們所處的正在移動的空間結構。我們傾向於認為在更大的尺度上會更有 效地思考空間意象：就好像我們的大腦重視更大一點的事物，並把更多的資源投入到它 們身上。

(3) 邏輯和演繹。

歸因推理以及把事物融匯在一起都是我們內置的方式，這些方式與我們怎樣進行邏輯演繹有關，這些內置的方式有：因果關係(與蘊含有關)、矛盾或者否定等。

數學家們顯然並不像他們所認為的那樣通常依賴於形式化的推理規則。相反，他們在頭腦中保留了一種合理的邏輯結構，把一些證明分成間接的結果，這樣他們就不必同時應付太多的邏輯推理。事實上，優秀的數學家甚至不知道限定詞的標準用法(對於所有 的(for all)以及存在(there exists))，但是所有的數學家都按照他們一致認可的推理方式來操作。

有趣的是，儘管「或者」,「和」以及「蘊含」有相同的正式用法，但是我們把「或」以及「和」作為連詞，把「蘊含」作為一個動詞。

(4) 直覺，聯想，隱喻。

人們有令人驚訝的可以感知到某些東西的系統，卻不知道這些東西來自哪裡(直覺)；對於感知到某些現象，或者情況，或者物體，就覺得像別的東西 (聯想)；然後建立聯繫和進行比較，並且同時記住這兩個東西(隱喻)這些感官系統對於數學來說很重要。就我個人而言，我花了很多精力去「傾聽」我的直覺和聯想，並將它們構建成隱喻和聯繫。這涉及到我的大腦需要同時具備寧靜和專注。語言、邏輯和具有細節的圖片都會抑制直覺和聯想。

(5) 刺激反應。

學校經常強調這一點；例如，如果你看到

，你就會把一個數字寫在另一個上面，然後在下面畫一條線，等等。這對數學研究也很重要：看到一個紐結的圖，我可以用類似於乘法運算法則的過程，寫下它的補集的基本群的表示。

過程和時間。

我們有一個用來思考過程或一系列行動的系統，這些行動通常有助於數學推理。一種考慮函數的方式是將它作為一種把定義域投射到值域的作用或者過程。這在複合函數時特別有用。這個系統的另一個功能是記住證明：人們經常將一個證明記作由幾個步驟組成的過程。在拓撲學中，同倫的概念通常被認為是一個需要時間的過程。從數學上講，時間與多加一個空間維度並沒有什麼不同，但由於人類與時間的互動方式截然不同，心理上的差異可就大不相同了。

3

數學理解是如何傳遞的？

從一個人的理解到另一個人的理解之間的轉換並不是自動的。這是困難和棘手的。因此，要分析人類對數學的理解，重要的是要考慮誰來理解，理解什麼以及什麼時候來理解。

數學家們已經養成了交流的習慣，而這種習慣往往並沒有發揮多大作用。研討會的組織者們到處勸誡演講者用基本的術語來解釋事物。儘管如此，大多數聽眾在一次普通的座談會上卻並沒有收穫太多東西。也許他們在最初的 5 分鐘內就迷失了，而在剩下的 55 分鐘裡靜靜地坐著。或者他們可能很快就會失去興趣，因為演講者在沒有說明任何研 究它們背景的情況下就投入到了技術細節裡面去。在演講的最後，少數幾個與演講者研 究領域接近的數學家會問一個或兩個問題來避免尷尬。

這種模式類似於課堂中經常發生的事情，在課堂上我們裝樣子講著我們認為學生應該知道的講義，而同時學生們卻在盡力應付學習我們的語言和猜測我們的心理活動這些更基本的問題。書籍通過提供了解決各種類型的家庭作業的例子，只用來作為補充。教授們通過比課程中涵蓋的材料容易得多的作業和測試來彌補，然後對家庭作業和測試進行評分，這當然只需要很少的理解。我們認為問題在於學生，而不是溝通：學生要麼不具 備基本所需，要麼就是漠不關心.

