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來源：wired
編譯：Canary、Andy
最近，兩名數學家解決了一個關於整數相加性質最著名猜想中的第一部分。該猜想由匈牙利傳奇數學家Paul Erds於60多年前提出，一個無限整數序列在何時一定會包含至少有三個等差數的模式，如26、29和32。
Erds在他一生中提出過數以千計的問題，但哪個數列包含等間距數（數學家稱其為算術級數/等差數列）一直以來是他最喜歡的問題之一。「我想許多人都認為這是Erds提出的頭號難題。」劍橋大學曾在1998年獲菲爾茲獎（數學界諾貝爾獎）的Timothy Gowers說，他也花了很多時間去嘗試解決該問題。他說：「幾乎任何有點想法的加法結合論者都曾嘗試解決過它。」他同時指出了該猜想所屬的數學分支。
通常，密集數列比稀疏數列包含等差數列的可能性更高，因此Erds提出一個簡單的密度測試：把列表中數字的倒數相加即可。如果數字夠多，使得相加和無窮大，那麼Erds就猜想數列中會包含無限多個有限長度的等差數列——三元，四元或更多。
近來，一篇7月7日發布在網上論文中，劍橋大學的Thomas Bloom和斯德哥爾摩大學的Olof Sisask已在5、7和9這樣等距三元組上證明了這該猜想。他們證明，每當一個數列的倒數和為無窮大時，它一定包含無限個等差三元組。
劍橋大學的Thomas Bloom，照片由本人提供。
加州理工學院的Nets Katz說：「這個結果可以說是多年來的一個裡程碑，是該領域的一件大事。」
其中一個倒數和為無窮大的集合就是質數（只被1和自己整除的數）集合。20世紀30年代，Johannes van der Corput用質數的特殊結構證明了它們確實包含無限個等差的三元組（如17,23和29）。
但Bloom和Sisask的新發現意味著，即使不用深入了解質數的特殊結構都能證明它們包含無限個三元組。你只用知道質數非常多，並且足以使其倒數和無窮大就行——而這是數學家們幾個世紀前就知道的事實。
牛津大學的Tom Sanders在郵件中寫道：「Thomas和Olof的結果告訴我們，即使質數結構與實際的完全不同，但只要有儘量多的質數，那就能確保等差數列的無限性。」
這篇新論文有77頁，數學家們需要花時間仔細審閱。但大多數人樂觀認為該證明是正確的。Katz說：「它看起來確實是正確證明該有的樣子。」Katz的一些早期工作為這一新結果奠定了很重要的前提基礎。
Bloom 和Sisask的定理表明，只要數列足夠密集，就一定會出現特定模式。這一發現遵循了牛津大學Sarah Peluse所稱的數學基本口號（最早由Theodore Motzkin提出）：「完全無序是不可能的。」
變相密度
如果讓數列足夠稀疏，就能輕鬆創建一個沒有等差數列的無限列表。例如，序列1、10、100、1,000、10,000、……（它們的倒數和為有限小數1.11111……）。這些數字極度稀疏分散，你永遠找不到三個等距的數字。
接著，你可能會想，是否有相當密集而沒有等差數列的數集。例如，你可以沿著數字走，保留所有沒達成等差數列的數字。這將組成序列1，2，4，5，10，11，13，14，……，這時你會發現序列雖然一開始看起來非常密集。但一旦到更大數時，它就會變得越來越稀疏——比如說，當達到20位數時，所有數中只有0.000009%的數會在列表中。1946年，Felix Behrend提出了更密集的例子，但即使是這樣的示例，也會很快變得稀疏，多達20位的Behrend集所含數字只有約為所有數的0.001%。
而另一方面，如果集合包含幾乎所有整數，那它肯定會包含等差數列。而在這兩個極端間，有一個巨大的、目前基本上是未知的中間地帶。數學家們想知道，在確保集合中仍有等差數列情況下，到底能讓集合稀疏到什麼程度？
斯德哥爾摩大學的Olof Sisask，照片由本人提供。
Erds（據傳可能是和匈牙利數學家Pál Turán合作）提供了一個可能答案。他關於倒數和的條件其實算是種變相關於密度的描述：事實證明，最大到數字N的列表密度至少大約比N的位數大1。換句話說，沿著數字增長，列表可以變得越來越稀疏，但這樣會增長非常慢：5位數時，列表的密度至少約為1/5；20位數字時，列表密度至少約為1/20；以此類推。Erds猜想，假設滿足這個密度條件，列表應該包含無限多個各種長度的等差數列。
