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在現代，無論是哪個版本的普通物理學，都會講到剛體的定軸轉動，並用「角位移」來描述剛體定軸轉動時所轉過的角度。圖(01)是從江守洙等《普通物理學》第一冊176頁截取的一段，裡面明確提到對定軸轉動的剛體內任意點角位移都是相同的。這段還明確提到對定軸轉動的剛體內任意點不僅角位移相同，角速度和角加速度也都相同。
力學中說到「旋轉的物體」，通常是指剛體。如果是像果凍那樣的彈性體，因為彈性體可以變形，彈性體內各點轉動的角度不一樣，就談不到轉動的角度。
圖(01) 程守洙等《普通物理學》第五版第一冊176頁
但是，該書177頁明確地說「角速度」是個矢量，卻沒有說「角位移」是矢量，見圖(02)。
圖(02) 程守洙等《普通物理學》第五版第一冊177頁
問題可就來了：標題中說有限角位移不是矢量，書上說角速度是矢量。角速度是角位移對時間的一階導數。一個不是矢量的量，怎麼能夠對時間求導之後就成了矢量了？
我們先說說有限角位移不是矢量。
位移是矢量，這毫無疑問。位移這個矢量滿足交換律。圖(03)中，平面上一個點從O處先向右移動4米到達A處，再從A處直角左轉移動3米到達B處。另一次移動中則從O處先向上移動3米到達C處，再從C處直角右轉移動4米到達D處。從歐幾裡德幾何學的知識，我們相信B點和D點是同一點。交換順序而結果相同，顯然，在這個問題裡面，位移矢量滿足交換律。
圖(03)
矢量必須滿足交換律，不滿足交換律的就不能稱為矢量。
但是，剛體的轉動就不滿足交換律，見圖(04)和圖(05)。
圖(04)
圖(04)是一個長方體，先繞Y軸旋轉90°，再繞Z軸旋轉90°。
圖(05)
圖(05)則是同一個長方體，先繞Z軸旋轉90°，再繞Y軸旋轉90°。
兩次旋轉，交換順序，結果不同，可見物體的轉動(角位移)不滿足交換律。既然不滿足交換律，物體的轉動(角位移)不是矢量。
既然角位移不是矢量，那麼圖(02)中為什麼又說角速度是矢量呢？角速度是角位移對時間的導數，一個不是矢量的量，求導後怎麼能夠成為矢量？
角位移不是矢量，是指有限角位移，例如圖(04)和圖(05)裡面物體轉動都是90°，是有限角位移。但是，無窮小角位移卻是矢量。
圖(06)
為了說明有限角位移不是矢量，無窮小角位移是矢量，我們先建立一個球面座標系，如圖(06)。也為了說明方便，我們把這個球面座標系看成地球，並採用地理上的說法。一個點在球面上的運動，可以看成這個固定座標系下一個剛體球繞球心的轉動。
圖(07)
令φ和 ψ表示互相垂直的兩個角位移。我們先讓φ和 ψ大一些，表示轉動90°。
第一次，從0°經線(本初子午線)和0°緯線(赤道)相交處開始，一個點先沿赤道向東運動，對球心的角位移φ為90°，到達東經90°處的A點。再直角向左，對球心的角位移ψ為90°，最後到達北極處，終點為B點。如圖(07)。
圖(08)
第二次，仍從0°經線(本初子午線)和0°緯線(赤道)相交處開始，一個點先沿本初子午線向北運動，對球心的角位移ψ為90°，到達北極處的C點。再直角向右，沿東經90°線，對球心的角位移φ為90°，最後到達東經90°線與赤道交點D。如圖(08)。
互相交換順序的兩次轉動結果，B點和D點，一個在赤道，一個在北極，相距很遠。所以，對球心90°的角位移不滿足交換律，肯定不是矢量。
圖(09)
我們再來看看比較小的對球心的角位移。
仍然是從0°經線和0°緯線相交處開始，令φ為對球心20°的角位移，ψ為對球心15°的角位移。
第一次，先φ後ψ，運動點先沿赤道向東，對球心角位移20°到達A點，然後直角向左，對球心角位移15°到達B點。顯然，B點就是北緯15°線與東經20°線的交點。如圖(09)。
圖(10)
第二次，先ψ後φ，運動點先沿0°經線向北，對球心角位移15°到達C點，然後直角向右，對球心角位移20°到達D點。如圖(10)。
注意，和第一次不一樣，運動點達C點後直角向右，並不是沿北緯15°線移動，其移動的軌跡是在一個大圓上，該大圓過東經90°線和西經90°線與赤道的交點，並在0°經線上與北緯15°線相切，在180°經線上與南緯15°線相切，如圖(10)中綠色虛線所示。
既然運動點是沿這個大圓移動，可以推斷D點一定在北緯15°線之南。既然北緯15°線總長度比赤道短，可以推斷D點一定在東經20°線以東。也就是說，D點在B點東南。D點和B點並不重合。角位移φ和ψ小了，但還不滿足交換律，不是矢量。
但是我們看到，相比圖(07)和圖(08)中B點和D點一個在北極一個在赤道的90°角距離，圖(10)中B點和D點之間的角距離可是小得太多了。
我們不妨想像一下：φ和ψ從90°減小到15°和20°，B點和D點之間的角距離就減小了這麼多。那要是φ和ψ減小到2°和3°，或是減小到0.2°和0.3°，又會如何？顯然，直觀地看，φ和ψ越小，B點和D點之間的角距離就越小，而且比φ和ψ減小得更快。φ和ψ越小，兩個角位移交換順序所包圍的那一小塊球面(並不是封閉的)越接近於一個平面。
利用球面三角知識，圖(12)中B點和D點之間對球心的角距離θ是可以根據φ和ψ計算出來的。換句話說，我們可以根據球面三角知識寫出θ隨φ和ψ變化的函數。
我們已經看到，θ是隨φ和ψ的減小而急劇減小。利用球面三角知識寫出θ隨φ和ψ變化的函數後，可以證明：當φ和ψ趨於0時θ也趨於0，而且θ比φ和ψ更快地趨於0，換句話說，θ是φ和ψ的高階無窮小。
既然φ和ψ交換順序的差別結果θ在φ和ψ趨於0時是個高階無窮小，那麼我們就可以說：φ和ψ趨於0時滿足交換律。
根據同樣的推導過程，我們還可以推導出：有限角位移不滿足結合律，但無窮小角位移滿足結合律。
所以，有限角位移不是矢量，因為有限角位移不滿足交換律。但無窮小角位移是矢量，因為無窮小角位移滿足交換律和結合律。
既然無窮小角位移是矢量，那麼角速度是矢量就是自然而然的了，因為角速度正是角位移對時間的一階導數。
普通物理課程通常不會講到有限角位移不是矢量，因為普通物理只講剛體的定軸運動，不會講到剛體的定點運動。而剛體的定軸運動，角速度矢量實際上只會沿轉動軸，只有正反兩個方向，因為定軸運動的轉動軸方向是不變的。而剛體的定點運動則瞬時轉動軸方向可能隨時變化。這種瞬時轉動軸方向隨時變化的情況，就必須說明有限角位移不是矢量，無窮小角位移才遵循交換律和結合律，是矢量。
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