局外人對這種現象感到驚訝，但在數學界，我們對此不屑一顧。

大部分的困難與數學的語言和文化有關，它們被劃分成了各種分支學科。在一個分支學科中每天使用的基本概念通常對於另外一個分支學科來說是陌生的。即使是相近的分支學科，數學家們也不願意去理解這些基本概念，除非他們是研究生。

相比之下，在數學的學科分支裡，交流是很有效的。在一個分支學科中，人們發展出一套共同的知識和已知的技術。通過非正式的接觸與交流，人們學會理解和模仿對方的思考方式，這樣就可以清晰而輕鬆地解釋想法。

數學知識可以在一個分支學科中快速地傳遞。當一個重要的定理被證明時，經常（但不總是）發生的情況是，解決方案可以在很短的時間內從該分支學科中的一個人傳遞到另外一個人。同樣的證明通過與該分支學科的成員一個小時的交談就可以被傳遞和理解。這將是一個 15 或 20 頁紙的文章，可以在幾個小時或幾天內由該分支學科的成員所閱讀和理解。

為什麼非正式討論與文章研討會之間存在著如此大的反差？面對面的，人們使用廣泛的溝通渠道，遠遠超過形式化的數學語言。他們使用手勢，畫圖像和做圖表，以及製造聲音效果和使用肢體語言。交流更有可能是雙向的，這樣人們就可以集中精力在最需要 關注的事情上。通過這些溝通渠道，他們能夠更好地表達所發生的事情，不僅是在他們 的邏輯和語言系統上，而且在他們的其他智力系統中。

在研討會中，人們更拘謹，更正式。數學聽眾通常不太擅長問大多數人所想的問題，而演講者往往有一個不現實的預設大綱，防止當他們被問到問題時可以繞過它。

在文章中，人們還是比較正式的。作者把他們的想法轉化成符號和邏輯，而讀者再盡力翻譯回來。

為什麼在分支學科內和分支學科外的交流——更不用說與數學學科之外的交流會存在這樣的差異？

某種意義上講，數學有一種共同語言：一套集符號性的語言、技術性的定義、計算和邏輯於一體的語言。這種語言有效地表達了一些，但不是全部的數學思維模式。數學家們學會了將某些難以覺察的事物從一種思維模式轉換到另一種思維模式，這樣一些陳述很快就變得清晰起來。不同的數學家研究論文的方式各不相同，但當我閱讀熟悉領域中的數學論文時，我就會專注於那些字裡行間的想法。我可能會仔細閱讀幾段或幾串方程式，然後對自己說，「哦，是的，他們寫了太多的廢話來執行這樣的想法。」當想法清晰的時候，形式的調整通常是不必要和多餘的 —— 我經常覺得我自己可以寫得更簡單些，而不是去理解作者究竟寫了什麼。就像一個新的烤麵包機，附帶有 16 頁的說明書。如果你已經會用烤麵包機了，並且這個新的和你以前見過的類似，你就可以直接插上電，看它是否工作，而不是閱讀說明書的所有細節。

在某一分支學科有經驗的人可以將各種各樣的陳述或公式認作某些概念或心智圖像的慣用語或迂迴語。但是對於不熟悉接下來將要做什麼的人來說，同樣的模式不是很有啟發性，反而常常誤導他們。這種語言對於那些不使用的人來說可以認為是不存在的。

在這裡，我想做一個重要的說明：有一些數學家，他們對多個分支學科，有時甚至是相當多的分支學科中思考的方式很熟悉。一些數學家在研究生期間學習了幾個分支學科的專業術語，有些人在學習陌生的數學語言和文化方面非常快，有些人在數學中心可以接觸到許多分支學科。精通多個分支學科的人通常會有非常積極的影響力，他們充當橋梁，幫助不同的數學家相互學習。但是，熟悉多個學科的人也會有負面影響，通過威脅 他人來維護和保持整個系統普遍不佳的交流。例如，在學術研討會上經常出現這樣的現象，對於聽眾來說，一到兩名知識淵博的人坐在前排來充當演講者的精神嚮導。

我們對數學的思考方式和寫作方式之間的巨大差異造成了另一種影響。一群數學家之間的互動可以在一段時間內讓一系列數學思想保持鮮活，儘管他們的數學著作的記錄版本與他們的實際思維不同，前者更強調語言、符號、邏輯和形式主義。但是，當新一批的數學家學習這個學科的時候，他們往往會把他們讀到的和聽到的東西解釋得更確切些，以便更容易地記錄和傳遞這些形式化和機械化的東西，從而逐漸取代其他思維模式。

相較於前一段的影響，這兩個影響是積極的影響，所以數學並沒有完全陷入形式主義。首先，年輕一代的數學家不斷地發現並發表自己的見解，從而將人類思想的不同模式重新注入數學。

其次，數學家們有時會發明名詞術語，用統一的定義來代替技術上的累贅，並給出好的見解。像用「群」這樣的名稱來代替「一個置換系統滿足…」，用「流形」來替換「我們不能給出一個整體的坐標系統，同時使得方程的所有解都能夠參數化，但是在任何特定解的鄰域內我們都可以引入坐標

