人們自古以來就知道磁體，但鐵磁性的物理特性仍然是個謎。現在，一個熟悉的謎題讓物理學家們離答案更近一步。
1880年有幾個月，整個美國都染上了一種前所未見的癮。1880年3月12日，堪薩斯州恩波裡亞的一篇新聞報導寫道:「不誇張地講，這種癮已經席捲全國，整個城市都心不在焉。男人為其瘋狂為其失眠。」這種「流行病」蔓延到歐洲，甚至傳到了澳大利亞和紐西蘭。
當時這種「疾病」困擾著人們：即一款名為「15謎題」(15-puzzle)的簡單得令人沮喪的機械遊戲。我們今天對它依然不陌生。這個謎題由一個4x4格子組成，滑動其中有15個編號的數字塊並將數字按順序排列。
以今天的標準來看，這個遊戲似乎有些古怪，但在1880年，它可是風靡一時。報導繼續寫道:「沒有哪個孩子會因為自己太幼稚而不被它的娛樂力徵服，也沒有哪個人會因為精力旺盛或者身居高位而擺脫它的魅力。」玩這個遊戲的挫敗感可能來自於數學上已經證明的事實，即這個遊戲只有一半可解。(上癮的人可能不知道這一點)。
140年後的今天，15謎題再次激發了人們的興趣，這一次它不再是讓人分心的罪魁禍首，而是作為了解一個看似毫不相關、複雜得多的謎題的途徑：即磁體是如何工作的。
像我們冰箱上的那種永磁體有磁性的原因是因為一種叫做鐵磁性的現象。在鐵磁體中，電子的自旋排列在一起，共同形成一個磁場。具體點講，鐵、鈷和鎳等金屬表現出流動的鐵磁性，即它們的電子可以在其內部自由移動。每個電子還有一個固有磁矩，但是要準確地理解所有這些磁矩如何以及為什麼排列在磁體中，需要計算所有電子之間的量子相互作用，這是非常複雜的。
約翰霍普金斯大學物理學家李依(音譯)說：「流動鐵磁性實際上是理論凝聚態物理學中最難的問題之一。」
但是李同她的兩個研究生Eric Bobrow和Keaton Stubis，可能離解決這個問題更近了一點。利用15謎題的數學運算，他們進一步闡述了一個著名的定理，該定理描述了一個理想情況下的流動鐵磁性。在他們發表在物理評論B(Physical Review B)雜誌上的新分析中，他們延伸了這個定理來解釋一個更廣泛、更現實的系統，這可能會導致一個關於磁體如何工作的更嚴格的模型的產生。
「這篇論文很出色。」加州大學聖地牙哥分校的物理學家丹尼爾·阿洛瓦斯(Daniel Arovas)說道，「特別是因為對流動鐵磁體的嚴謹研究結果少之又少，所以我非常喜歡這篇論文。」
基本上，金屬中的電子必須遵守兩大約束條件。首先，因為它們都帶負電荷，所以會互相排斥。此外，電子必須遵循泡利不相容原理，即沒有哪兩個粒子可以處於相同的量子態。這意味著具有相同「自旋」性質的電子(電子自旋與電子磁矩成正比)不可能在金屬的原子周圍處於相同的量子態。然而，兩個自旋相反的電子可以。
事實證明，要使自由運動的全部電子既可以相互排斥，又滿足泡利不相容原理的約束，最簡單的方法就是讓它們保持距離，讓它們的自旋排列，從而形成鐵磁性。
但這只是一個簡化的說法。物理學家一直沒有找到一個詳盡的模型來解釋這種有序排列的自旋模式是如何從單個電子之間的無數量子相互作用中產生的。例如，李解釋說，一個電子的波函數(量子性質的複雜數學描述)可以與另一個電子的波函數糾纏在一起。若要充分理解單個粒子的行為是如何導致鐵磁性的集體現象的，則需要追蹤系統中每個電子的波函數，因為它們的波函數會通過相互作用不斷地重塑其他電子的波函數。在實際中，這種普遍的糾纏使得描述鐵磁性所需要的完整的、嚴謹的方程不可能寫下來。
相反，像李這樣的物理學家正試圖通過研究更簡單的可以捕捉到鐵磁性的基本物理性質的理想化模型以深入了解。特別是她最近的工作進一步闡述了50多年前的一個裡程碑式的發現。
二十世紀六十年代中期，兩名來自地球兩端的物理學家各自提出了一個證明，解釋了為什麼電子應該排列並形成鐵磁狀態。當時是劍橋大學物理學家的戴維·索利斯(David Thouless，後來獲得了2016年的諾貝爾獎)和訪問加州大學聖地牙哥分校的名古屋大學物理學家Yosuke Nagaoka分別在1965年和1966年發表了他們的證明。後來他們的證明被稱為Nagaoka-thouless定理(即Nagaoka定理)，但是該結果依賴於原子晶格上的電子的理想系統。因此，它沒有解釋真實世界中的磁體，儘管如此，它仍然很重要，因為它第一次在原則上展示了為什麼電子自旋應該排列。因為他們的分析經由數學證明，所以很精確，不受物理中典型的近似的影響。
你可以想像一個二維的方形晶格以便理解這個定理。每個頂點可以容納兩個自旋相反的電子，但是該定理假設兩個電子需要無限的能量來佔據自己的位置。這樣就確保了每個小晶格中只有一個電子。在這個構型中，每個電子可以向上或向下旋轉。它們不一定要排列成直線，所以系統不一定是鐵磁的。
