經典的動力學理論認為：任何一個系統只要知道了它的初始狀態，就可以根據動力學規律推算出它隨著時間變化所經歷的一系列狀態，拉晉拉斯曾將這種思想推廣到整個宇宙，認為只要知道了構成宇宙的每個質點在某一瞬間的位置和速度，又知道了動力學方程，我們就可以精確地知道宇宙過去和將來的一切情況。這就是被稱為拉普拉斯決定論的基本觀點。
概率論和統計的概念引入物理學後，科學思想發生了重大變化，促使科學家從決定論的那種「經典科學締造的神話」中走了出來。概率論和統計的觀點認為，一個系統的未來狀態，並不是完全確定的線性因果鏈，而有許多偶然的隨機的因素，人們只從大量的偶然性中尋求必然的趨勢，世界的發展遵循著統計的規律。對此，歷來有著尖銳的爭論。愛因斯坦認為「上帝不是在擲骰子」，只是因為知識不完備，才出現這種情況。霍金則認為，概率性、統計性是世界的本質，「上帝」不僅在擲骰子，而且會把骰子擲到人們無法知道和根本看不到的地方。
決定論和非決定論，動力學規律和統計規律似乎有著不可調和的矛盾，使科學方法論陷入苦惱的悖論之中。而對混沌現象的研究，給這種困境帶來了希望之光。
混沌理論描述的系統，其動力學方程是完全確定的，然而這種系統的長期演化行為存在著隨機性。在這裡，確定性的動力學規律描述的系統出現了統計性結果，使矛盾的兩個方面得到了辯證的統一。
人們對混沌現象的研究已有一百多年的歷史，但是它不象相對論和量子理論有自己理論的公理性假設，它只是用已有的動力學理論來研究一些複雜系統，使人們看到了自然界的更為複雜的內容，揭示了決定論與概率性之間的內在聯繫，使人們觀察世界的觀點和方法比以前有了更進一步的發展，使人類對自然世界的抽象更接近於自然界本身
混沌是決定性系統的內在隨機性，這句看來似乎是對決定論和概率性的調和性論述，無論對於持決定論觀點還是概率統計性觀點的人來說都有點難於理解。但這句話的確揭示了複雜世界的本質，因而對混沌理論的認識將會改變人們觀察和思考世界的基本觀點，對於當代的大學生，如果不了解混沌，不能不說是知識和思維結構上的缺憾。當前已有一些大學開設了混沌的入門課程，並有配套的軟體，但這些軟體涉及的方程較少，而且方程的可視化模型簡單，軟體的交互性較差，對於幫助學生理解「決定性系統的內在隨機性」這句話存在著許多局限性，鑑於此，本人在搜集大量素材的基礎上，以「決定性系統的內在隨機性」為核心，以Logistic映射為線索，深入淺出了介紹了狀態空間，吸引子，混沌的發展歷史，混沌的基本特徵，基本概念，倍周期分岔，李雅晉諾夫指數，費根鮑姆常數，混沌的特徵，通向混沌之路，混沌的應用及哲學意義進行了詳細的論述，祥述了對應的軟體的計算機算法，並設計了一套所有參數均可由使用者改變的多媒體教學軟體，以幫助理解有關的概念。
§2.1 混沌的發展歷史
過去，人們一直認為宇宙是一個可以預測的系統。後來天文學家在研究三體問題時發現，用決定論的方程，找不到穩定的模式，得到的是隨機的結果，這意味著：整個太陽系是不可預測的，用牛頓定理，無法推算出在某一時刻行星運動的準確位置和速度。即在確定性的系統中出現了隨機現象。
1927年，丹麥電氣工程師Van del Pol 在研究氖燈張弛振蕩器的過程中，發現了一種重要的現象並將它解釋為「不規則的噪聲」，即所謂Van del Pol 噪聲。二戰期間，英國科學家重複了這一實驗並開始提出質疑，後來的研究發現Van del Pol 觀察到的不是「噪聲」，而是一種混沌現象。
1959年，美國的斯墨爾實現了第一個產生混沌的模型，將一個周期性系統轉化為混沌。
1963年，麻省理工學院的氣象學家洛倫茲（E. Lorenz）在研究大氣環流模型中，對一個具有三變量的方程組進行了計算，數值模擬所得的結果出人意料，通過對所得結果的深入分析，繪製出狀態空間圖（圖2.1.1），洛倫茲發現混沌運動的兩個重要特點：（1）對初值極端敏感；(2)解並不是完全隨機的，而是局限在狀態空間的某一幾何體（混沌吸引子）上。洛倫茲之後，混沌學的研究開始蓬勃發展。
1927年，科學家在耗散系統中正式地引入了奇異吸引子的概念(strange attractor),隨著計算機圖形學的發展，生成了如上所述的洛倫茲吸引子、Henon吸引子等奇異吸引子的計算機圖形。
1975年，約克（J.York）李天巖(T.Y lie)提出了混沌的科學概念。70年代中期，人們不但在理論上對混沌作更深層次的研究，而且努力在實驗室中找尋奇異吸引子。約克在他的著名論文「周期3意味著混沌」中指出：在任何一維系統中，只要出現周期3，則該系統也能呈現其它的周期，也能呈現完全的混沌。
1976年，邁依(R.May)將混沌引入生物學，他指出：生態學中的一些簡單模型，具有極其複雜的動力行為，其中包括分岔，序列和混沌。混沌理論為生物學的發展打開了一個新的窗口。
1978年，費根鮑姆（M.Feigenbaum）通過對邁依和約克的邏輯斯蒂模型的深入研究，發現倍周期分岔的參數值，呈幾何級數收斂，從而提出了費根鮑姆收斂常數d 和標度常數a ，它們是和p 、e、c 一樣的自然界的普適性常數。但是，費根鮑姆的上述突破性進展開始並未立即被接受，其論文直到三年後才公開發表。費根鮑姆的卓越貢獻在於他看到並指出了普適性，真正地用標度變換進行計算。使混沌學的研究從此進入蓬勃發展的階段。
人們認為，20 世紀科學上載入史冊並為人們永遠銘記的有三件事：相對論、量了力學和混沌理論。相對論消除了絕對空間和時間的幻象，量子力學打破了可控測量過程的夢，而混沌理論則是徹底解消了拉普拉斯關於決定論式的可預測性的幻想。
§2.2 非線性與確定性系統
§2.2.1 「線性」與「非線性
「線性」與「非線性」首先用來區別函數y= f (x)對自變量x的依賴關係。線性函數的一般形式為： y=ax+b 其圖象是一條直線（圖2.2.1）。其它一切高於x一次方的多項式函數和其它函數，都是非線性的，其圖象不是直線。最簡單的非線性函數是拋物線。 y=ax2+bx+c 如圖2.2.2所示。其中a、b、c為參量，但它們並不同樣重要，a對方程的性質具有決定性作用， 若 a=0 曲線則退化為直線，函數退化為線性函數，b和c可以改變曲線的形狀。 「線性」與「非線性」關係如下： 1、線性是簡單的比例關係，而非線性是對這種關係的偏離，線性關係是水漲船高，但一般只適用於自變量的一定範圍，不能無限制地漲上去，而非線性才能反映「是非曲直」、「過猶不及」、「一波三折」等複雜行為。 2、線性關係是互不相干的獨立貢獻，而非線性則有相互作用。例如：如果x代表某種昆蟲的數目，每個昆蟲產生 a 個卵，其總數： |