,

,

,

,

其中，10 個由偏導數組成的

矩陣的行列式中至少有一個不等於 0。」

這樣的名詞術語可能並不代表專家們見解上的進步，但它們極大地促進了見解的傳遞。

我們數學家需要付出更多的努力來交流數學想法。為了做到這一點，我們需要更多的關注交流，交流不僅限於我們的定義、定理和證明，還有我們的思維方式。我們需要認識到不同的思維方式對於同樣的數學結構的價值。

我們需要把更多的精力放在理解和解釋數學的基本框架上——因此，對於最近的研究成果，我們的精力就更少了。這就需要發展一種數學語言，它能有效地將想法傳達給那些還不了解的人。

這種交流的一部分是通過證明來實現的。

4

什麼是證明？

當我在伯克利大學讀研究生的時候，我很難想像我如何能「證明」一個新的有趣的數學定理。我那時並沒有真正理解什麼是證明。

通過參加研討會，閱讀論文以及和其他研究生交談，我逐漸開始理解。在任何學科中，都有一些基本的定理和技術是被大家所熟知，並且普遍接受的。當你在寫文章時，你往往不加證明地提及這些熟悉的內容。你在看這個學科領域的其他文章時，你會看到 他們不加證明地引用一些事實，他們把引用的列在參考文獻中以供查閱。你從別人那裡學到了一些證明的想法，然後你可以方便地引用相同的定理並且按照他們的引用，借鑑相同的內容。你沒有必要閱讀你參考文獻中的全部論文或書籍。有可能發生很多眾所周知的事情沒有已知的書面出處的情況。只要這個學科的人們對這個想法很滿意，就不一定非得要有正式書面材料的出處。

起初，我對這個過程非常懷疑，我懷疑是否真的建立了某種理論。但是我發現我可以問別人，他們可以提出解釋和證明，或者讓我向其他專業人士請教，又或者給我提供解釋和證明的書面材料。當然，也存在一些已經發表的定理通常被認為是錯誤的，或者它們的證明被認為是不完整的。數學知識和理解植根於思考某一特定主題的那個圈子的人們腦海中和社交關係網中。這種知識通過書面文件來呈現，但書面文件並不是最主要的。

我認為這種模式在不同的學科之間具有很大的差異。我對數學中的幾何領域很感興趣。在這個領域中，用文章來反映人們實際的思考方式，通常是非常困難的。在更代數化的或者符號化的領域中，則並不一定是如此。而且我有這樣的印象，在某些學科領域中，文章更接近於反映這個學科的本質。但是無論在何種學科中，都有一個關於有效性和真實性的嚴格的行業標準。Andrew Wiles（懷爾斯）關於 Fermat（費馬）大定理的證明就是一個很好的例子，這個領域更偏向於代數。基於專家們的高水平理解，在他的證明細節還沒有被核實之前，專家們很快就相信這個證明基本上是正確的。與大多數數學證明相比，這一證明將受到大量的審核和檢驗。但無論這個驗證的過程耗費多少精力，它都有利於說明數學是如何通過有機的心理和社會過程進行演化的。

當人們在做數學的時候，思想的流動，以及正確有效的社會規範比正式的文章要可靠得多。人們通常不善於檢查證明的形式正確性，但他們卻很善於發現證明的潛在漏洞或缺陷。

為了避免誤解，我想強調兩件我沒有說的事情。首先，我不主張削弱我們關於證明制定的行業標準；我正在試著描述這個過程是如何發揮作用的。細緻的證明經得起仔細的審查，對證明來說非常重要。我認為證明過程在數學界總體上發揮了很好的作用。我提倡的一種改變是，數學家們應該更關注於讓他們的證明變得清晰，儘可能簡單，這樣如果有任何弱點，就很容易被發現。其次，我不是在批評形式化證明的數學研究，我也不是在批評那些把精力投入到使數學論證更加明確和形式化的人。這些都是有利於在數學上產生新的見解的舉措。

在我的職業生涯中，我花了相當多的精力通過計算機來探索數學問題。鑑於這一經驗，當看到 Jaffe 和 Quinn 的陳述時，我感到很驚訝，他們說，數學是極其緩慢和艱巨的，而且可以說它是所有人類活動中最嚴謹的學科。但其實能夠保證電腦程式正常工作所必需的正確性和完整性的標準比數學行業內關於有效證明的標準要高出好幾個數量級。儘管如此，即使經過了非常仔細地編寫和測試，大型電腦程式似乎總是有缺陷的。

