誕生 100 年，這個簡單的物理模型難倒了無數物理學家

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「

從磁體，到大腦——伊辛模型誕生一百年後，解釋了萬事萬物。

」

Samuel Velasco/Quanta Magazine

在伊辛模型中，熱運動使箭頭隨機翻轉，而磁的吸引讓相鄰箭頭方向一致，這兩種力量相互競爭，決定著物質的這些微觀特性。真實世界中的許多系統中，也存在著同樣的競爭。

水結成冰，湯被煮沸……這種突然而徹底的物態轉變，在20世紀之前對人們來說還是神秘的。科學家觀察到，物質常常是逐漸變化的：將一堆原子微微加熱，體積會微微膨脹。但是如果在材料的臨界點附近輕輕推動一下，它就會變成與之前完全不同的東西。

破解「相變」謎題的數學關鍵在 100 年前首次被發現，並改變了整個自然科學的面貌。眾所周知，伊辛模型最初提出時是關於磁體的漫畫式理論；現在則作為物理系統的簡單模型被廣泛使用——伊辛模型之於物理學家，就像果蠅之於生物學家。最近出版的一本教科書認為，伊辛模型「可以對幾乎所有有趣的熱力學現象建模」。

它甚至滲透進與物理學關係很遠的學科，成為研究地震、蛋白質、大腦甚至種族隔離的模型。

一個研究磁性的簡化模型，究竟如何簡明地解釋了相變，如何在科學中遍地開花，又是如何在今天繼續推動著知識邊界的擴張？且聽我為您娓娓道來。

1920年，世界正從一場全球性的流感中恢復元氣。一位名叫威廉·楞次的德國物理學家，開始研究為什麼磁體被加熱到某個溫度以上就會突然失去吸引力，這一現象是皮埃爾·居裡在25年前發現的。楞次把磁體想像成排列成格子的小箭頭，每個箭頭代表了一個原子，要麼指向上，要麼指向下。（原子本質上具有磁性，有南北極，因此可以確定每個原子的方向。）鄰近的箭頭會相互影響，一個箭頭會試圖翻轉旁邊磁性相反的箭頭，好讓它們與自己方向一致。

楞次注意到，如果大多數原子指向相同，每個原子的微小磁場凝聚起來，就會讓材料整體表現出磁性。但如果相同數量的「上」原子和「下」原子均勻混合在一起，它們就相互抵消，不會顯現出很強的磁性。

單單是關於晶體格子之間熱與磁的競爭的研究，就發表了數以千計的物理論文。熱（粒子的隨機顫動）為無序而戰；而磁致力於抵抗這種無序。楞次認為，在溫度很低的時候，磁性所維持的秩序獲勝。然而有足夠多的熱量時，原子之間的隨機推擠就會打破它們之間的穩定關係，這就解釋了居裡觀察到的磁體在高溫時喪失「魔力」的現象。

楞次責成他的研究生恩斯特·伊辛（Ernst Ising）研究細節。雖然真正的磁體是三維的，但伊辛將情況簡化為一個線性的箭頭鏈，鏈上的每個箭頭都受到相鄰兩個箭頭的影響。運用一個現在已經成為大學教科書內容的計算方法，他證明了這條鏈不能有穩定的磁性，這個模型現在被稱為一維伊辛模型。隨機翻轉在任何溫度下都會破壞磁性的一致。加拿大麥克馬斯特大學退休教授、凝聚態物理學家約翰·貝林斯基說：「一維只是沒有它所需要的東西。」

一維伊辛模型

1925年，伊辛發表了他的研究結果。他和楞次認為這一結果不僅適用於箭頭組成的二維薄片，也適用於三維塊體，從而這個模型無法描述真實磁體的行為。從這個結果來看，它似乎毋庸置疑地要被丟棄到錯誤理論的火葬場中去。

儘管如此，因為有人想要探究它在數學上的性質，伊辛模型還是活了下來。在20世紀40年代，這個理論引起了拉斯·昂薩格（Lars Onsager）的興趣。昂薩格是一位理論物理學家，也是諾貝爾獎得主。他想解出伊辛模型，即在二維情況下算出在任何給定溫度下可能指向「上」的原子的比例。對於二維方格子情況，每個箭頭都有四個鄰近的箭頭，而非兩個。

解決任何一種情況都需要列一張表格，列出每個箭頭對其他箭頭的影響。在一個平面上，這些尋找相互作用的問題比在一條線上的複雜得多。計算機科學家索林·伊斯特拉爾（Sorin Istrail）認為，昂薩格在1944年發表的解決方案是一項「非人道」的數學工作，這項工作在很大程度上是難以理解的。伊斯特拉爾說：「一行一行讀下去，你只能了解到這個理論是正確的，其餘毫無收穫。」