種組合。這就是非線性關係了。相互作用使得整體不再簡單的等於部分之和，而可能發生不同於「線性疊加」的增益或虧損。
3、線性關係保持訊號的頻率成分不變，而非線性使頻率結構發生變化。
對於一個遵從歐姆定律的線性電路、電壓V、電流I和電阻R的關係是：
V=IR （5）
如果I是頻率固定的交流信號I=I cos(ωt)，電壓V=RI cos(ωt)也只含有同樣的頻率ω。然而，如果電壓電流關係中出現了非線性項，例如，
V=RI+R1I2 （6）
則對於同樣的輸入 I=I0cos(ωt)輸出為：
電壓V中出現了輸入信號中沒有的頻率為0和2ω的信號，出現了「無中生有」的現象。只要存在任意小的非線性（式（6）中R1<<R），就會出現和頻、差頻、倍頻等成分，但這些新頻率成分不是非線性強烈到一定程度才突然出現的閥值現象。
4、非線性是引起行為突變的原因，對線性的細小編離，往往並不引起行為突變，而且可以從原來的線性情形出發，靠修正線性理論去描述和理解。然而，非線性大到一定程度時，系統行為可能發現突變。在前面的例子中，這時輸出信號可能突然出現某些分頻，如ω/2、ω/4，甚至ω/3。非線性系統往往在一系列參量閥值上發生突變，每次突變都伴隨著某種新的分頻成分，最終進入混沌狀態。
§2.2.2 確定性系統
從數學的角度來看，只要描述系統行為的（無論是線性還是非線性）方程中不含隨機變量，則這種系統就是確定性系統。因此，只要方程中不含隨機變量，則不論是線性系統還是非線性系統，它們都是確定性系統，對於確定性系統，如果已知其初始條件，我們能通過確定性函數計算出系統在將來任一時刻的精確狀態。18世紀法國著名數學家拉普拉斯的一段名言：「設想有一位智者在每一瞬間得知激勵大自然的所有的力，以及組成它的所有物體的相互位置，如果這位智者如此博大精深，他能對這樣眾多的數據進行分析，把宇宙間最龐大的物體和最輕微的原子的運動凝集到一個公式之中，那對他來說，沒有什麼事情是不確定的，未來和過去一樣他都可以算到一清二楚。」這就是說：只要有一個宇宙方程就可以知道宇宙的一切。這段話把確定性理論的中心思想發揮得淋漓盡致。
§2.3 狀態空間、周期軌道與吸引子
§2.3.1 狀態空間
在動力系統理論中，系統的基本情況稱為狀態。狀態隨時間而變化的規律稱為動態特性。這個變化的過程可用狀態空間（相空間）形象地表示出來，狀態空間中的每一個點代表系統一種可能的狀態。在狀態空間中，動力系統在某一瞬間的全部性態都集中於一點上，而系統演變的情形可通過在狀態空間移動的點來描繪。動力系統隨時間演變，其相點在狀態空間中將描繪出一個軌跡，我們稱之為相空間中的軌道。若時間連續則稱之為「流」；若時間是離散的則稱之為「映射」。
狀態空間法（相空間法）是現代科學研究中的有用工具，它提供了一種將數字轉化為圖形的方法。引入狀態空間方法最大的優點是便於在研究中觀察系統的演化規律。最簡單的例子是單擺，它由兩個變量（位移和速度）確定其運動狀態，在狀態空間中用（位移�速度）平面上的點表示其狀態的變化過程。
§2.3.2 吸引子及其分類
吸引子（Attractor）是狀態空間一種用以刻劃狀態空間中的長期行為的幾何形式，是耗散系統長時間演化的最終歸宿。吸引子可分為定常吸引子、周期吸引子、擬周期吸引子和奇異吸引子四類。
第一類吸引子��定常吸引子，具有這種吸引子的系統在狀態空間中其軌道趨於一個固定點，不管系統從什麼初始狀態出發，其長期演化的歸宿是恆定不變的，總是停在相空間中的一個固定點上。這是最簡單的一類吸引子。如圖2.3.1(a)所示。
第二類吸引子是狀態空間中的閉環，或稱極限環，它描述的是穩定振蕩，例如：鐘擺的周期運動和心臟的跳動。如圖2.3.1(b)所示，是刻劃周期行為的吸引子。這種系統從某一初始狀態出發，經過一個短暫的過程後直接進入周期運動，一旦系統進入周期運動，在相空間中，其軌道就固定在閉環上，系統作周期運動，其狀態空間的相圖就沿閉環周而復始，永遠循環。
第三類吸引子為環面吸引子，或稱擬周期吸引子。它描述複合振蕩的擬周期行為，它的軌道在狀態空間中的一個環面上繞行而且永不重複永不相交，如圖2.3.1( c )所示。
為了理解擬周期運動，我們看圖2.3.2。設想在某動力系統中頻率分別為w 1、w 2的兩個周期運動，以它們的相位q 1，q 2為變量作二維相圖，若把圖2.3.2(a)、(b)中的相圖的對邊粘在一起（BC粘到AD上，形成圓筒，再將圓筒兩端AB和CD粘在一起）就形成了環面。圖2.3.2(a)表示一曲線在環面上橫繞4圈得以封閉，這意味著包含兩個周期運動，它們的頻
率比；圖2.3.2(b)表示一曲線在環面上豎繞5圈得以封閉，它們的頻率比。
但若如上兩頻率w 1、w 2彼此不可公度，即為無理數，那麼，無論沿環面橫繞（或豎繞）
多少圈，軌道也不會閉合，軌線將稠密地分布在環面上，永遠不重複已走的路。這是一種非周期運動，但又是由兩個周期運動合成的，叫做擬周期（或準周期）運動。
吸引子的產生可以解釋為：耗散系統在其運動與演化的過程中，相體積不斷收縮的結果。收縮是由於阻尼等耗散項的存在所致。吸引子的維數一般要比原始相空間低，這是由於耗散過程中，消耗了大量小尺度的運動模式，因而使得確定性系統長時間行為的有效自由度減少。如果系統最終剩下一個周期運動，則稱該系統具有極限環吸引子。二維以上的吸引子，表現為相空間相應維數的環面。只有耗散系統中的混沌才會產生奇異吸引子。但並非只有耗散系統才出現混沌。如三體問題不是耗散系統但同樣能產生混沌。
§2.4 倍周期分岔與混沌
§2.4.1 混沌的含義
混沌是非線性的確定論系統所表現出的內在隨機行為的總稱。