我認為數學是人類活動中最具智力的，令人滿意的學科之一。由於我們對清晰且令人信服的思維有著很高的標準，以及非常重視傾聽和理解對方的觀點，所以關於數學，我們 不會涉及無休止的爭論和無休止的重複。我們時刻準備接受別人的觀點。理智地講，數學的發展非常迅速。整個數學全貌在一個人的職業生涯中以驚人的方式不斷地發生著變化。

當人們考慮通過編寫電腦程式來反映一篇好的數學文章的知識範圍的難易程度時，以及需要耗費多少時間和精力來確保這一過程是幾乎正確的和有效的，斷言我們實踐過的數學幾乎是正確的，這本身就是很荒謬的。

我們所從事的數學相比於其他學科更加完善和精確，但是關於它的內容就遠沒有電腦程式完善和精確。區別不僅僅在於努力的程度：努力的性質也是不同的。在大型電腦程式中，大量的工作必須花費在各種兼容性問題上：確保所有的定義都是一致的，開發具備有效但不繁瑣的通用性質的「良好」的數據結構，決定函數的恰當的通用性等等。在一個大型程序的工作部分所花費的能源比例，與記帳部分不同，是驚人的小。由於兼容性問題幾乎不可避免地需要考慮升級，並且「正確」的定義隨著通用性和功能性的增加而改變，電腦程式往往需要重寫，甚至是從頭開始。

一種非常類似的努力則是必須注入數學使它至少在形式上更加正確和完善。這並不是說，形式上的正確性在小尺度上令人望而生畏，而是因為在小尺度上有許多可能的形式化的選擇，它們會轉化為大量的相互依賴的選擇。要使這些選擇相容是相當困難的；要做到這一點，肯定需要從頭開始重寫所有我們依賴的舊數學論文。對於形式化定義來說，很難找到一個好的技術選擇使得這些定義在數學家們想要使用它們的各種方法中是有效的，這將預示著數學未來的擴展方向。如果我們繼續追求協調，我們的大部分時間將用來與國際標準委員會一道建立統一的定義並解決巨大的爭議。

當數學家受到號召或者激勵時，他們能夠，並且確實可以填補空白，糾正錯誤，並提供更多的細節和更仔細的學識。我們的系統非常善於產生可靠的定理，可以得到可靠的備份。只是可靠性並不主要來自於數學家一本正經地去檢查形式化的論證；而是來自於數學家對於數學思想的認真並且嚴肅的思考。

在最基本的層面上，數學的基礎比我們所做的數學更不穩定。大多數數學家遵循的基本原則被認為是很虛幻的。例如，它是一個定理，即沒有任何方法來實際構造甚至定義一個有序的實數。有相當多的證據（但還沒證明）表明，我們可以在不被察覺的情況下僥倖繞開這些虛幻的基本原則，但這並不能證明他們是正確的。集合論學家構建了許多相互矛盾的「數學體系」，如果其中一個是相容的，其他的也一樣。這樣一來，你就很難相信這個或那個是合適的選擇，或自然的選擇。哥德爾的不完備性定理意味著不存在一個相容的系統，但它仍然強大，足以作為我們所從事的數學的一個基本準則。

與人類不同，計算機擅長於執行形式化程序。有人正在努力參與用真正形式上正確的形式化推理通過計算機把部分數學真正形式化的研究項目的研究工作。我認為這是一個非常大並且很有價值的項目，我相信我們會從中學到很多。這個過程將有助於簡化並闡明數學。在不久的將來，我期盼我們將會有交互式的電腦程式，可以幫助人們編寫大量形式上完整和正確的數學（基於一些可能不太可靠但至少是明確的假設），而且這些交互式電腦程式將成為一般數學家開展研究工作的有利條件。

然而，我們應當意識到，我們實際所做的讓人類可以理解的和可以檢查的證明對我們來說是最重要的，而這與形式化證明是完全不同的。就目前而言，形式化證明是遙不可及的，而且大多無關緊要：我們有一個檢驗數學有效性的良好的人為過程。

5

是什麼激發人們去從事數學研究？

在從事數學研究的過程中，通過學習一些思維方式來解釋，規劃和簡化某些事物，這是一種真正的樂趣。人們通過發現新的數學，或者重新發現老的數學，或者從一個人或一個文本中學習一種思維方式，又或者找到一種新的方法來解釋或看待一個古老的數學結構，這都可以感受到快樂。

