高中數學必修五,圓的方程思維導圖知識點

高中數學必修五，圓的方程思維導圖知識點

2019-01-14 19:22:42 來源：三好網

　　（一）圓的標準方程

　　1.圓的定義：平面內到一定點的距離等於定長的點的軌跡叫做圓.定點叫圓的圓心，定長叫做圓的半徑.

　　2.圓的標準方程：已知圓心為（a，b），半徑為r，則圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.

　　說明：

　　（1）上式稱為圓的標準方程.

　　（2）如果圓心在坐標原點，這時a＝0，b＝0，圓的方程就是x2+y2=r2.

　　（3）圓的標準方程顯示了圓心為（a，b），半徑為r這一幾何性質，即(x-a)2+(y-b)2=r2----圓心為（a，b），半徑為r.

　　（4）確定圓的條件

　　由圓的標準方程知有三個參數a、b、r，只要求出a、b、r，這時圓的方程就被確定．因此，確定圓的方程，需三個獨立的條件，其中圓心是圓的定位條件，半徑是圓的定型條件.

　　（5）點與圓的位置關係的判定

　　若點M（x1，y1）在圓外，則點到圓心的距離大於圓的半徑，即(x-a)2+(y-b)2＞r2；

　　若點M（x1，y1）在圓內，則點到圓心的距離小於圓的半徑，即(x-a)2+(y-b)2＜r2；

　　（二）圓的一般方程

　　任何一個圓的方程都可以寫成下面的形式：

　　x2+y2+Dx+Ey+F=0①

　　將①配方得：

　　②(x+D/2)2+(y+E/2)2=D2+E2-4F/4

　　當時，方程①表示以（-D/2，-E/2）為圓心，以為半徑的圓；

　　當時，方程①只有實數解，所以表示一個點（-D/2，-E/2）；

　　當時，方程①沒有實數解，因此它不表示任何圖形.

　　故當時，方程①表示一個圓，方程①叫做圓的一般方程.

　　圓的標準方程的優點在於它明確地指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點：

　　（1）和的係數相同，且不等於0；

　　（2）沒有xy這樣的二次項.

　　以上兩點是二元二次方程表示圓的必要條件，但不是充分條件.

　　要求出圓的一般方程，只要求出三個係數D、E、F就可以了.

　　（三）直線和圓的位置關係

　　1.直線與圓的位置關係

　　研究直線與圓的位置關係有兩種方法：

　　（l）幾何法：令圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r.

　　d>r直線與圓相離；d＝r直線與圓相切；0≤d