時至今日，統計物理和量子力學已在自然科學領域裡有了不爭的牢固地位，今天我們在尋求客觀世界所遵循的科學規律的過程中，經常使用「隨機性理論」。與決定論完全不同，對於隨機性理論，給定初始條件之後，只能對物體的狀態變化作概率的描述。確定性理論與隨機性理論的區別還可以在「狀態空間（即相空間）」裡來看。如果物體狀態的變化是服從確定性理論，那麼，在狀態空間中，一系列確定的狀態代表點連續起來，便會給出一條明確的「相」軌道，但如果是服從隨機性理論的，就只能給出狀態代表點的「雲」，點雲密布之處，其相應狀態出現的概率大。因此人們似乎不該再特別信奉拉普拉斯的那段關於確定性理論話了。
人們曾以為確定論與隨機論之間有不可逾越的鴻溝，可是當對複雜系統進行整體研究時發現：儘管該系統的動力學模型是確定的微分方程或離散變量的映射，但在一定條件下，卻會出現隨機性狀態。這種隨機性的出現並非來自外部幹擾，而是產生於系統內部的非線性；這種隨機性又表觀的，因為在隨機性中蘊涵著規律和有序，當系統表現出這樣一種既不是完全確定的，又不是完全隨機的形態時，我們稱它處於「混沌態」。
1963年美國MIT的氣象學家洛倫茲在美國的《大氣科學》發表了一篇題為《確定性的非周期流》的論文，這是世界上第一篇發現混沌的論文，論文題目也可以說是混沌的含義。而「混沌（chaos）」作為非線性動力學中的一個學術術語，是美國馬裡蘭大學的數學家李天巖（T.Y.Li）和他的老師約克（J.A.Yorke）引進的，1971年12月《美國數學月刊》發表了他們題為《周期三意味著混沌》（「Period Three Implies Chaos」 ）的文章。從此，混沌就成了非線性的確定論系統所表現出的隨機行為的總稱，混沌理論則要研究確定論系統的這種表觀隨機性，並探究它與系統的確定性機制是如何溝通的。
本節以Logistic映射為例，看看一個系統如何從具有靜態吸引子的狀態演化為混沌狀態。
§2.4.2 Logistic映射
在自然生態上，我們稱人類或昆蟲種群的個體數量為「人口」或「蟲口」，其多少取決於食物來源，競爭者，捕殺者等諸多因素。人們已建立了各種模型來計算和預測人口或蟲口數。馬爾薩斯在1798年發表的《人口論》是最著名的一個，它是一個線性迭代方程（差分方程）：
Xn+1=(1+r)Xn （4.1）
其中r為人口（蟲口）增長率，若以X0作為起始（第零代）人口（蟲口）數，則：
Xn=(1+r)nX0
這就是說，人口（蟲口）數按幾何級數增長，這一模型過於簡化，沒有考慮環境條件的限制因素，因此計算出的人口（蟲口）數增長得太快，並不符合實際情況，1838年，維赫斯特（Verhulst）提出了一個修正模型，在式（4.1）中加入一個修正項，成為：
（4.2）
所加入的是反映環境限制因素的非線性項，係數b的數值很小，當人口（蟲口）較少時，此項可忽略不計，就還原成馬爾薩斯模型，而人口（蟲口）數變大後，它將限制人口增長。
在（4.2）式令m =1+r，則：
再令，則上式變為：
（4.3）
此式稱為Logistic Map方程(或蟲口模型)是一位比利時數學家建立的。
在研究此方程的特性之前，我們先來確定其定義域。因為人口數不能為負，故xn>0，又根據（4.3）式的迭代關係得(1-xn)>0，因此xn<1，合之則為0<xn<1；又方程（4.3）的極大值xn+1出現在處，此極大值，而xn+1<1，因而μ<4；另外如人口增長率r為正，則μ=1+r>1，因此1<μ<4。
§2.4.3 倍周期分岔走向混沌
對於式（4.3），最直觀的研究方法是圖解法，如圖2.4.1所示，在XnOXn+1平面上作拋物線xn+1=μxn(1-xn)，和直線xn+1=xn，在Xn軸上取初始值x0，作豎直線，交拋物線於一點（x0，x1），從此點作水平線，交對角線於一點（x1,x1），再從交點作豎直交拋物線於（x1,x2）點，如此反覆可以作出x3, x4, …, xn,…。
這種方法雖直觀，但不精確，不便於理論分析。
為此，我們用解析分析和數值計算相結合的方法來分析迭代方程（4.3）的性質。
1、實際上方程（4.3）中若0<μ<1，則有xn+1<xn，因而有。
2、選參數u=2.5，x0=0.5開始迭代（計算迭代結果的方法很多，如手工計算、用計算器計算、編程計算等，最簡便快速的方法是用EXCEL表格的自動填充功能），得到如下一串數值：
x1=0.625;
x 2=0.5859375;
…
x 28=0.599999998;
x 29=0.6;
x 30=0.6;
…
我們發現迭代有限次（x29）以後的值不再變化，而等於一個常數0.6。即方程（4.3）有定態解。下面我們來推導靜態解與μ的關係。
達到靜態解後有xn+1=xn，記此值為x*，則代入（4.3）得：
x*=m x*（1-x*）
解得：
以上討論的兩種情況，多次迭代的結果是與初始值無關的常數，顯然系統具有定常吸引子（）。
方程（4.3）的定態解及定態解（定常吸引子）與μ的關係見圖2.4.2和圖2.4.3。
3、既然定態解與初始值無關，我們取定初始值x0，不斷增加μ值，來看看系統的演化行
為，我們發現當μ>3時，不動點的解失穩，迭代將趨於兩個穩定的不動點，，如圖2.4.4所示，有：
（4.4）
（4.5）
對於蟲口來說就是：若昆蟲一年一代，且無世代交替，那麼今夏蟲數是，明夏便是，次年又是，……如此輪迴。顯然系統此時具有二周期吸引子。
下面我們計算兩周期的μ的起始值。
由（4.5）-（4.4）解得：
即：
將此式代入（4.4）可得：
令：，則：
解得：
其中應有，即：μ2-2μ-3>0。
由此可得：μ>3或μ<-1
由於μ<-1超出定義域，因此解得μ>3。兩個解分別為：
；
方程（4.3）的二周期解(周期吸引子)與μ的關係見圖2.4.5。
4、繼續增大μ值，當μ大於3.449時，趨向於在四個值上輪流取值，隨著μ的增大，在μ=3.544，3.564，……，可依次形成周期8，周期16…的振蕩解，我們把這種系統取值個數成倍增加的情況稱為「分頻」或「倍周期分岔」，分岔圖如圖2.4.6所示。當μ達到極限值時，系統的解是的周期解，即是一個非周期解，系統進入混沌態。
