要證明一個數學猜想困難無比，推翻一個數學猜想卻只需一個反例！
數學史上有很多著名的猜想，歷經了幾十年甚至幾百年，無數數學家的努力才將之證明出來，或者推翻．到目前為止，還有一些猜想沒有證明出來了，例如黎曼猜想，哥德巴赫猜想等．今天我們看看那些表面成立，最後卻被推翻的猜想．
平行線第五公設的證明
歐幾裡德幾何也就是我們大多數人所學的平面幾何，平面幾何的整個基石就是那五條公設，也就是我們數學中的公理，也即不用證明公認的定理．
數學家們對前四條公設是認可的，但一直對第五條公設有懷疑．針對第五條公設，數學家們經歷了長期的探索，發展出了非歐幾何，也就是現在所講的雙曲幾何（羅巴切夫斯基幾何）和橢圓幾何（黎曼幾何）．不得不講，錯誤的猜想也是有其巨大意義的，
費馬數猜想
這個猜想是針對素數規律的一個猜想，當n為正整數時，以下這個代數式所求的數是素數．
當你將1、2、3、4等代入時，都可以驗證為素數．於是猜想它就是素數的表達式，可能是由於將５代入時數據太大的原因．確實，５代入後還真的不是素數，這樣這個猜想也就被推翻了．
西塔潘猜想
西塔潘猜想是由英國數理邏輯學家於上個世紀90年代提出的一個反推數學領域關於拉姆齊二染色定理證明強度的猜想。在組合數學上，拉姆齊（Ramsey）定理是要解決以下的問題：要找這樣一個最小的數n，使得n個人中必定有k個人相識或l個人互不相識。
2011年5月，由北京大學、南京大學和浙江師範大學聯合舉辦的邏輯學術會議在浙江師範大學舉行，中南大學數學科學與計算技術學院酷愛數理邏輯的劉嘉憶的報告給這一懸而未決的公開問題一個否定式的回答，徹底解決了西塔潘的猜想，證明了R(3,3)=6。也稱為拉姆齊二染色定理。
當然，還有一些著名的猜想被推翻的或者無法證明的．雖然被推翻，但它們在數學上的意義卻是重大的．要麼是另一個數學分支的產生，或者對其他數學分支發展產生重大作用．
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