▲ 圖自中信·鸚鵡螺《迷人的圖形》，[遇見]已獲授權
下文轉自沙發科學, [遇見] 已獲授權撰文 | 韋爵爺小寶編輯 | 獺哥
看到這本書名字的時候，我正準備給學生上幾何部分的知識。學過幾何的人，大抵對幾何證明深惡痛絕，繞來繞去的圖形和線段，簡直讓人眼花繚亂。
當年我上學的時候，雖然對幾何比較擅長，證明題至今仍然記得很多，然而，要想將這些技巧和知識轉化成教授給學生們的語言，自然還是需要費勁一番腦筋的。我認為，想要攻克它，應當得從圖形的本質開始著手。
圖形的本質是什麼？最初人類發現圖形的時候，圖形其實是從生活中的各種現象中總結出來的。因此，想要弄清圖形的本質就應當繼續回歸到生活中去循跡。而這本書恰巧也是遵循了這個思路，與我的想法不謀而合。只不過，全書是以「雪花為什麼是六邊形」這個問題進行展開，而我的問題則更多：
1） 埃舍爾的畫為什麼充滿了數學感？
2） 伊斯蘭建築上的圖形如何解讀？
3） 五角星、圓形、條紋；對稱、旋轉、連續，它們存在本質上的聯繫嗎？
埃舍爾：飛鳥與魚
小學課本上令我印象最深的畫作之一是荷蘭畫家埃舍爾（Maurits Cornelis Escher）的作品。其中一幅上方飛著鳥，而到下方就變成了魚，神奇之處不是飛鳥居然變成了魚，而是變得過程讓人很難看出痕跡，讓人感嘆，飛鳥與魚居然如此相近。
那麼，飛鳥與魚究竟如何產生了圖形上的關聯呢？
回到原畫，我們可以發現：飛鳥脖子的弧度恰巧是魚的脊背的弧度；飛鳥的尾巴，恰巧是魚的尾巴的弧度；而飛鳥的翅膀與屁股，恰巧與魚嘴和面部相吻合；而魚的尾巴，很巧合地與飛鳥的尾巴與翅膀相對應。
這種圖形上的關聯不易發現，就像地球板塊漂移學說那樣，如果不是善於發現圖形關聯的魏格納，恐怕培根、修斯等人的推論至今仍然很難讓人們信服。各大洲的圖形關聯雖然不能作為絕對性的論斷證明，但作為助攻型選手，似乎其重要性已經超過了其他任何能夠證明板塊漂移學說的依據。我想，這恐怕也就是圖形的魅力。
在數學和幾何的知識範疇內，以及日常生活中，這樣的圖形貼合也經常見到。比如七巧板的拼湊，比如鋪地磚，比如貨物的裝箱。回到數學和幾何的層面，其實研究的核心問題是如何劃分圓周的問題。
想要地磚鋪的毫無縫隙，那麼拼接的圖形的連接點就必須是360度。比如可以是4塊正方形，正方形四隻角的角度是90度；也可以是正六邊形，其角度為60度；又或者是「工」字形，由兩個90度和1個180度組合而成。而飛鳥與魚，其實也是如何組成圓周的問題，只不過這個時候，再是以測量度數著手，而是從整體來看待無縫拼接這件事情。
《迷人的圖形》這本書整體淺顯易懂，對於那些有一定幾何基礎的人來說，可能顯得不值一提。然而，我覺得這本書的最大魅力之一便是從生活中挑選出常見的、看似沒有關聯的圖形進行分類總結，然後從數學的角度歸納其中的一般規律，使得人們看待日常生活中的普通事物有了另外一個角度的理解，而這種理解，往往讓生活變得簡單易懂且活潑有趣。
伊斯蘭建築紋樣：對稱與連續，圓與方
但凡去過伊斯蘭地區旅行的人都對伊斯蘭的建築和其上的紋樣產生深刻印象。不論是門楣、蒼穹亦或是庭院，隨處可見的紋樣讓人感到繁瑣，但繁瑣之中又讓人感到美麗。這是為什麼呢？
伊斯蘭建築的規律：宏觀層面來看，整體紋樣是對稱的；細部以旋轉對稱為主；連續型圖案以裝飾和分割圖案為主。
伊斯蘭建築紋樣的另一個特徵是：旋轉對稱紋樣以圓形或近似圓形的正多邊形為主，連續型紋樣以方形或線性分布為主。
《迷人的圖形》中花了很大的篇幅來介紹對稱，它把對稱分為鏡像對稱和旋轉對稱。前者指的是沿著一條線左右對稱，也就是數學書上所說的「對稱」；而後者則指的是以中心原點為基礎，旋轉固定度數之後能夠與原圖重合，也就是數學書上所說的「中心對稱」。這樣一來，伊斯蘭建築的紋樣便很好去理解了。