在混沌區內，一方面每有xn就有唯一的xn+1，所以仍是確定論的；另一方面，稍稍變動一下初始值，迭代多次所得的結果之間就會相差很大，幾乎相等的初始值卻會得到不同的長期效果，表現出對初始值的敏感性，我們稱這種對初始值的敏感性為「蝴蝶效應」。
另外我們從圖2.4.7(計算機數值計算的結果)可見，混沌區內是有精細結構的，特別是在時，出現一個周期3的解，這是一個極其特殊的解。
1964年，蘇聯烏克蘭數學家薩爾可夫斯基（A.N.Sharkovskii）把所有自然數按一特定規律予以排列：
3<5<7<…<3´ 2<5´ 2<7´ 2<…<3´ 22<5´ 22<…<23<22<2<1 （4.6）
這裡的數學記號讀作「領先於」，如「3<5」讀作3領先於5。任何整數p和q都在薩爾可夫斯基序列中有確定的位置。薩爾可夫斯基證明，如果在一個一維映射中存在著周期p軌道，則一切滿足p<q的q周期軌道也都存在。換句話中一切在序列（4.6）中排在p後面的周期都存在。3領先於一切整數，自然導致李天巖和約克的定理：周期3意味著混沌。
與Logistic類似的作為蟲口模型的一維非線性映射還有以下幾種：
（4.7）
（4.8）
（4.9）
式（4.7）（4.8）（4.9）的映射分岔混沌示意圖如圖2.4.8，圖2.4.9，圖2.4.10
圖2.4.8 圖2.4.9
圖2.4.10
2.4.4 分岔與混沌的計算機算法
由於繪圖時要確定屏幕上的點(x,y)與(m , xn)的映射關係，因此我們得先知道(m , xn)的取值範圍，下面我們來討論(m ,xn)的取值範圍。
1．xn+1=m xn(1-xn)
由上一節討論可知：0≤m ≤4，0≤xn≤1
2．xn+1=1-m xn2
令：y=1-ux2，求得：y極大=1，則y最小=1-m 。
則在xn+1=xn平面上，應有：-y最小=y最大
故m =2
則 0<m <2, -1<xn<1
3．xn+1=m sinp xn
由正弦函數的性質得：-u<xn+1<m
4．
顯然有：xnmin=0
① 令y=xem (1-x)， 則令y'=0有；
y'=em (1-x)-m xem (1-x)=0
解得:
即時，取得極值
由於y>0，且處處可導則令極值方程為：
由上式可知：當m >1時，y'>0即極值遞增
②：又若m <1，則
i: x0=1Þ xn=1
ii: x0>1Þ xn+1<xn
iii: x0<1Þ xn+1>xn
由（ii）,(iii)可知，xn® 1(x0¹ 1)
③ 為了觀察清晰方便，若uÎ (0,1)可取xmax=2。
故有：
為了直觀研究分岔與混沌(精細結構)，下面給出其計算機算法：
1：設置映射方程類型，控制參數[m min,m max],初始值x0以及繪圖區域；
2：根據給定的控制參數 m 的變化範圍[m min,m max],計算xn的取值範圍[xmin,xmax]；
3：由[m min,m max]、[xmin,xmax]及給定的繪圖區域，計算(m , xn)與屏幕上的點(x,y)的對應關係，並畫出坐標軸，標註數字；
4：對某個m 值，從初始值x0出發迭代100次(或更大)，使其迭代值穩定到吸引子上；
5：對此m 值繼續迭代一次，在屏幕上對應於(m , xn)的位置繪點；
6：重複第4、5步300次(或更多)，描繪出此m 值的吸引子；
7：根據 [m min,m max]和給定的繪圖區域，將m 的變化區間離散化為多個m i∈[m min,m max](i=0,1,2,…)，對每個m i執行第4、5、6步，繪出[m min,m max]內的吸引子圖象。
8：若為局部放大圖，則根據現有繪圖區域和所框區域，計算[m min,m max] 和[xmin,xmax]，然後直接執行第3、4、5、6、7步。
幾點說明：
1：若給定的m 值為一個確定值(即m min=m max)時，其吸引子可能為一個點(靜態吸引子)，或幾個點(周期吸引子)，或一段或幾段垂直於m 軸的線段(擬周期吸引子或混沌吸引子)。但為了觀察方便，若給定m min=m max，仍然在整個區域內繪圖，則其圖形將是一條平行於m 軸的直線段(靜態吸引子)，或有限幾條直線段(周期吸引子)，或一個或幾個帶形區域(擬周期吸引子或混沌吸引子)。
2：為了觀察局部細節，可用滑鼠框定區域，然後將其放大。
方法是：在已繪製的圖形上按住滑鼠不放，拖動滑鼠，屏幕上將會出現一虛線框，放開左鍵，將滑鼠移動到框定區域內，當出現放大鏡光標時，單擊左鍵既自行放大。
3：放大精度理論上為無窮大，但實際上受到計算機浮點運算精度的限制。
該算法的要點是：當迭代過程穩定在吸引子上以後，開始在對應於坐標點（m ，xn）的位置上繪點(為了保證給出的是完整的分岔和混沌圖，需要選擇適當的迭代初始值)。
使用配套軟體可以研究混沌吸引子的許多細節，對於進行複雜系統的理論研究，將提供形象的可視化圖案和新的啟示。下面是幾張局部放大圖及其參數說明。
圖2.4.11
§2.5 蝴蝶效應與李雅普洛夫指數
§2.5.1 「蝴蝶效應」的含義及來歷
「蝴蝶效應」來源於洛侖茲在華盛頓科學進步協會一次大會上的學術報告：「Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil Set off a Tornado in Taxes?」，其意思是：巴西的一隻蝴蝶拍動一下翅膀可能會引起美國德克薩斯的一場龍捲風，這是對長期天氣預報不可能的形象描述。
洛侖茲是60年代在美國MIT工作的氣象學家。他當時有一臺叫做「皇家馬克比」（Royal McBee LGP-300型）的真空計算機，1960年他從旋轉水桶實驗總結出包含12個方程的聯立方程組，建立了一個仿真氣象模型。洛侖茲相信，儘管氣候變化多端，但畢竟遵守經典力學規律，只要輸入必要的初始數據，他的計算機就對這12個方程進行硬碰硬的計算，終究會沿著一條確定論的道路把氣象奧妙揭示出來。