昂薩格證明了在二維情況下，事情正如楞次所料：低溫時，磁性掌握一切，箭頭排列成行；一旦溫度超過「臨界值」，無序就控制了全局。相變可以用一個簡單的相互連接的箭頭網格來解釋，而不需要像許多物理學家所認為的那樣，需要結合真實粒子的混亂性來考慮。

儘管如此，該模型仍在角落中積累灰塵。它似乎過於簡化了，像是仿照現實畫的一幅超簡化的簡筆畫。「大家覺得這個理論看起來可疑得很。」丹麥羅斯基德大學物理學歷史學家馬丁·尼斯說。

轉機發生了。科學家們測量了氬和氦的性質，過程是困難重重的，結果表明，昂薩格的解與這些物質的「臨界指數」完美吻合。這些指數是1/8或7/4這樣的數字，它描述了在發生相變前的階段，各種性質（如熱容）的變化速度。尼斯說，到1965年，大多數物理學家都開始重視起楞次和伊辛的箭頭，儘管他們還是想知道，為何一個在物理上如此不切實際的圖像，能夠準確得出物質性質的細節信息。

答案不在於模型，而在於自然。

伊辛模型之所以強大，是因為一系列不相關的物質在發生轉變時，都有著相同的臨界指數——這一現象現在被稱為普適性（universality）。

1971年，美國物理學家肯·威爾遜（Ken Wilson）提出了普適性數學，並為此獲得了諾貝爾獎。威爾遜指出，在高溫下箭頭方向是隨機的，當系統冷卻接近相變點時，相鄰箭頭之間的磁吸引力會形成箭頭有序排列的「島」，這些島會越變越大。臨界指數描述了這個過程的細節，比如最大的島是如何逐漸變大的。

當伊辛模型處於其臨界溫度時，它包含大大小小由對齊箭頭組成的「島」。|

mattbierbaum.github.io

在臨界溫度下，從一個「小點」到一片「陸地」，各種大小的「島」同時存在。在這種情況下，即使是兩個相距很遙遠的箭頭，其中一個翻轉也會引起另一個翻轉，儘管它們並不相鄰——這表明系統的宏觀屬性已經脫離了微觀細節。這種對微觀細節的超脫就是普適性的魔力。所有具有相同維數和相同對稱性的系統都會經歷完全相同的相變，無論微觀上是鐵原子、水分子還是小箭頭。

設想一個系統，它包含許多具有相互作用的實體，這些實體可以用相反的標籤來描述，例如「上」和「下」，「出席」和「缺席」。普適性意味著，當研究人員想要理解這樣的系統時，他們可能會從伊辛模型著手。加州大學伯克利分校的凝聚態物理學家弗朗西斯·赫爾曼（Frances Hellman ）說：「某種程度上，伊辛模型是一種最簡單的可解模型。它能幫你在很大程度上理解一件事。」比如說，研究人員可以通過讓箭頭在一個平面上自由旋轉來擴展模型，以適用於其他物理系統。

但是，即使伊辛模型改變了物理學家對材料的理解，研究人員在精確求解三維版本時也遇到了困難——也就是說，要找到一個簡潔的公式，來描述任何給定溫度下三維箭頭晶格的磁化程度。甚至理察·費曼在試圖解決伊辛1920年的原始任務時，也失敗了。

現在的計算機可以模擬三維伊辛模型，並將其臨界指數近似到一個合理的精度，因此物理學家們並不著急去找一個精確的解決方案，雖然這仍然是人們渴望的事情。2012年，物理學家進行了一項合作，他們宣布，在探索邏輯上可能的物理理論的空間時，找到了一個包含三維伊辛模型精確臨界指數的區域。從那時起，該組織進一步縮小了該區域。去年12月，他們應用他們的方法解釋了1992年太空梭飛行過程中一次令人費解的液氦測量。

法國高級科學研究所的物理學家斯拉瓦·裡奇科夫（Slava Rychkov）參與了這項工作。他說，費力多算幾位小數其實不是重點。在可能的物理理論地圖上的其他地方，有伊辛理論的擴展，有奇異粒子的比扎羅宇宙理論，甚至可能還有真實宇宙中難以捉摸的量子引力理論。伊辛模型代表了這個抽象的「理論空間」中最簡單的部分之一，因此成為開發探索未知領域的新工具的試驗場。

如果它的臨界指數可以精確確定，「這個解決途徑一定是目前完全未知且全新的」，裡奇科夫說，「這也必將帶來一場新的革命。」

作者：Charlie Wood

翻譯：xux

審校：Nuor

原文連結：

https://www.quantamagazine.org/the-cartoon-picture-of-magnets-that-has-transformed-science-20200624/

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編輯：aki