從幾何角度來看，伊斯蘭建築上的紋樣主要分為對稱與連續兩種。其中，對稱分為如上所述的鏡像對稱與旋轉對稱。從宏觀層面來看，伊斯蘭建築強調左右對稱，大門開在正中間、窗戶左右以相同的數目排開、大門的紋樣左右兩扇完全相同。而從建築細部來看，花草和幾何紋樣均遵循旋轉對稱的方式排列，尤其是穹頂的設計最為典型。
此外，連續也是常見的紋樣形式。所謂的連續，指的是某種圖案連續循環出現，視覺上極易看出其中的相同與重複。不過，可能由於連續型的紋樣不具有創新意味，並且難度比較低，因此僅僅分布在門框等旋轉對稱圖形的邊緣，起到一種分割區域和裝飾的作用。
學習了這些知識，再回頭看伊斯蘭建築上的紋樣，也就有了更新的發現。比如，鏡像對稱的圖形常常是從整個建築層面來看的，窗戶與窗戶的對稱、門與門的對稱、宣禮塔與宣禮塔的對稱；旋轉對稱，通常作為紋樣的主體，分布在建築上的所有重要圖案上；而連續型的圖案，則僅僅作為次要裝飾，即便是有時候與旋轉對稱相結合來呈現，也依然僅僅起到輔助裝飾的作用。
另外，由於旋轉對稱的圖形往往以圓形為主，因此我們在看伊斯蘭建築的時候，總覺得其中「團花」類型的圖案特別多；而方形的圖案，主要集中在建築或者的邊緣，以連續類型的圖案為主，佔據極少的比例。
分形與混沌：圖形的哲學與未來
人類與動物走路所留下的足跡，看起來不是對稱，但因為左右腳連續交替，其實也是一種特殊的幾何圖形。不過，相比於腳的形狀，似乎腳步隨著時間而產生的線性關係更讓人著迷。
腳步從數學的角度可以理解為兩條連續重複的圖案，中間被一條看不見的線條分隔開。
如果說，點、線、面構成了圖形的基礎，那麼，加上時間這個維度之後，情況可能更加有趣。如果把左腳和右腳的連續出現看成是兩個連續類型的圖形並排放在一起，那麼，兩腳中間那條看不見的線便是兩個圖形的分割線。如果這條分割線繼續延伸下去，會是什麼樣的呢？
以前聽過一種說法，迷路的人，即便是一直往某個方向走，最後還是會走成一個圓。我記得，當時給的理由是說人在走路的時候，雖然看起來雙腳邁的步伐是一樣長的，但其實存在著細微的差別。可是，沒有人進一步解釋，為什麼會出現這種細微的差別。
《迷人的圖形》這本書的一個很大的遺憾是將這種細微的差別歸結為基因或者是宇宙的自然規律，也就是說，沒有為什麼，大自然本來就是這個樣子，作為其中的一個極其微小的組成部分，我們自然逃脫不了大自然的束縛。
這麼說，也對，也不對。對的地方在於，的的確確，人類的大部分行為都是受到自然演化影響的結果；不對的地方在於，如果僅僅歸因於自然選擇，那麼聽起來似乎有一些簡單、隨意或者是悲觀。
於是，作者嘗試著去討論一些關於宇宙未來的東西，也許我們能從宇宙的未來或者更高視角的層面再次審視我們周圍的圖形。
比如黑洞、白洞和蟲洞的理論，假使它們真的存在，那麼，是否會影響地球上現有圖形的表達，或者是否會出現更高維度的圖形？而想要猜測這些，是不是可以從現有的圖形上尋找靈感？比如，人類的外貌和身體整體上是對稱的、大自然界中的生物大多也是對稱型的，白洞就是人們根據黑洞推測出來的理論。植物雖然看起來不是對稱的，但其實也是有規律的，每一段樹枝，看起來都是一整棵樹的形狀，人們將此稱為分形，並在河流支系的分布、雷電的形狀等地方發現了類似的圖形。那麼，宇宙本身是否也是對稱、旋轉、圓形、球形或者是分形的呢？
每個樹枝，單獨拆開來看，仍然是一棵樹的形狀。人們將這種現象稱之為「分形」。
如果上述的猜想是正確的，那麼，這就不僅僅是物理或者數學層面上的問題了，而是一種哲學層面的意義。
事實上，從生活中的這些圖形上，人們也的確預測到了一些將來可能發生的事情。最簡單的例子莫過於天氣預報和颱風路徑。它們看似毫無規律，但通過分析影響它們的因子，人們仍然可以準確預測它們接下來的走向。人們將這種看起來毫無邏輯和秩序的形態稱之為「混沌」，它與分形一起，被認為是繼相對論和量子力學之後的20世紀物理學的第三次革命。
也許它的下一步將是地震預報，也許它的下一步會是更遙遠的星辰和大海，然而不論它的下一步是什麼，或許在我們所在的星球之上、我們生活的周遭，都能找到與它們相似的「迷人的圖形」。(完)