而事實並非如他所料。1961年冬季的一天，洛侖茲在自己的計算機上已算得其仿真氣象模型的一個解，但他還想知道此解隨時間變化的長期行為。為了省時，他不再從頭算起，而是把前次計算中印表機記錄下來的中間數據當作初始值輸入，然後走下大樓去喝啡啡。一小時後，他回到計算機旁，本指望計算機會先重複給出上次計算的後半段結果，然後接下去算新的，但事實讓他大吃一驚。這次計算只有一小段與上輪計算是重複的，隨後就出現越來越大的偏離，羅倫茲首先閃過的念頭是：他常出故障的計算機準又壞了。但他割然領悟，問題並不是出在計算機而是輸入的數字！
自公理化物理學理論體系誕生以來，科學家們普遍認為：知道了一個系統的演化規律，及近似的初始條件，那麼，通過計算機，就能得到近似於這系統真實狀態的解。也就是說：系統的長期演化過程中，由於事物運動本身的收斂性，極小的影響或差別可以忽略不計，因此在計算機上近似準確的輸入似乎應當給出近似準確的輸出。
洛侖茲的計算機存儲的是六位十進位數，譬如是0. 536,216但列印出來的只有三位：0.536，正是按照上面提到的傳統思維方式，他認為千分之幾的誤差無關緊要，但他的方程組並不具有想像中的「收斂」行為，而是對於初始值高度敏感。
洛侖茲把這種初始敏感性稱為「蝴蝶效應」。其實，對初始條件的敏感性並非一個全新概念，中國有成語：差之毫厘，失之千裡；千裡之堤潰蟻穴等等。只是我們現在要研究這種初始敏感性的科學意義。
「蝴蝶效應」是混沌系統的主要特徵之一。
讓我們以Logistic Map為例來，看看「蝴蝶效應」的一個具體例子。
在方程xn+1=1-uxn2中取u=3.6，x0=0.50，x0ˊ=0.500l，其迭代結果的光滑連線圖如圖2.5.1所示，初始值僅相差10-4，但經過12次迭代後兩條曲線開始分開，出現明顯差異。這是混沌運動的一個基本特徵。
圖2.5.1 蝴蝶效應示例(xn+1=1-m x2n)
下面是繪製蝴蝶效應的算法描述：
1：設置映射方程類型，控制參數m ，初始值x0，初始差值△0，總點數nPoints，繪圖區域；
2：根據給定映射方程和控制參數m ，計算xn的取值範圍[xmin,xmax];
3：根據[xmin,xmax]和給定需要繪製的總點數nPoints，以及給定的繪圖區域，計算(n,xn)與屏幕上的點(x,y)的對應關係,並繪出坐標軸、標註數值；
4：依次取n=0,1計算(n,xn)並在屏幕上對應的坐標位置繪點；
5：從繪製第三個點開始，每次取其前面的兩個點和剛計算出來的點(共三個點)的值，計算它們對應的二次曲線方程，用光滑曲線連接已繪製的點(連接時要根據前面已繪製曲線的斜率和當前曲線斜率在連接點的關係，對曲線方程進行必要的修正，以保證連線儘可能光滑)；
6：依次取n=2,…,nPoints,執行第5步，繪製出一條曲線；
7：根據給定的初始差值△0，計算新的控制參數x0= x0+△0，然後執行第一到第六步，繪製第二條曲線(配套軟體中繪製的兩條曲線使用了不同的顏色)。
幾點說明：
1：如果只執行以上的1、2、3、4、5，6步，則可繪製給定 m 和總點數nPoints的光滑連線圖；
2：如果只執行以上的1、2、3、4、5，6步，而且不用光滑曲線而用直線直接連接相鄰的兩個點，則可繪製給定 m 和總點數nPoints的折線圖；
3：如果只執行以上的1、2、3、4步，在第四步中依次取n=0，1，2，…，nPoints，則可繪製給定 m 和總點數nPoints的散點圖；
4：以上3點說明中，在第一步中均不需設置初始差值△0。
§2.5.2 李雅普洛夫指數
現在我們來研究這種特徵的數學描述��李雅普諾夫（Lyapunov）指數。
設兩相差極小的初始值分別為x0和x0+△0，它們迭代一次後的誤差為：
上式中因△0很小，f(x0+△0)只展開到泰勒級數的一次項，略去了其高次項，f』(x)是f(x)的一階導數，迭代n次後的距離差為：
（5.1）
這裡fn(x)表示函數f(x)自己嵌套n次（對於Logistic Map則有fn(x)=xn）例如：
根據複合函數的鏈微分法則有：
（5.2）
這裡的xi=uxi-1(1-xi-1)是經過i次迭代的結果值。
一般來說，對初值敏感的軌道會按指數函數迅速分離開，可以寫成：
（5.3）
這裡指數 l 刻劃相鄰軌道的分離速度。如果 l <0，△n→0，兩條軌道不會分離；只有當 l >0，才表示初值的細微變化要迅速放大，當n→¥ 時，式（5.3）定義的 l 就是李雅普諾夫指數，根據式（5.1），（5.2），（5.3）可得：
則：
這個定義很便於數值計算，對蟲口模型四個函數的分岔圖及李雅普諾夫指數的對照圖如圖2.5.2，圖2.5.3，圖2.5.4，圖2.5.5所示：
圖2.5.2 xn+1=1-m xn2 圖2.5.3 xn+1=m sinp xn
圖2.5.4 xn+1=m xn(1-xn) 圖2.5.5 xn+1=xnem (1-xn)
從以上四個圖中可以看出，周期窗口(每個映射都有周期三窗口)對應的李雅譜諾夫指數為負，而混沌區的李雅普諾夫指數為正。其實我們在計算中只取了n=300，如果把n取得更大，而且把參數區間分得更細，圖中還會看到更多的周期窗口處有更深的下降，同時混沌區的李雅普諾夫曲線的包絡線隨參量上升。
對於有多個自由度的系統，李雅普諾夫指數也有多個，原則上可以從數學模型或實驗數據出發進行估算，混沌系統至少有一個李雅普諾夫為正。
下面介紹李雅普諾夫指數可視化圖形生成算法：
1：設置映射方程類型，控制參數變化範圍 [m min, m max]，初始值x0，繪圖區域；
2：根據給定映射方程和控制參數，計算xn的取值範圍[xmin,xmax];
3：根據[m min,m max]和[xmin,xmax]，以及給定的繪圖區域，計算(m ,xn)與屏幕上的點(x,y)的對應關係,並繪出坐標軸、標註數值；
4：將區間[m min, m max] 根據繪圖區域離散化為一系列m i∈[m min,m max](i=0,1,2,…)；
5：依次取i=0,1,2, …,計算（m i，xn）並在屏幕上的對應位置繪點。
幾點說明：
1：對於m min=m max的情況，其李雅普諾夫指數應為一個點，但為了觀察方便，仍然在整個區域內繪圖，則其圖象為一條平行於m 軸的直線；
2：可以對所繪圖形進行局部放大，其操作方法同精細結構(分岔與混沌圖)局部放大的方法相同；