這種內在的動機可能會讓我們認為，我們做數學僅僅是為了數學本身。這是不對的：社會環境非常重要。我們會從別人那裡得到啟發，會尋求他人的欣賞，也樂於幫助別人解決他們所遇到的數學問題。我們感興趣的事物隨著他人的反饋而改變。社會互動是通過面對面的交流產生的。它也通過書面和電子信函、預印本和期刊文章產生。這種高度社會化的數學體系的一種傾向就是數學家們短暫的狂熱。為了產生新的數學定理，這可能不是非常有效的：讓數學家們更均衡地考慮各知識領域似乎會更好。但大多數數學家都不喜歡孤獨，即使他們自己取得了進步，他們也很難對一個課題保持興奮，除非他們有同事分享他們的喜悅與興奮。

除了我們的內在動機和我們從事數學的非正式社會動機外，我們還受到經濟因素和社會地位的驅使。數學家和其他學科學者一樣，需要給出以及受到很多評價。從成績開始，然後是推薦信、招聘決議、晉升決議、評審報告、邀請報告、獎勵…在競爭激烈的體系中，我們參與了許多評級活動。

Jaffe 和 Quin 利用在許多數學家中流行的觀點來分析從事數學的動機：定理的功勞。

我認為，我們對定理功勞的過度強調，會對數學的進展產生負面影響。如果我們所做的是增進人類對數學的理解，那麼我們就能更好地認識和評估更加廣泛的行為。人們在審視定理的證明方式的時候，是站在整個數學圈的背景下進行的；而不是從他們自身出發來看待。一旦一個定理被證明，數學圈就通過社交網絡將定理的思想傳遞給那些可能會進一步應用這些思想的人們那裡——在此過程中，影印媒介就顯得太複雜，太累贅了。

即使有人以狹隘的觀點認為我們所做的就是定理，那團隊也很重要。足球可以用來作為一個比喻。在一場足球比賽中，可能只有一到兩個進球，由一到兩個人踢進。但這並不意味著其他所有人的努力都白費了。我們不會僅僅通過他們個人是否取得進球來評判一個足球隊的球員；我們根據是他在團隊中發揮的作用來評判這個隊員。

數學中經常發生這樣的情形，一群數學家用某些想法推動數學前進。在這些前進的方向上有一些定理幾乎不可避免地會被一個人或另一個人證明。有時候，數學家們甚至可以預測出這些定理可能是什麼。然而要預測誰將真正證明這個定理則要困難得多，儘管通常有一些「高手」更受青睞。然而，由於團隊的共同努力，他們可以證明這些定理。團隊有一個更進一步的作用，一旦定理被證明了，就會吸收和使用它們。即使一個人能夠獨自證明這個方向上的所有定理，如果沒有其他人去了解它們，它們也會被浪費掉。

關於這些「高手」有一種有趣的現象。經常發生的情況是，在一幫人中的某些人證明了一個被普遍認為重要的定理。那麼他們在圈內的地位—— 他們的權勢 —— 會迅速而顯著地上升。當這種情況發生時，他們通常會變得更加多產，成為思想的中心和定理的來源。為什麼？首先，自尊心有了很大的提升，隨之而來的是生產力的提高。其次，當他們的地位上升時，他們更多地處於思想交流網的中心，而其他人則更重視他們。最後，或許最重要的是，數學上的突破通常代表一種新的思維方式，而有效的思維方式通常可以應用於很多方面。

這一現象讓我相信，如果我們開拓視野，挖掘我們所做的事情中的真正價值，那整個數學圈將會變得更加高效。Jaffe 和 Quinn 提出了一套角色可識別系統，並將角色分為 「猜測」和「證明」。這樣的劃分只會延續這樣一個錯誤觀念：數學的進步是靠一系列標準 定理的演繹來衡量的。這有些荒謬，就像是一個人可以寫出前 10000 個素數一樣。我們所要創造的其實是理解。我們要有許多不同的解讀方式，以及能夠幫助我們解讀的許多不同的過程。如果我們意識到，並且專注於此，我們將會更滿足，更高效，也會更幸福。