1953年，Klaus Roth開始了證明Erds猜想的道路。在助他五年後獲得費爾茲獎的工作中，他創建了一個密度函數能保證間距相等的三元組，而密度不像Erd提出的那樣低，但沿著數字增加時，密度也會趨近零。Roth的定理意味著，一個數列的密度最終會降到1%以下，然後到0.1%以下，接著0.01%以下等等，只要下滑到這些閾值以下的速度足夠慢，這樣的數列肯定包含等差數列。
Roth的方法基於這樣一個事實，即大多符合他所選密度的列表都「想要」等差數列。它們有足夠多的數字對，這些對的中點有一些也幾乎肯定在這個列表裡，從而就創建了等差三元組。棘手部分在於如何從「大多」數列到「全部」數列，即便是那些結構特殊以避免等差數列的列表也不例外。
如果給出一個這樣高度結構化的列表，Roth會用傅立葉變換，通過映射其「頻譜」來提煉結構。這樣就能檢測出什麼樣的重複模式表現最強烈——這和X射線結晶學和無線電光譜學等技術背後的數學原理是一樣的。
有些頻率會比其他的表現得更強烈，這讓該模式變得突出，例如，一個強頻率或許表明列表中包含奇數多於偶數。如果是這樣，你可以只關注奇數，並得到一個比剛開始的集合（相對於所有數字）更密集的集合（相對於所有奇數）。Roth證明，經過有限次的類似精煉後，就能獲得一個非常密集而有等差數列的集合。
史丹福大學的Jacob Fox說，Roth的方法在過去半個世紀推動了分析數論的許多發展，「而且都是非常有影響力的發展。」
遊戲，神奇形色牌，配對
Roth的論點僅適用於開始時密度很大的集合，否則反覆精煉會讓集合消失。其他數學家逐漸找到能從Roth方法裡榨取更多價值的方法，但還是無法完全降低到Erds猜想的密度。Fox說：「這看起來是一個很難克服的障礙。」
接著在2011年，Katz和Michael Bateman想出了如何在一個更簡單的設定中克服這一障礙：利用紙牌遊戲《神奇形色牌（Set）》，這個遊戲需要搜索匹配三元組的卡片。這裡可以將匹配三元組視作等差數列，就像整數列一樣，你要思考要放下多少卡才能確保找到至少一個三元組。
這個問題（不僅是神奇形色牌的標準版本，還有牌更多的更大版本）是關於整數對應問題的天然玩具模型。因此，數學家們希望Bateman和Katz的突破能為Erds猜想的證明提供一條途徑，尤其是與其它最新進展相結合。Bateman和Katz的論文發表後不久，Gowers召集了一個博學者項目（Polymath project，即大規模的在線協作）來嘗試進行結合。
但這個項目很快就停止了。「裡面涉及的技術爭議太高了。」Gowers說：「這更像是一個適合一兩個人長期苦幹的項目。」
幸運的是，剛好當時就有兩位數學家正準備這樣做。Bloom 和 Sisask當時已經開始思考Erds猜想問題了，一開始是各自思考，兩人都著迷於其所涉及技術之美。「這是我最先想到的研究問題之一。」 Sisask說，他和Bloom一樣，現在35歲左右。
Bloom和 Sisask於2014年合作，到2016年，他們認為已經找到了解決方案。Bloom甚至在一次演講中宣布了結果，但後來才意識到其中一些捷徑方法是站不住腳的。兩人之後繼續研究，深入到Bateman和 Katz方法的內部原理，最終弄清楚了什麼樣的新辦法能讓他們將這一結果從神奇形色牌遊戲轉移到現實整數。
這篇新論文似乎所有內容都是正確的。Katz說：「我不相信他們之前的一些聲明，但這一次我相信。」
Fox 說，Bloom 和Sisask的工作是「一項偉大的成就」。他和其他數學家渴望探索這篇新論文的技術是否會應用到其他問題上。「我認為這方法確實會有最大影響。」他接著說。
但對於完整的Erds猜想，還遠遠沒有證明完畢。Bloom和 Sisask只證明了等差三元組的猜想，而不是更長等差數列的猜想，後者目前似乎還無法完成。
而且即便對於這個Bloom 和 Sisask已解決的三元組猜想，許多數學家仍將Erds猜想不看做是真正的目標。要證明Erds密度可保證等距三元組是困難的，數學家懷疑這個保證失效的真實密度可能要低得多，只比Behrend構建的無等差數列的集合略高一點。
「我們並沒有完全解決這個問題，」Bloom說，「我們只是進一步闡明了這個問題。」
Bloom 和 Sisask可能已將現在的方法推到了他們能做到的極致。「需要真正的新工具來完成剩下的工作，從根本上做出改善，」Fox說，「但，這可能還不是終點。」
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