3：放大精度理論上為無窮大，但實際上受到計算機浮點運算精度的限制。
在配套的軟體中可以觀察和研究李雅普諾夫指數與參量的關係及其精細結構。
§2.6 洛侖茲吸引子
1963年，洛侖茲在研究大氣環流模型時，採用的是下面的具有三個變量的常微分方程組
其中s ，g 和b為正的實參數，洛侖茲方程是確定性的，其中沒有任何足以給計算結果帶來噪聲的項。但是數值計算結果卻表明在g =28時系統為混沌系統。
洛侖茲的大氣模型是由無限大平板間流體的熱對流方程簡化而得到的，它是一個三元非線性常微分方程組，其中有三個參數b，s 和g ，改變g 的值研究該模型可以看到分岔以及混沌現象。當g =28時，該模型的解是混沌的。這裡固定g =28，觀察此時的洛侖茲奇異吸引子。
由方程組可得：
dx=s (y-x)dt
dy=(g x-y-xz)dt
dz=(xy-bz)dt
s =10 ， b= ，g =28
將其離散化，且取步長為h，則有：
根據上面離散化的方程組，選擇一組初始值，應用遞推方程組求出一組新值，並重複迭代，拋棄前N次迭代值，以確保迭代值對應的狀態已落到吸引子上，然後由新迭代值確定的坐標繪出吸引子，當定出一個適當的總迭代次數和迭代步長之後，就可以用此算法產生完整、清晰的洛侖茲奇異吸引子圖形。由於迭代結果的是三維坐標，為得到吸引子的圖形，還要沿不同投影方向投影。其混沌吸引子如圖2.6.1所示。
(a)沿X軸投影 (b)沿Y軸投影 (c)沿Z軸投影
圖2.6.1 洛侖茲奇異吸引子
吸引子的軌道在空間是不會自相交的，因為如果其軌道自相交，則軌道就會從這個交點出發循環不斷地重複下去。圖中看到的相交部分只是空間軌道投影時的重影現象。
洛侖茲的大氣環流運動，是不可能用三種尋常吸引子來描述其隨機行為的。其數值模擬所得的是混沌吸引子，它不同於非混沌吸引子，洛侖茲在1963年發表的「關於確定性混沌」的著名論文中指出：第一個被觀察到的混沌吸引子，位於三維狀態空間中。儘管當時條件下，只繪出了其軌道上的7條線，且只能大致勾勒出該吸引子的兩個類似蝴蝶翅翼的輪廓，但人們不難想像出它的完整形狀是什麼。那種必然存在的小尺度上的異常結構。只要一個微小的擾動就能迅速地使之倍增到足以對宏觀行為產生影響的地步。初始狀態很接近的兩條軌道是按指數的規律迅速散開來，其運動變化十分複雜。實際上這種吸引子是一種分維形態的圖形，其維數d=2.06。
圖2.6.2 計算機「飛蟲」吸引子(沿Z軸投影)
圖2.6.2所示計算機「飛蟲」對應的方程組為：
xn+1=sin(ayn)-zncos(bxn)；
yn+1=znsin(cxn)-cos(dyn)；
zn+1=e× sinxn；
其中a=2.24, b=0.43, c=-0.65, d=-2.43, e=1.0。
下面是洛倫茲吸引子的計算機圖形的算法：
1：設置要繪製的吸引子類型，迭代次數(狀態空間中的總點數)nSum，投影方向，繪圖區域；
2：根據給定的吸引子類型、投影方向和繪圖區域，計算投影點(xn,yn)與屏幕上的點(x,y)的對應關係;
5：依次取n=0,1,2, …, nSum，計算投影點(xn,yn)並在屏幕上的對應位置繪點。
程序說明：由於我們要得到的是吸引子，而吸引子與初始值無關，因此程序中可不需用戶設置初始值，而在程序內部內置一個恰當的初始值
§2.7 標度不變性與費根鮑姆(Feigenbaum)常數
從圖2.7.1所示的Logistic映射分岔圖可以看出，若將分岔圖局部放大，可以看到在一定程度上局部的形態是整體形態的再現或縮影，象這樣同一種行為在越來越小的尺度上重複出現，我們稱為自相似（self-similarity）。它是一種從總體上觀察事物才能見到的規律。
圖2.7.1 Logistic映射分岔圖及其局部放大圖(精細結構)
從橫軸方向看前後兩次分岔點之間的距離（un-un-1）愈來愈小，從縱軸方向看（即看分岔寬度），分岔寬度也愈來愈小，隨著分岔的進行，從總體上看，整體與局部是相似的，但尺度差別卻愈來愈大，可高達數十個量級，這是一種無特徵尺度的現象。
無特徵尺度現象的特徵是，很多量隨著尺度而變化。這裡，我們要尋找隨尺度變化而不變的量(標度不變性)。美國青年物理學家費根鮑姆（M.Feigenbaum）從Logistic映射入手，發現了有關倍周期分岔的普適性，即現在以他的名字命名的兩個普適常數a =2.502907875…，和b =4.6692016091……
費根鮑姆25歲時在MIT獲物理學博士學位，1974年到洛斯·阿拉姆斯國家實驗室工作。60年代威爾遜的重整化理論使他知道標度交換多麼重要。當他開始思考非線性問題時，意識到並無現成的通用方法，於是他從簡單的Logistic映射開始進行自己的研究工作。1975年夏天在科羅拉多山村小鎮阿斯本他聽了斯梅爾（Stephen Smale）的報告。斯梅爾在報告中講到這個映射奧妙的數學性質，費根包姆受到了很大的鼓舞，他開始使用解析分析與數值計算相結合的方法來研究Logistic映射。因為他用的是計算器，必須手工記下每個倍周期分岔處的精確值，這就促使他去注意猜測下一次倍周期分岔對應的參數會是多少。他發現若用un代表第n次分岔處的參數值，則在分岔圖的u軸上相繼發生分岔處的間隔之比趨於一常數：
他又用計算器去計算映射xn+1=m Sinp xn，竟得到同樣的規律，再研究其它幾個非線性函數，竟都得到4.669。他馬上不滿足計算器的精度了，於是急忙在一天內學會使用計算機，轉天就得到：
δ=4.6692016901……
後來，人們稱此δ為費根鮑姆第一常數。費根鮑姆意識到u1,u2,…,…un……以幾何級數方式的收斂意味著有標度變換規律。
通過對Logistic映射分岔圖的進一步研究，費根鮑姆發現，若記前後兩次分岔寬度為△d和△d+1，則有：
a 稱為費根包姆第二常數，也叫標度變換因子，δ和a 是一個新的常數，它象p ，e, h, c等一樣是反映客觀事物本質的普適常數，其存在的意義首先表明了一類事物具有自相似結構的普適性，而且還表明這普適性不僅有定性的意義而且還有定量的標度變換。於是，他採用重整化群的技巧，於1976年創立了混沌的普適理論，但這一突破直到1978年才獲正式發表，而普適性的嚴格數學證明是由蘭福德（Oscar E. Lanford）完成的。正是由於費根包姆開始的普適性研究，才使混沌理論的地位更加牢固。