6

一些個人的經驗體會

由於我寫這篇文章的緣由是 Jaffe 和 Quinn 的描述與我的個人經驗不相符，所以我將討論我的兩個個人經驗，包括他們提到過的一個。

對此我感到有些汗顏，因為我確實對我的職業生涯的一些方面感到遺憾：我如果當時就擁有了現在對於自己的認識和對於數學過程的洞見，再來做一些事情，那將會有很大的不同。我希望把我記憶中的和我所理解的經驗坦誠地描述出來，這樣能夠幫助他人更好地領會，並能夠提前有所領悟。

首先，我將簡要討論下葉狀結構理論，這是我的第一個課題，從我讀研究生開始。（這裡你是否知道什麼是葉狀結構並不重要。）

在那個時候，葉狀結構已經成為幾何拓撲、動力系統和微分幾何的一個重要的中心。我很快證明了一些令人驚訝的定理。我證明了關於葉狀結構的分類定理，並且對於含有一個葉狀結構的流形給出了一個充要條件。我證明了一些其他的重要定理。我寫了讓人欽佩的文章，發表了被認為是最重要的定理。用於寫證明的時間很難趕得上我可以證明的定理，因而我就有了一些積壓的內容而沒有寫出來。

一個有趣的現象出現了。就在幾年的時間裡，該領域的研究者竟然戲劇性地開始撤離這個領域，我從許多數學家那裡都聽到，他們要麼是建議別人，要麼是得到別人的勸諫：不要再進入葉狀結構的這個研究領域--Thurston 正在"清理"這個領域。人們告訴我（不是抱怨，而是恭維），我正在扼殺這個領域。研究生們停止了對葉狀結構的研究，很快，我也轉向了其他方面的興趣愛好。

我不認為撤離發生的原因是該領域已經枯竭了，許多有趣的問題一直（現在仍然是）存在，而且是有可能做出來的。自從那些年以來，留在這個領域或進入該領域的少數人取得了一些有意思的進展，而且我認為一些發展很快的鄰近學科中的重要進展，使得數學家們可以繼續積極地來探索葉狀結構理論。

今天，幾乎沒有幾個數學家能夠理解葉狀結構的藝術精髓，而在它富有活力的那個時期，卻不是這樣。儘管如此，葉狀結構理論的某些方向，包括從它火熱的時期延續過來 的一些進展，也仍然在蓬勃成長著。

在我看來，對於抑制這個理論發展的兩個生態學因素比出現任何智力資源的枯竭更加重要。

首先，我所證明的結果（以及其他人的一些重要結果）都以一種傳統的、令人生畏的數學家的風格方式來記錄。他們很大程度上依賴於有一定背景和見解的讀者。葉狀結構理論是一門年輕的，有活力的分支學科，並不需要專門的背景。我毫不猶豫地利用我從別人那裡學到的數學知識。我寫的論文沒有（也不能）花很多時間來解釋背景文化。他們記錄了我在經過認真思考和努力之後，得到的高層次的論述和結論。我還拋出了一些珍貴的見解，比如「Godbillon-Vey 不變量測量葉面的螺旋擺動」，這對大多數讀過它們的數學家來說仍然是神秘的。這就產生了一個很高的門檻：我認為許多研究生和數學家對於學習和理解核心定理的證明這個過程所產生的困難感到灰心。

其次是這個分支學科其他人所關注的問題。當我開始研究葉狀結構的時候，我那時的想法是人們想要的只不過是知道答案。我曾認為他們所尋求的無非是被證明了的，並且是強有力的定理，這些定理可以被用來回答更進一步的數學問題。但這只是事情的一部分。人們其實想擁有的是自己獨特的理解，而不僅僅是擁有知識本身。並且在我們以功利為先的系統裡，他們也想要並且需要定理所帶來的功利。

我將跳過幾年，直接到 Jaffe 和 Quinn 提到的主題，那時我開始研究三維流形和它們與雙曲幾何的關係。（再說一次，對於是否了解這具體是什麼東西無關緊要。）我逐漸積累了多年來對雙曲三維流形的某種直覺，並掌握了一整套構造、實例和證明。（這個過程實際上是在我還是大學生的時候就開始的，並且通過應用到葉狀結構的過程中受到強烈的鼓舞。）一段時間後，我猜測或推測所有三維流形都具有某種幾何結構；這個猜想最終 被稱為幾何化猜想。大約兩三年後，我證明了對於 Haken 流形的幾何化定理。這是一個很難的定理，我花了大量的精力去思考它。當我完成了證明，我花了更多的精力檢查證明，尋找難點和用相互獨立的信息來驗證它。

