理髮師刮不刮鬍子讓數學家瘋掉了——第三次數學危機

很久很久以前，在一個小鎮上，只有一位理髮師。他理髮有一個硬性規定「我只給不給自己理髮的人理髮」。

故事講完了，那麼請你思考下這個理髮師會不會給自己理髮？帶著這個問號，我們來了解下故事背景，到底是誰先說出這個故事，又是說給誰聽的。

時間來到二十世紀之初，整個科學界都籠罩在一片喜悅祥和的氣氛之中。科學家們認為，數學的系統性和嚴密性已經完善，科學大廈已基本建成，再有什麼新發現，也只是在一些小數點後面加幾個數字而已。

然而好景不長，時隔不到兩年，科學界就發生了一件大事。

德國的著名邏輯學家弗雷格在他辛辛苦苦研究康託爾的集合論，而且整理成書，準備出版領取稿費之時，收到了羅素的一封來信，信上的內容正是我們一開始說的小故事。

弗雷格

羅素（1872–1970）是英國著名的哲學家和數學家，曾獲得諾貝爾文學獎金。他想把算術系統全歸結於邏輯，所以他與懷海德合作寫的一本巨著《數學原理》。

羅素

這時的弗雷格真的是完全崩潰，自己辛苦多年，在名垂千史的之際，才知道自己所做的事，一開始就存在這麼個錯誤。

但生活一樣要過，稿費還是要拿，最後他只能在自己著作的末尾寫道「一個科學家所碰到的最倒黴的事，莫過於是在他的工作即將完成時卻發現所幹的工作的基礎崩潰了」。

羅素算是發現，有些人為了錢可以什麼都不要了，只能轉頭回去和康託爾說這個故事。

其實康託爾也已發現了自己的理論有這麼一點瑕疵，但是別人因為這一偉大理論，都在誇他這麼厲害。

想想看，誰能在這時候出來說，我錯了，我的理論基礎就沒正確，而放棄這一偉大成就呢。

而羅素又不停的和康託爾說這個故事，康託爾又無法回答這一問題。最終，數學家康託爾就這樣瘋掉了。

為數學而瘋的康託爾

羅素的悖論確是給當時正為了微積分的嚴格基礎被建立而歡欣鼓舞的數學家們潑了一盆冷水，但這個理髮師的力量有多大，竟然可以推倒數學大廈呢？在較高等的數學裡，我們會把整個數學的基礎納入「集合論」之中，換句話說，集合論便是數學大廈的基石，所以當集合論中出現矛盾時，建基於此之上的數學大廈也會站不住腳，而羅素的悖論卻是向著這個基石作出致命的一擊，這個「自己既要屬於自己又同時不屬於自己」的矛盾是在集合論中的矛盾，也就是在數學基礎中的矛盾，只要矛盾一日存在，數學大廈也不可穩固，更會在倒塌的危機，這個就是數學的第三次危機。

羅素雖然提出了問題，成為危機的製造者，但同時也是危機的解決者，羅素在他的著作之中提出了層次的理論以解決這個矛盾，使得「自己既要屬於自己又同時不屬於自己」不可能出現。不過，這個層次理論十分複雜，所以數學家要把這個方法加以簡化，而先提出的人是策墨羅，他提出了「有限抽象原則」和幾條公理，及後再由弗蘭克和斯柯倫的補充修改，仍成現在在數學上較為流行公理系統——「ZFS公理系統」。這樣不單只解決了羅素的悖論，令數學從回到嚴謹和無矛盾的領域，而且更促使一門新的數學分支——「數學基礎」有著迅速的發展。