我們可以利用第四節介紹的算法生成的分岔圖來驗證δ和a 的數值和普適性。
§2.8 混沌的特徵與通向混沌之路
§2.8.1 混沌運動的特徵
混沌在我國古代也稱為「渾沌」，表示「世界形成以前的狀態」。曹槽《七啟》中曰：「夫太極之初，渾沌未分。」，《辭源》上解釋為：「天地未開闢以前之元氣狀態」。還用「混沌」形容「渾然一體，不可分割」的狀態，《易乾鑿度》曰：「太易者，未見之也；太初者，氣之始也；太終者，形之似也；太素者，質之始也；氣似質具而未相離謂之混沌。」《莊子》內篇之七道「南海之帝為倏，北海之帝為忽，中央之帝為渾沌」。此處「渾沌」又是人名，但仍與渾然一體有關，這個名叫渾沌的君王，無眼，無鼻、無口、無耳，他待南海之帝，北海之帝都很好，這兩位為了報答中央之帝，為渾沌開七孔於頭部，一日開一孔，第七日渾沌便死去。
在英文裡，「chaos」除了也指有序宇宙之前曾存在過的無序，無形物質之意，還指「完全無序徹底混亂」。100多年前，玻耳茲曼假設氣體分子運動具有隨機性，後來，我國物理界將其取名為「分子混沌假說」，已把「混沌」用作科學術語。早年資訊理論的奠基人維納（N.Wiener）把混沌一詞用在他的論文裡，指隨機過程引起的無序狀態，而我們這裡的「混沌」，特指確定性系統中的內在隨機行為，與概率性的隨機行為相比，混沌具有如下特徵：
1. 系統由完全確定性的方程來描述，無任何隨機因子，但必有非線性項。
2. 系統的隨機行為是其內在特徵，並不是外界噪聲或無擾引起的。
3. 系統對初始條件的極為敏感。只要初始條件稍有差別，或微小擾動，就會使系統的最終狀態出現巨大的差異。因此，混沌系統的長期演化行為的細節是不可預測的。
4. 系統具有分形的性質，前面提到的洛倫茲吸引子，赫倫（Henon）吸引子都具有分形結構，其維數分別為2.06和1.26。分岔圖和混沌帶具有無窮嵌套的自相似幾何結構，若將分岔圖放大，可以看到在一定程度上局部是整體的重現或縮影（在配套軟體中可以看到）。
5. 系統具有標度不變性。由分岔進入混沌的過程，還遵從費根鮑姆常數系。這一常數是倍周期分岔走向混沌的普通性數量特徵。
§2.8.2 通向混沌之路
對於用微分方程或映射解的穩定性理論來透徹分析混沌通路的方法本文不作探討。這裡只對通向混沌的道路作一粗略介紹。
分岔泛指動力學系統中當控制參量改變並經過某些臨界值時，其相圖發生拓撲結構上的突變，即系統的性態發生了突變。一般分岔有三種基本原型，它們是叉型分岔，霍甫夫（Hopf）分岔及切分岔（或鞍�結分岔），叉型分岔是在分岔點原穩定態變為不穩定，並出現兩個新的平衡態（如前述的倍周期分岔）。霍甫夫分岔是在分岔點除了穩定態變成不穩定態之外，還生出所謂「極限環」而顯現周期運動。切分岔可使一個平衡態分岔而變為一個穩定態和一個不穩定態。例如可以出現一對周期相同的軌道，其中一條是穩定的，另一條不穩定。通向混沌之路一般有以下三種。
（1）倍周期分岔之路。
這是靠映射的不動點的一系列叉型分岔而走向混沌。如前述Logistic映射，倍周期分岔至周期2 ¥ 而進入混沌區。
（2）擬周期運動通往混沌。
這也稱為Ruelle-Takens-Newhouse。
若起初系統處於定常狀態，經霍甫夫分岔可變為周期狀態，（或者起初就處於單頻率的周期狀態），經霍甫夫分岔又產生一個新的周期運動。如果這新頻率與原頻率不可公度，便產生擬周期運動。巴西拓撲學家派克索託已證明環面上的擬周期運動是不穩定的，稍有擾動，就會過度到某個周期解，這就是說：擬周期運動中的兩頻率之比將從無理數變成與之接近的有理數，這就是鎖頻（frequency-locking）現象。當控制參量超過臨界值時，可在不同的具體情況下走向混沌。
（3）陣發（或間歇）混沌之路。
圖2.9.1（a）是映射：c n+1=uc n(1-c n)中，取m =3.59，選代300次的折線圖。這顯然不是一條周期軌道，它很象是c n的隨機起伏。在周期3窗口的左端，減少參量也會進入混沌。周期3窗口的起始點可以精確地定出來（在此不加討論），其值為： m c=1+=3.828427……，取略小於m c的參量m =3.82825，選代300次的c n變化如圖（b）所示。這也是一條混沌軌道，但同圖（a）相比頗有不同，軌道的某些段落象是規則的周期運動，稱為「層流相」，各層流相之間是或長或短的隨機跳躍，稱為「湍流相」。迭代過程中何時出現層流相，何時進入湍流相，又是隨機和不可預言的。但是，只要參量一定，湍流相或層流相的平均時間也是確定的。參量值越靠近m c，湍流相的時間越短。象這樣在周期窗口起點附近進入混沌運動的情形，稱為陳發混沌道路。
圖2.9.1 （a）混沌狀態
圖2.9.1 （b）陣發混沌
§2.9 混沌的應用及理論意義
§2.9.1 混沌的應用
對混沌現象的研究，使人們看到了自然界中普遍存在於而多年來被視而不見的一種運動形態。在較為低級的層次上，混沌往往是應當設法迴避的行為；在物質運動的高極形式，例如生命現象中，混沌可能是具有根本意義的積極因素。在這兩者之間。是各種各樣的應用可能性。
人們曾經期望，利用低溫下通過兩個超導體之間極薄的絕緣層發生的超導隧道效應，可以製造低噪聲的微波參量放大器。然而1977年以後發現，放在微波諧振腔中的超導隧道結，隨著增益提高還給出反常高噪聲。實驗在4K低溫下進行，噪聲的等效溫度卻高達50000K以上。這是用當時已知的任何機制都無法解釋的。後來明白了，原來系統進入了混沌狀態，「噪聲」來自動力學本身。
聲學中有更多混沌無益的實例。令強功率超聲波通過液體，波前的局部壓力可能減少到使液體氣化發泡。早在30年代就知道這種「空化」過程伴隨著大量噪聲，頻譜中甚至還有原來頻率一半的分頻成分。近年來在空化噪聲中觀察到了通過倍周期分岔走向混沌的全過程。空化現象還發生在高速運動的渦輪葉片背面，是造成葉片損傷的一種因素。在更簡單的聲學系統，例如擴音器中，線性響應通常導致高保真度，而質量不佳的喇叭在較低的輸入電平上就可能發生向分頻的分岔��而這正是混沌樂章的序曲。