當我說我證明了這個定理的時候，我想多說幾句來解釋這意味著什麼。這意味著我有一個清晰而完整的想法，包括細節，這些都經受住了我自己和其他人大量的檢查。數學家有許多不同的思考風格。我的風格不是泛泛而談，這僅僅是暗示或啟發：我在頭腦中建立了很清晰的模型，並且全盤思考整個事情過程。我的證明事實上是相當可靠的。我並沒有為我已經證明的事情來補充論述和細節這樣的麻煩。我善於發現自己推理中的缺陷，也善於發現他人推理中的缺陷。

然而有時候，將我自己的想法轉述給其他人，這過程中有些事情會出現很大的偏差。我的數學教育是相當獨立和特殊的，多年來我自學了一些東西，發展了個人心智模型來思考數學。這對我思考數學來說是一個很大的優勢，因為對我來說，之後很容易學到其他數學家所分享的標準心智模型。這意味著在我個人看來是自然而然，經常使用的一些概念，對於我要面對的大多數數學家來說都是陌生的。我個人的心智模型和結構在特點上與其他數學家所具有的模型相似，但它們通常是不同的模型。在幾何化猜想形成的過程中，我對雙曲幾何的理解是一個很好的例子。一個隨機的連續的例子是對有限拓撲空間的理解，一個古怪的話題卻可以很好地洞察各種各樣的問題，但在任何情況下這都不值得發展，因為存在一些標準的、迂迴的說法可以避免這樣的事情發生。

無論是幾何化的猜想還是關於 Haken 流形的幾何化猜想證明在那個時候都沒有任何數學家研究過——它在過去的 30 年裡與拓撲學的趨勢背道而馳，它讓人們感到驚訝。對於當時的大多數拓撲學家來說，雙曲幾何是數學的一個神秘的分支，儘管還有其他一些數學家，比如微分幾何學家，他們確實從某些角度理解過它。拓撲學家花了一段時間才明白了幾何化猜想是什麼，它用來做什麼，以及它為什麼是意義的。

與此同時，我開始寫有關三維流形的幾何與拓撲的筆記，與我所教的研究生課程相結合。我把它們發給了一些人，不久之後，世界各地的許多人都在寫複製本。郵寄名單增加到大約 1200 人，每隔幾個月我就會給他們郵寄筆記過去。我儘量在這些筆記中表達我真實的想法。人們根據我的筆記舉辦了很多研討會，並且我也得到了很多反饋。絕大多數的反饋都是這樣的：「你的筆記真的很有啟發性，很優美，但是我必須告訴你，我們花了 3 個星期的時間來研究n.n節的細節，這裡如果有更多的解釋肯定會有所幫助。」

我也向一些數學家介紹了從幾何學的角度研究三維流形的想法，以及關於 Haken 流形的幾何化猜想的證明。一開始，幾乎所有人都對這個話題感興趣。但這是很難溝通的—— 因為基本框架在我的頭腦中，而不是在數學團體中。在這一系列的想法中涉及幾個方面的數學理論：三維拓撲流形，Klein（克萊因）群，動力系統，幾何拓撲，Lie（李）群的離散子群，葉狀結構，Teichmuller（泰希米勒）空間，偽 Anosov（阿諾索夫）微分同胚，幾何群論，以及雙曲幾何。

1980 年，我們在 Bowdoin 學院舉辦了一個 AMS 暑期研討班，許多低維拓撲，動力系統以及 Klein 群領域內的數學家都來了。

文化交流是一種有趣的體驗。很明顯，對於證明理解的程度取決於聽眾。我們在社會背景下證明事物，並向特定的聽眾發表演說。對於有些證明我可以用兩分鐘的時間就傳遞給拓撲專家，但對分析學家需要一個小時的講座才能開始理解。類似地，有些事情可以在兩分鐘內向分析學家說清楚，而讓拓撲學家明白需要一個小時的時間。還有很多其他的證明從理論上講只需要花兩分鐘的時間就可以理解，但沒有一個聽眾能在不到一個小時的時間內就明白它們的內在結構。

當時，對於這個定理幾乎沒有實際的模型和實際的背景，因此對於從我頭腦中的一個關鍵想法到我不得不表述出來，更不要提聽眾得花費多少精力去理解它，這過程之間的差異是非常巨大的。

鑑於我關於葉狀結構理論的經驗以及對社會壓力的回應，我把大部分注意力集中在發展和呈現我所寫的以及我和人們討論的一些事物的基本架構上。我向少數幾個了解葉狀結構理論的人解釋了細節。我寫了一些論文來給出關於 Haken 流形的幾何化定理證明的實質部分——對於這些論文，我幾乎沒有得到任何反饋。同樣地，很少有人能夠在短時間內，理解我筆記中更困難、更深刻的部分。