現在拿走一個電子。剩下的一個空位，我們把它稱之為「孔」。相鄰的電子可以滑入孔中，留下另一個空位。另一個電子可以衝進新的孔中，留下另一個孔。通過這種方式，孔的位置不斷變換，在晶格內穿梭。索利斯和Yosuke發現，在這種情況下，只要加上一個孔，電子就會自發排列。經他們證明，這是最低的能態——鐵磁體。
Arovas解釋說，要使系統處於最低的能態，孔必須在不幹擾電子自旋結構的情況下自由移動——而這一過程需要額外的能量。然而，隨著孔的移動，電子也會四處移動。為了使電子在不改變自旋構型的情況下運動，電子必須排列整齊。
東京大學物理學家Masaki Oshikawa說:「Nagaoka定理是少數幾個可以用數學方法證明鐵磁性的例子之一。但從物理學的角度來看，這這種做法是人為的。」
例如，兩個電子克服相互間的排斥力並在同一個位置上穩定下來需要消耗大量的能量，但不是定理所要求的無限能量。Nagaoka-Thouless定理也只適用於正方形或三角形等簡單的二維晶格或者三維立方晶格。然而，在自然界中，鐵磁性出現在許多具有各種結構的金屬中。
如果Nagaoka-Thouless定理真的解釋了鐵磁性，那麼它應該適用於所有晶格。李說，人們認為情況可能就是這樣。「但沒有人真正給出明確的證據。直到現在都沒有。」
1989年，日本學習院大學的物理學家Hal Tasaki對這個定理進行了某種程度的擴展，發現只要一個晶格具有一種稱為連通性的數學性質，這一定理就適用。以只有一個可移動孔的正方形晶格為例，如果在移動這個孔之後，你可以在保持自旋加快和自旋減慢的電子數量的同時，創造出每一個自旋構型，那麼連通性條件就滿足了。
但是除了正方形和三角形的晶格和三維的立方晶格外，我們不清楚在其他情況下是否滿足連通條件，也就無法知曉這個定理是否可以更普遍地適用。
為了解決這個問題，李從六邊形蜂窩網格入手。當她的學生Bobrow和Stubis研究這個問題時，他們意識到這個問題類似於十九世紀的15謎題。只要把晶格裡的的標籤從數字換成自旋向上或自旋向下，這個謎題就相當於Nagaoka鐵磁體——有一個孔，這個孔可以在晶格裡的電子中移動。
可以重新排序裡面的小晶格得到想要的任何序列時，謎題就解決了，這正是連通性條件的含義。所以對於一個特定的晶格來講，是否滿足連通條件就變成了這樣一個問題：即有這樣結構的同等謎題是否可解。
事實證明，早在1974年，一位名叫理察·威爾遜(Richard Wilson)的數學家(現在就職於加州理工學院)，就已經發現了這個問題，並對15謎題的所有晶格進行了推廣和求解。作為他證明的一部分，他證明了對於幾乎所有的不可分離格(即頂點在移除一個頂點後仍然保持連接的格)，只要你移動偶數次，你就可以通過移動晶格得到任何你想要的構型。唯一的例外是單個的至少四個邊的多邊形和所謂的θ0(其中一個頂點在一個六邊形的中心連接到兩個相反的頂點。)
研究人員可以直接將威爾遜證明的結果應用於Nagaoka-Thouless定理。對於單孔電子系統，他們證明了幾乎所有晶格都滿足連通條件，包括二維蜂窩和三維菱形晶格等常見結構。但是有兩個例外——至少四個邊的多邊形和θ0圖——這兩個結構在一個現實的鐵磁體中找不到。
加州大學聖克魯茲分校的物理學家斯利拉姆·沙思特裡(Sriram Shastry)說，使用15謎題是一種全新的、可能會帶來豐碩成果的方法。他說：「他們引入了新的「語言」，一套新的與圖論的聯繫，這點我很喜歡。我認為這種聯繫是豐富的——它可以成為未來深刻見解的豐富來源。」但是，儘管這項研究讓我們向前邁出了重要的一步，但是問題仍然沒有得到解決。
沙思特裡說，一個複雜的問題是，當移動的孔繞晶格旋轉，需要走奇數步時，Nagaoka-Thouless定理就並不總是有效。然而，也許最突出的問題是，這個定理要求只存在一個洞——不多不少。然而，在金屬中，孔洞大量存在，經常佔據晶格的一半。
但是物理學家已經嘗試將這個定理推廣到多孔系統。通過數值計算，物理學家們發現，Nagaoka 鐵磁性似乎適用於一個有限尺寸的正方形晶格，該晶格中有30%的孔。目前這一論文將精確解析技術應用於二維蜂窩格和三維金剛石格。對蜂巢形晶格來講，只要孔的數量小於晶格格位的1/2次方，在菱形晶格中這一數字是2/5次方，那麼Nagaoka鐵磁性似乎就存在。
這些精確的解決方案可以得到一個更完整的流動鐵磁性模型。李說:「這只是為將來的研究建立嚴謹的數學起點邁出的一小步。」
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