高能粒子加速器中束流的損失，受控熱核反應實驗裝置中約束磁場的漏失，核反應堆中循環水的有害回流，乃至光學雙穩器件的不穩定性��凡此種種概與混沌有關。深水採油浮塔及其附近系泊的用以懸掛輸油管路的相聯的塔柱，在海浪衝擊下會發生次頻甚至混沌振動。這些通常都屬於應當迴避的混沌現象。
1990年以來發展了控制混沌的概念並為實驗證明可行，基本思想很簡單。奇怪吸引子裡包含著無空多種或長或短的不穩定周期；一條混沌軌道象是不斷地在這些不穩定周期之間隨機跳躍。事實上，不太長的周期可以從實驗數據中提取和判定。對系統施加適當的與時間有關的微擾。可能把某種特定的周期運動穩定下來，從而把混沌運動變成所希望的周期運動。控制混沌是一個剛開始發展的領域，還要作不少研究才能闡明其潛力。
地球物理學中有許多複雜的動力學過程，很難簡單地以「利」「害」名之，人們必須深入研究才能認識它們。例如，古地磁資料表明地磁場在近數百萬年內曾經多次隨機地反向，又如影響全球天氣變化的南太平洋海溫的非周期振蕩，即所謂厄爾尼諾（El Mino）現象，最近幾年都有人用確定論模型中的混沌加以解釋，當然，人們還不能宣稱混沌就是這些現象的唯一原因，但至少增加了一種考慮問題的觀點。
理解流體湍流的發生機制，始終是研究混沌的重要動力。目前研究得較為透徹的，是局限在容器中的流體的運動。例如，夾在上下底板之間而從下面加熱的流體，從熱對流失穩而發展到振蕩和湍流。又如介於兩個同軸圓柱面之間的流體，當內圓柱轉動速度漸高時，會經歷一系列運動模式的突變，最終進入湍流狀態。這類湍流發展過程的最初幾步，與非線性系統走向混沌的道路有並行或相似之處。工業應用中更為重要的是開放流中的湍流。人們希望研究混沌現象對認識這類湍流也有所啟發。為此必須把空間自由度的耦合也考慮進來，而不能象本文前面那樣，只研究少數自由度的時間演化。對種「時空混沌」模型的研究，是本領域的另一個前沿。
當我們進而考察生命現象時，混沌行為的啟發作用就更大了。各種各樣的生物節律，既非完全周期，又不可能屬於純粹隨機，它們既有「鎖頻」到自然界周期（季節，晝夜等）的一面，又保持著內在的「自洽」性質。許多生物節律可用耦合的非線性振子模型，而混沌運動正是耦合振子系統的一類典型行為。20世紀20年代後期已經有人用非線性電路模擬過心臟搏動。近幾年生理實驗和數學模型的研究，進一步揭示了各種心律不齊、房室傳導阻滯與混 沌運動的可能聯繫。如果考察人類腦電波，對比就更為尖銳。癲癇患者發病時的腦電波呈明顯的周期性，而正常人的腦電波近乎隨機訊號。進一步測量表明它們不是隨機的，而象是來自維數不高的動力學過程。目前距離真正認識腦的動力學還很遙遠，但神經網絡和腦功能的實驗與模型研究正在成為物理學的關心對象。
§2.9.2 沒有「混沌學」��淺淡混沌的哲學意義
我們在結束本章之前，簡單討論一下混沌的哲學意義。
先從「混沌」這兩個字本身說起。奧地利物理學家玻耳茲曼（L.Boltzmann）在19世紀後半葉發展氣體分子運動理論時，曾經作過關於分子運動隨機性的假設，我國前輩物理學家王竹溪先生定名為「分子混沌性假設」。因此，中國物理學文獻中早就用過混沌這個詞，不過其涵義是混亂無規。
李天巖和約克1975年使用Chaos這個源於希臘的古字。其原意與中文混沌接近，係指世界未開、天地不分之前的狀態。莊子在《內篇》卷七講過一段關於名為「渾沌」的神話皇帝的故事，用了與「混」相通的「渾」字。不過漢語中早就兩字混用，1915年初版的《辭源》就說「渾沌」與「混沌」同，因此，我們就選用了使用得較為普遍的混沌一詞。不論其語源如何，作為科學概念的混沌，應當根據其嚴格定義來理解和運用。
不過，混沌一詞也引發了不少望文生義、牽強附會的偽科學議論。有人甚至說什麼「混沌論」是繼量子力學和相對論之後的第三次突破。到處亂貼混沌標籤，象是抓住了新的科學思想，其實除了混淆視聽，沒有解決任何問題。
第一，混沌並不新，作為自然現象它早就存在，作為科學對象，也已經研究了100年。第二，混沌並不神秘，它已經有堅實的數學基礎和大量的理論與實驗研究，特別是精緻的計算機模擬。第三，混沌不是議論，搬弄名詞不能代替對實際的混沌現象的科學研究。第四，混沌不是一批完備的教條，而是正在發展的研究領域。
同波動現象作類比很有教益。自然中處處有波動現象，它們背後有統一的數學理論。然而這並不能代替對水波，聲波，電磁波，地震波的具體研究。僅僅製造象「波動論」這樣的名詞，並不能推動科學進步。基於類似的理由，「混沌論」的提法也並無必要。
最後，我們再作幾條一般性的評述。
首先是關於自然現象，例如天氣的可預報性。科普文獻中常常遇見一種觀點，說混沌動力學的發展排除了長期預報的可能性。其根據則是氣象學家羅倫茲在20世紀70年代後期一次國際會議上所作的比喻。羅倫茲說天氣過程以及描述它們的非線性方程是如此不穩定，以致巴西亞馬孫河流域熱帶雨林中一隻蝴蝶偶然拍動翅膀，可能兩星期以後在美國德克薩斯州引起一場龍捲風。在描述混沌運動對初值細微變化的敏感性這個意義下，羅倫茲是正確的。這對於人類的預報本領有什麼含義呢？
人類並不能失去從來還沒有擁有過的東西。由現在完全推知未來的確定論觀點其實一直是一種幻想。我們現在對於預報問題有了更符合實際的態度。其實對短期預報和長期預報的要求從來不同。只有對於短期預報，我們才關心軌道的細節，例如下星期天的溫度變化情形。對於長期預報，人們更注意各種平均量的發展趨勢，例如今後20年內華北年降水量的多少。混沌動力學的進步，恰恰在這兩個方面都提高了人類的預報本領。
自然界是統一的整體，但自然科學中有確定論和概率論兩套描述體系。牛頓以來的科學傳統，比較推崇確定論體系，而把概率論描述作為「不得已而為之」的補充。其實，完全的決定論和純粹的概率都是抽象的極限情況。真正的自然界介於二者之間。對混沌現象的研究，幫助我們從更為接近實際的一種角度認識世界，使我們從確定論和概率論的根深蒂固的人為對立中解脫出來。人們對偶然性和必然性這些哲學範疇的認識也會隨之深化。