導致的結果就是，現在相當多的數學家在一開始就戲劇化地缺少對一些概念和結構的深刻理解，而這些基本的概念和架構對這個領域來說又是非常自然和基本的。一直以來都有大量的數學活動蓬勃發展。通過集中精力構建基本結構，解釋、發表定義和思考方式，但在陳述或發表我知道如何證明的所有「定理」的證明時，節奏緩慢，這其實給許 多其他人留下了獲取功績的空間。對於人們來說還存在很大的空間去發現或者發表幾何 化定理的其他證明。這些證明有助於發展數學概念，這些概念本身就是非常有趣的，並 將導致數學進一步發展。

在我看來，數學家最想要的和最需要的是學習我的思考方式，而不是去學習我關於 Haken 流形的幾何化猜想的證明。一般形式的幾何化猜想的證明不太可能通過同樣的證 明繼續推進來實現。

另一個問題是，人們有時需要或想要一個被接受和被驗證的結果，而不是為了學習它，這樣他們就可以引用它並依賴它。

基於他們自身的經驗和對我的信任，以及基於那些我花了很多時間來交流證明過程的專家那裡的意見，數學家們實際上很快就接受了我的證明，並開始引用它。通過我和其他人發表的文章，這個定理現在已經形成詳實的文件，所以大多數人都覺得引用它是安全的；這個領域還沒有人質疑它的有效性，或者向我表達某些細節是無效的。

並非所有的證明都在我們為數學所構建的邏輯框架中扮演著相同的角色。這個特別的證明可能暫時具有邏輯價值，儘管它具有很強的動機用來支持對三維流形結構的某種觀察。完整的幾何化猜想仍是一個猜想。它在很多情況下已經被證明，並且得到了大量的計算機方面的證據的支持，但是它還沒有從一般性上予以證明。我相信一般性的證明將被發現：我希望再過幾年。到那時，特殊情況的證明很可能會過時。

與此同時，想要使用幾何技術的人們最好先「假設

是一個具有幾何分解的流形」, 因為這相比「假設

是一個 Haken 流形」更具一般性。那些不想使用這項技術的人或者懷疑它的人可以避免使用它。即使關於 Haken 流形的定理可以用幾何方法證明，但是尋找到一種純拓撲方法來證明它也是很有意義的.

在這過程中（它還在繼續）我認為我已經設法避免兩個可能最嚴重的後果：要麼我不透露我已經發現的和證明的，只讓自己知道（也許保留著證明 Poincare（龐加萊）猜想的希望，或者我呈現一個不可攻破，很難學習的理論，這個理論沒有人能夠讓它豐富和發展。

我可以很容易地說出我職業生涯中的遺憾。我沒有儘可能多地發表文章。除了對於 Haken 流形的幾何化定理之外，還有許多數學課題我並沒有很好地或者根本沒有向數學大眾傳達出來。當我把更多的精力放在基礎架構的發展上，而不是在三維流形的幾何理論的頂層設計時，隨著這個學科繼續發展我就有點脫離了。我並沒有積極或有效地促進這個領域或這個領域內優秀人才的職業生涯發展。（但是某種程度上的脫離似乎對我來說是指導研究生和其他人幾乎不可避免的結果：為了真正把純粹的研究方向傳遞給他人，我們必須釋然並且不要讓他人認為這些研究方向很難。）

另一方面，在許多不同的活動中，我一直都很忙並富有成效。我們的系統不會為像我 這樣的人創造額外的時間用於寫作和研究；相反，許多請求和申請把我們額外工作的時 間給佔用了，我的直覺反應是對許多請求和申請說「同意」。我已經把很多精力投入到那 些不會產生「功績「的活動，但這些活動我認為和證明定理一樣有價值：數學政治學、修訂我的筆記成一本更方便交流的書籍、探索計算機在數學中的應用、數學教育、通過幾何中心發展新的數學交流形式（如我們的第一個實驗中，「Not, Knot」視頻）、指導 MSRI 等等。

我認為我所做的並沒有將我的「功績」最大化。我一直都認為沒有太多必要去爭取更 多的「功績」。事實上，包括證明新的定理在內，我開始感到來自其他事情的挑戰正在變 得越來越大。

我確實認為我的行為在促進數學方面做得很好。

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